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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式课时练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式课时练习，文件包含第02讲全概率公式教师版-高二数学同步精品讲义人教A版选择性必修第三册docx、第02讲全概率公式学生版-高二数学同步精品讲义人教A版选择性必修第三册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
第02讲 全概率公式
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课程标准
课标解读
1. 结合古典概型，了解利用概率的加法公式与乘法公式
推导出全概率公式的过程，为解决一类概率问题奠定基础.
2. 理解全概率公式，并能利用全概率公式进行相关的概
率计算.
3. 了解贝叶斯公式，并能利用贝叶斯公式进行简单的计
算.
通过本节课的学习，要求会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题.
知识精讲
知识点
全概率公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称为全概率公式.
【全概率公式的解析】全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
条件：（1）是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集.
（2）已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因 所引起的，则事件B发生的概率 ，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关.即全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和.是计算复杂概率问题的有力工具.
2.* 贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,
有
【微点拨】全概率也是条件概率.
【即学即练1】一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
明确第二次取到黑球分两类情况，结合全概率公式求解即可.
【详解】
记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，
则，
由题设易知P(A)＝，，P(B|A)＝，，
于是P(B)＝.
故选：C
【即学即练2】某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（ ）
A．0.8175 B．0.7175 C．0.505 D．0.4575
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，进而根据全概率公式求解即可.
【详解】设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，则，，，，，，
所以．
故选：B
【即学即练3】两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为，第二台出现废品的概率为，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全概率公式直接计算可得结果.
【详解】
设“任意取出一个零件是第台机床生产的”，；“任意取出一个零件是合格品”，
.
故选：C.
【即学即练4】已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．随机取一个袋子，再从该袋中随机取一球，则该球是红球的概率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
分从甲袋中取球和乙袋中取球两种情况,由全概率公式即可求解即可.
【详解】
设事件B：该球是红球，事件；该球取自甲袋，事件：该球取自乙袋，
则，，
所以．
故答案为：
【即学即练5】袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．
【答案】或0.04835
【解析】
【分析】
根据贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】
设B＝{取出的球全是白球}，
Ai＝{掷出i点}(i＝1，2，…，6)，则由贝叶斯公式，得
．
故答案为：
【即学即练6】设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）
【答案】(1)0.0345；(2)0.36.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
(1)
设事件，，分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品.
易知，，两两互斥，根据全概率公式，
可得．
故取到次品的概率为0.0345．
(2)．
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．
【即学即练7】设某公路上经过的货车与客车的数量之比为1:2，货车与客车中途停车修理的概率分别为0.002，0.001.求该公路上行驶的汽车停车修理的概率.
【答案】
【解析】
【分析】
设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，进而根据题意，结合全概率公式求解即可.
【详解】
解：设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则根据题意得，，
所以由全概率公式得：.
即该公路上行驶的汽车停车修理的概率为
【即学即练8】设某公路上经过的货车与客车的数量之比是1：2，货车中途停车修车的概率为0.02，客车中途停车修车的概率为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，求该车是货车的概率．
【答案】．
【解析】
【分析】
由全概率公式计算出停车修理的概率，再由贝叶斯公式计算出结论．
【详解】
记事件为经过的车是货车，事件是经过车是客车，事件是停车修理．
，，，，
，
所以.
能力拓展
考法01
全概率公式的运用：
【典例1】已知，求．
【答案】
【解析】
【分析】
由全概率公式直接计算即可
【详解】
由，
故
【典例2】已知，求．
【答案】0.3
【解析】
【分析】
由全概率公式直接计算即可.
【详解】
由，
故.
【典例3】分别在下列各条件下，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；(2)，.
【分析】
（1）由全概率公式结合条件概率的公式与对立事件的概率公式求解即可；
（2）由全概率公式结合条件概率的公式对立事件的概率公式求解即可；
【解析】
(1)因为
所以，
由，
可得，
所以；
(2)因为
所以，
由，
可得，
所以；
考法02
全概率公式的应用：
【典例4】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
记事件表示从仓库中随机提出的一台是合格品，表示提出的一台是第车间生产的，，，分别求出，，，，再由全概率公式即可求解.
【详解】
设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件，
事件表示提出的一台是第车间生产的，，，
由题意可得，，，，
由全概率公式得
．
所以该产品合格的概率为，
故选：C.
【典例5】有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，一个白球．这6个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为________．若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设A1＝从甲袋放入乙袋的是白球,A2＝从甲袋放入乙袋的是红球,B＝从乙袋中任取一球是红球,利用P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)和 P(A1|B)求解.
【详解】
设A1＝从甲袋放入乙袋的是白球；A2＝从甲袋放入乙袋的是红球；B＝从乙袋中任取一球是红球；
P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝，
P(A1|B)＝.
故答案为：；.
【典例6】年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；
(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
【答案】(1)；(2).
【分析】
（1）先求出这三名志愿者全是学生和全是教职工的概率，再由对立事件的概率关系可得答案
（2）设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校,由全概率公式可得答案.
【解析】
(1)设事件A为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则；
设事件B为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则；
设事件C为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则.
(2)设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校.
，，，.
所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：
考法02
贝叶斯公式：
【典例7】一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解.
【详解】
设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，
由全概率公式得.
又由贝叶斯公式得.
