初一数学北师大版春季班 第13讲等腰三角形--提高班 试卷

第13讲  等腰三角形

知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值

1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.

2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

【典例】

例1 （2019秋•连城县期中）若等腰三角形两边的长分别为3cm和7cm，则第三边的长是　________cm．

【方法总结】

考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．

例2 （2020秋•讷河市期末）已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于________．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．

例3 （2020秋•西湖区校级期中）已知等腰三角形ABC．

（1）若其两边长分别为2和3，求△ABC的周长；

（2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求△ABC的周长．

【方法总结】

要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．

【随堂练习】

1．（2020春•揭阳期末）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于________．

2．（2020秋•五常市期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为________________．

3．（2020秋•香坊区期末）等腰△ABC中，腰AB的垂直平分线交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为________________．

知识点2 等腰三角形的性质---边角关系

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），

即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.

【典例】

例1 （2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE的大小为（　　）

A．α B． C． D．α

【方法总结】

此题考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．

例2 （2020秋•武威期末）如图所示，在△ABC中．AB＝AC．∠A＝36°，DE垂直平分AB交AC于点D，垂足为点E，求证：AD＝BC．

【方法总结】

本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•东坡区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，MN垂直平分AB交AB于点M，交AC于点N，连接BN，ND⊥BC于点D，则∠BND的度数为（　　）

A．65° B．75° C．55° D．50°

2．（2020秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．

知识点3  等腰三角形的性质---三线合一

等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.

例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，

①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,

上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.

即①②，③；②①，③；③①，②.

【典例】

例1 （2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：

（1）∠ADC的大小；

（2）∠BAD的大小．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得到AD⊥BC是正确解答本题的关键．

例2（2020春•昌图县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD与∠ABC的平分线BG相交于点E，过点E向AB边作垂线EF，DE与EF相等吗？说明你的理由．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形的三线合一的性质是解答本题的关键，难度不大．

【随堂练习】

1．（2020•九龙坡区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF．

（1）若∠ABC＝50°．求∠AEF的度数；

（2）求证：AD∥EG．

知识点4  等腰三角形的判定与性质

1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.

2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.

【典例】

例1 （2020春•海珠区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA．

（1）AE⊥BE；

（2）若AE＝4，BE＝6，求：四边形ABCD的面积．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积公式，证明△ADE≌△FCE是本题的关键．

例2 （2020春•番禺区校级期中）如图，△ABC中BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．

（1）若∠A＝70°，求∠BDC的度数；

（2）求证：EF＝BE+CF．

【方法总结】

本题考查了角平分线的定义和性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．

【随堂练习】

1．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BDE的度数．

2．（2020秋•永定区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．

（1）若∠C＝38°，求∠BAD的度数；

（2）求证：FB＝FE．

3．（2020秋•洮北区期末）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．

（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．

综合运用

1．（2020秋•永吉县期末）等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm，则这个三角形的周长是（　　）

A．11cm B．13cm C．11cm或13cm D．不确定

2．（2020秋•铜梁区校级期中）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠DCE的度数等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．65°

3．（2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为________度．

4．（2020秋•吉林期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°；试求∠B和∠C的度数．

5．（2020秋•越秀区校级期中）如图，点D是△ABC的边BC上的一点，AB＝AC，∠B＝∠BAD＝36°，试求∠DAC的度数．

6．（2020秋•仙桃校级期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．

7．（2020秋•路北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．

（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；

（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．

①求证：△BPM是等腰三角形；

②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．

8．（2020春•东坡区期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．

（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝________（直接写出答案）

（2）若∠MON＝n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）

（3）如图2，若∠MON＝x°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO﹣∠ACF的度数．（用含x的代数式表示）