高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算练习

高二数学（下）第六章计数原理

（必修二）检测（时间120分钟，满分150分）

一．    选择题（1-8每小题5分，共计40分）

1. （，）可以表示为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

结合排列数的计算公式计算出正确选项.

【详解】

依题意：

.

故选：B.

2. 若，则 （ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用组合的性质即可得出结果.

【详解】

由，

得，

；

故选：C.

3. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（       ）

A．36 B．72 C．600 D．480

【答案】D

【解析】

直接利用插空法计算得到答案.

【详解】

根据题意将进行全排列，再将插空得到个.

故选：.

【点睛】

本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4. 若二项式的展开式中第m项为常数项，则m，n应满足（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

求出展开式的通项，由的指数为0可得出关系.

【详解】

由题意，得的展开式的通项为，当，即时，为常数项，此时，所以m，n应满足.

故选：A.

5. 五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有1人，则不同排法的总数是(　　)

A．48  B．36

C．18  D．12

【答案】B

【解析】甲、乙中间任排一人有C种，3人捆绑视为一个元素有CA种排法，再与另外2人，3个元素全排，则一共有CAA＝36种排法．

6. 现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（       ）

A．2本 B．3本 C．4本 D．5本

【答案】C

【解析】

【分析】

设出语文课本数，利用互斥事件概率的加法公式并借助组合数列出方程求解即得.

【详解】

设语文课本有n本，则数学课本有本，

从7本书中任取2本的试验有个基本事件，它们等可能，

其中至多有1本语文课本的事件A是恰1本语文课本的事件A1和没有语文课本的事件A2的和，它们互斥，

事件A1所含的基本事件数为，事件A2所含的基本事件数为，

则，，

因此，，化简整理得，解得或(舍去)，

所以语文课本有4本.

故选：C

7. 在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（       ）

A．第11项 B．第13项

C．第18项 D．第20项

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出x4的系数55，代入等差数列的通项公式即可求出n＝20.

【详解】

(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数为.

以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.

故选：D

8. 横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（       ）

A．1860 B．1320 C．1140 D．1020

【答案】C

【解析】

【分析】

根据女嘉宾被选中的人数进行分类，选中两位女嘉宾时用插空法进行排列.

【详解】

由题意可知分为两类：

第一类，2位女嘉宾只有一位被选中，则还需从6位男嘉宾里选出3位，然后全排列，

所以不同的演讲顺序有，

第二类，2位女嘉宾同时被选中，则还需从6位男嘉宾里选出2位，

所以2位女嘉宾的演讲顺序不相邻的不同演讲顺序有，

综上，不同的演讲顺序的种数是，

故选：C.

【点睛】

(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．

二．    多项选择题（9-12每小题5分，共计20分）

9. 的展开式中含项的系数为2，则a的值为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用二项式展开式可得，解方程即可求解.

【详解】

的展开式中含项的系数为

即，∴，

∴或.

故选：AD

10. 若，则n的可能取值有（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

直接解组合数不等式即可得到正确答案.

【详解】

由得⇒又n∈N*，则n＝6，7，8，9.

∴该不等式的解集为{6，7，8，9}．

故选：ABCD.

11. 下列选项中正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据阶乘的计算公式，逐项计算即可得解.

【详解】

∵，∴A正确；

∵，∴B正确；

∵，∴C错误；

∵，∴D错误.

故选：AB

12. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（       ）

A．若任意选择三门课程，选法总数为

B．若物理和化学至少选一门，选法总数为

C．若物理和历史不能同时选，选法总数为

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A.利用组合的概念进行计算并判断；B.分类考虑：物理和化学只选一门、物理和化学都选，由此计算并判断；C.利用间接法进行分析计算并判断；D.将问题分为三类进行分析：只选物理、只选化学、同时选物理和化学，由此进行计算并判断.

【详解】

A. 任意选择三门课程，属于组合问题，可得选法的总数为，故错误；

B.物理和化学只选一门的选法数：，物理和化学同时选的选法数：，所以选法总数为，故错误；

C.物理和历史同时选的选法数：，所以物理和历史不能同时选的选法总数为，故正确；

D.只选物理时，不选化学和历史，选法数为：；只选化学时，不能选物理，选法数为：；物理和化学同时选，不能选历史，选法数为：，

所以选法总数为：，且，故错误；

故选：ABD.

三．    填空题（13-16每小题5分，共计20分）

13. 已知，，成等差数列，则＝________.

【答案】91

【解析】

【分析】

利用等差中项及组合数公式即求.

【详解】

∵，，成等差数列，

∴2＝＋，

∴2×＝＋

整理得n2－21n＋98＝0，

解得n＝14，n＝7(舍去)，

则.

故答案为：91.

14.某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有________种.（用数字作答）

【答案】624

【解析】

【分析】

讨论甲的位置，把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列排列即可求解．

【详解】

当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有；

当甲在第二位，丙丁捆绑，首位不能是丙丁，共有；

当甲在第三位，丙丁捆绑，分前两位是丙丁与不是丙丁两种情况，共有；

因为共有．

故答案为：624．

15. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.

