2023年中考数学三轮冲刺 解答题冲刺练习四（含答案）

2023年中考数学三轮冲刺 解答题冲刺练习四

1.解方程组：

2.一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、﹣2、3、﹣4，这些卡片除数字外都相同.王兴从口袋中随机抽取一张卡片，钟华从剩余的三张卡片中随机抽取一张，求两张卡片上数字之积.

(1)请你用画树状图或列表的方法，列出两人抽到的数字之积所有可能的结果.

(2)求两人抽到的数字之积为正数的概率.

3.某校八年级学生乘车到距学校40 km的社会实践基地进行社会实践.一部分学生乘旅游车，另一部分学生乘中巴车，他们同时出发，结果乘中巴车的同学晚到8 min.已知旅游车速度是中巴车速度的1.2倍，求中巴车的速度.

4.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(4，6)．双曲线y=(x＞0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．

(1)求k的值及点E的坐标；

(2)若点F是边上一点，且△BCF∽△EBD，求直线FB的解析式．

5.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.

(1)求证：OM＝ON；

(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长.

6.某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度，他们选取了地面上一点E，测得DE的长度为8.65米，并以建筑物CD的顶端点C为观测点，测得点A的仰角为45°，点B的俯角为37°，点E的俯角为30°．

（1）求建筑物CD的高度；

（2）求建筑物AB的高度．

（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.6，tan37°≈0.75）

7.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，DE⊥AC于点E.

(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明；

(2)连接OE交⊙O于F，连接DF，若tan∠EDF＝，求cos∠DEF的值.

8.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(﹣3，0)、B(5，0)、C(0，5)三点，O为坐标原点

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若把抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)向下平移个单位长度，再向右平移n(n＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；

(3)设点P在y轴上，且满足∠OPA＋∠OCA=∠CBA，求CP的长．

0.答案

1.解：x=3,y=－5.

2.解：(1)图下图所示，

；

(2)由(1)可知，一共有12种可能性，两人抽到的数字之积为正数的可能性有4种，

∴两人抽到的数字之积为正数的概率是：，

即两人抽到的数字之积为正数的概率是.

3.解：设中巴车速度为x km/h，则旅游车的速度为1.2x km/h.

依题意得﹣＝，

解得x＝50，

经检验x＝50是原方程的解且符合题意.

答：中巴车的速度为50 km/h.

4.解：(1)在矩形OABC中，

∵B(4，6)，∴BC边中点D的坐标为(2，6)，

∵又曲线y=的图象经过点(2，6)，∴k=12，

∵E点在AB上，∴E点的横坐标为4，

∵y=经过点E，∴E点纵坐标为3，

∴E点坐标为(4，3)；

(2)由(1)得，BD=2，BE=3，BC=4，

∵△FBC∽△DEB，

∴=，即=，∴CF=，∴OF=，即点F的坐标为(0，)，

设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B(4，6)，F(0，)，

∴，解得，

∴直线BF的解析式为y=x+．

5.解：(1)证明：正方形ABCD中，

AC＝BD，OA＝AC，OB＝OD＝BD，

所以OA＝OB＝OD，

因为AC⊥BD，

所以∠AOB＝∠AOD＝90°，

所以∠OAD＝∠OBA＝45°，

所以∠OAM＝∠OBN，

又因为∠EOF＝90°，

所以∠AOM＝∠BON，

所以△AOM≌△BON，

所以OM＝ON.

(2)如图，过点O作OP⊥AB于P，

所以∠OPA＝90°，∠OPA＝∠MAE，

因为E为OM中点，

所以OE＝ME，

又因为∠AEM＝∠PEO，

所以△AEM≌△PEO，

所以AE＝EP，

因为OA＝OB，OP⊥AB，

所以AP＝BP＝AB＝2，

所以EP＝1.

Rt△OPB中，∠OBP＝45°，

所以OP＝PB＝2，

Rt△OEP中，OE＝，

所以OM＝2OE＝2，

Rt△OMN中，OM＝ON，

所以MN＝OM＝2.

6.

7.解：(1)DE与⊙O相切，理由：如图1，连接OD，AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵AO＝BO，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE与⊙O相切；

(2)如图2，延长EO，交⊙O于N，连接DN，OD，

∵DE与⊙O相切，

∴∠EDF＝∠DNF，

∴tan∠EDF＝tan∠DNF＝0.5，

∵∠FED＝∠NED，

∴△△EDF∽△END，

∴ ＝＝，

设EF＝1，DE＝2，

∵∠ODE＝∠NDF＝90°，

∴OD2＋DE2＝(OD＋EF)2，

∴OD＝1.5，

∴OE＝2.5

∴cos∠DEF＝.

8.解：(1)把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得

，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2＋x＋5；

(2)∵y=﹣x2＋x＋5，

∴抛物线顶点坐标为(1，)，

∴当抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)向下平移个单位长度，

再向右平移n(n＞0)个单位长度后，

得到的新抛物线的顶点M坐标为(1＋n，1)，

设直线BC解析式为y=kx＋m，

把B、C两点坐标代入可得

，解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣x＋5，

令y=1，代入可得1=﹣x＋5，解得x=4，

∵新抛物线的顶点M在△ABC内，

∴1＋n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，

即n的取值范围为0＜n＜3；

(3)当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，

由题意可知OB=OC=5，∴∠CBA=45°，

∴∠PAD=∠OPA＋∠OCA=∠CBA=45°，∴AD=PD，

在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=，

设PD=AD=m，则CD=AC＋AD=＋m，

∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，∴△COA∽△CDP，

∴==，即==，

由=可求得m=，∴=，解得PC=17；

可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，

如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，

则∠OP′A=∠OPA，

∴∠OP′A＋∠OCA=∠OPA＋∠OCA=∠CBA，

∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，

综上可知PC的长为7或17．