【答案】34

【解析】

【分析】

利用二项式系数的性质及组合数公式即求.

【详解】

在第n行中，即(a＋b)n的展开式中第14个与第15个二项式系数分别为和，

∴∶＝2∶3，即，

∴n＝34.

故答案为：34.

16. 把a，a，a，b，b，，排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有______种．

【答案】96

【解析】

【分析】

计数综合问题，可先对b，b，，进行排列，然后用“插空法”解决三个“a”两两不相邻的问题，最后减去两个“b”相邻的情况即为所求

【详解】

根据题意，分情况进行分析：

①先排列b，b，，，若，不相邻，则有（种）排法，若，相邻，则有（种）排法．所以b，b，，的排法有（种），排好后有5个空位．

②从所形成的5个空中选3个插入a，共有（种）方法，若b，b相邻，从所形成的4个空中选3个插入a，共有（种）方法，

故三个“a”两两步相邻，且两个“b”也不相邻的排法共有（种）．故答案为：96

四．    解答题（17-22共计70分）

17.（本题10分） 化简：

(1)；（2）

【答案】(1)；（2）1

【分析】（1）由二项式定理可化简；

（2）根据排列数公式计算.

【解析】(1)

；

（2）.

18. （本题10分）求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

利用组合数公式进行证明，即可得到答案；

【详解】

，

所以等式成立.

19. （本题12分）相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位中．

（1）若要求有3辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？

（2）若要求有2辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？

（3）若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？

【答案】（1）8种；（2）6种；（3）9种.

【解析】

【分析】

(1)分两步，选出停在原车位的一辆车，再停放余下3辆车，用分步乘法计数原理计算即得；

(2)分两步，选出停在原车位的两辆车，再停放余下2辆车，用分步乘法计数原理计算即得；

(3)将4辆车分别编号为，，，，将车停在另三辆车的原车位之一，再停车所停车位对应的原车，最后停余下两辆即可作答.

【详解】

（1）可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那辆车，有种情况，

第二步，停放剩下的3辆车，有2种停法，

根据分步乘法计数原理，共有种停法；

（2）可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那2辆车，有种情况，

第二步，停放剩下的2辆车，有1种停法，

根据分步乘法计数原理，共有种停法；

（3）将4辆车分别编号为，，，，将4个停车位分别编号为一、二、三、四，

不妨设车先选停车位，此时有3种停法，若车选了二号停车位，那么车再选，有3种停法，

剩下的车和车都只有1种停法，

根据分步乘法计数原理，共有种停法．

20. （本题12分）已知（n为正整数）.

(1)若，求n的值；

(2)若，，，求和的值（结果用指数幂的形式表示）.

【答案】(1)

(2)，，

【分析】

（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由列方程可求出n的值，

（2）分别令，求出，，进而可求出的值，

【解析】

(1)二项式展开式的通项公式为，则

，

因为，

所以，化简得，

，

得或（舍去），

(2)当时，，

令，得，

令，得，

因为，，

所以，

，

所以，

21. （本题12分）由0，1，2，3，4这五个数字．

（1）能组成多少个无重复数字的五位数？

（2）能组成多少个无重复数字，且数字1与3相邻的五位数？

（3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？

【答案】（1）96；（2）36；（3）65.

【解析】

【分析】

(1)先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；

(2)把数字1与3捆在一起视为一个元素，先排数字0，再排余下元素列式即可得解；

(3)按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答.

【详解】

(1)计算符合要求的五位数个数需两步：先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位有，

再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得：，

所以能组成96个无重复数字的五位数；

(2)计算数字1与3相邻的五位数个数，把1与3捆在一起视为一个元素，相当于4个元素的排列，且0不在最高位，同(1)有种，

但1与3有左右之分，有种，由分步乘法计数得：，

所以能组成36个无重复数字，且数字1与3相邻的五位数；

(3)计算比21034大的五位数的个数分两类：

万位比2大的五位数个数是：，

万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个，

由分类加法计数原理得：，

所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个.

22. （本题14分）

从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．

（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；

（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；

（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

【分析】

（1）（2）利用分类分步的方法，结合排列组合的计算公式求出M中不含有数字0或含有数字0的元素的个数即可；

（3）应用古典概型的概率求法求随机选择一个元素能被5整除的概率.

【详解】

（1）M中不含有数字0的元素：

1、从1、3、5、7中任取2个数字有种取法，

2、从2、4、6、8中任取2个数字有种取法，

3、将前两步所得的四个数字全排列：个四位数，

∴M中共有不含有数字0的元素个.

（2）M中含有数字0的元素：

1、从1、3、5、7中任取2个数字有种取法，

2、从2、4、6、8中任取1个数字有种取法，

3、将前两步所得的四个数字全排列，排除0在第一位的元素：个四位数，

∴M中共有含有数字0的元素个.

（3）由（1）（2）知：M中共有个元素，

M中能被5整除的元素，即个位为0或5的元素，

1、个位为0的元素有个，

2、个位为5的元素有个，

∴M中能被5整除的元素个，则随机选择一个元素能被5整除的概率.