故选：B
【典例8】8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时， 中靶的概率为 0.8； 用未校准的枪射击时， 中靶的概率为0.3．现从8支枪中任取一支用于射击， 结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】
[设B1＝{使用的枪校准过}， B2＝{使用的枪未校准}， A＝{射击时中靶}，则P(B1)＝，P(B2)＝，
P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3．
由贝叶斯公式， 得
．
所以， 所用的枪是校准过的概率为，
故答案为：
【典例9】学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．
（1）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
（2）学生知道正确答案的概率是0.2．
【答案】（1）0.8；（2）0.5.
【解析】
【分析】
记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，根据题意求得，，
（1）此时有，由贝叶斯公式即可得出答案；
（2）此时有，，由贝叶斯公式即可得出答案.
【详解】
解：记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，则按题意有，．
（1）此时有，所以由贝叶斯公式得
．
（2）此时有，，所以由贝叶斯公式得
．
分层提分
题组A 基础过关练
1．若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
记Ai表示取出数字i，分别求出，再应用全概率公式求y＝2的概率即可.
【详解】
设事件Ai表示取出数字i，i＝1，2，3，4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，
事件B表示取到y＝2，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，
∴P(B)＝＝×＝.
故选：C
2. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（ ）
A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003
【答案】A
【解析】
【分析】
设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解
【详解】
设事件A为“任取一件为次品”，
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3，
则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
故选：A
3. 盒中有a朵红花，b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则，
由全概率公式知，分别计算对应概率，代入即得解
【详解】
设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则，
由全概率公式知，
由题意，，，，
所以.
故选：A．
4. 设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用全概率公式，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)计算即得解
【详解】
设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0，1，2，3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝＋＋＋＝.
故选：A
5. 一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全概率公式，结合贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】
[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”，
由全概率公式：
．
又由贝叶斯公式： ．
故选：B
6. 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式计算，即可得到答案；
【详解】
设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式．
由题意，，，，
所以．
故选：C
7. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据贝叶斯概率公式计算即可.
【详解】
设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．
故选：A.
8. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用条件概率公式即可求解.
【详解】
以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，
B表示取得的X光片为次品，
P=，P=，P=，
P=，P=，P=；
则由全概率公式，
所求概率为P=P+P+P
=×+×+×=0.08.
故选：A
9. 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：
一批产品中的次品数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为（ ）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652
【答案】A
【解析】
【分析】
利用条件概率以及全概率计算公式即可求解.
【详解】
以Ai表示一批产品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通过检验，
则由题意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，
P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，
P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．
由全概率公式，
得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．
故选：A
10. 深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
【答案】C
【解析】
【分析】
利用全概率公式可求球队某场比赛不输球的概率.
【详解】
设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．
故选：C．
11. 已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7
【答案】B
【解析】
【分析】
分别记表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，即求，由贝叶斯公式，即得解
【详解】
设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则，，，，
由贝叶斯公式，可知中途停车修理的是货车的概率为
.
故答案为：B
12. 已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（ ）(设男子和女子的人数相等)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，分别求得,结合公式，即可求解.
【详解】
设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，
则,
可得.
故选：B.
题组B 能力提升练
1. ．若，，则下列式子中成立的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据条件概率公式分析判断即可
【详解】
由条件概率的计算公式知A错误；C显然正确；
B选项，，正确
D选项中，因为，所以,故D正确.
故选：BCD
2.甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则（ ）
A．B与相互独立 B．，，两两互斥
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，由条件概率公式计算出概率判断C，由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断D．
【详解】
事件的发生与事件的发生有影响，因此事件的发生与事件不独立，A错；
中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；
，C正确；
，D错．
故选：BC．
3. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】
【分析】
A. 由 求解判断； B. 由条件概率求解判断； C. 由独立事件的概率判断； D.由互斥的事件的定义判断.
【详解】
因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，所以，故B正确；
同理，
所以，故A错误；
因为，所以，故C错误.
故选：BD
4. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BD
【解析】
【分析】
记A：车床加工的零件为次品，记Bi：第i台车床加工的零件，根据已知确定P(A|B1)、P(A|B2)、P(A|B3)、P(B1)、P(B2)、P(B3)，再利用条件概率公式、全概率公式判断各选项描述中的概率是否正确即可.
【详解】
记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)＝6%，P(A|B2)＝P(A|B3)＝5%，又P(B1)＝25%，P(B2)＝30%，P(B3)＝45%，
A：任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)＝6%×25%＝1.5%，故错误；
B：任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)＝6%×25%+5%×75%＝5.25%，故正确；
C：如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)＝＝＝＝，故错误；
D：如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)＝＝＝＝，故正确；故选：BD．
5. 在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则（ ）
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.
【详解】
P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，
由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02．
由贝叶斯公式得：P(D1|S)===0.4，
P(D2|S)===0.45，P(D3|S)===0.15．
故选：ABC
6.甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．两两互斥 B．
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；
因为，，故B项错误；
又，所以，故D项正确.
从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.
故选：AD
7.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_________.
【答案】0.175
【解析】
设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，事件“出事故”，由全概率公式求解.
【详解】
设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，
则构成了的一个划分，设事件“出事故”，
由全概率公式得，
.
故答案为：0.175
8. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
【答案】0.087
【解析】
【分析】
根据条件概率和全概率公式可求得结果．
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键．
9. 某小组有20名射手，其中一、二，三、四级射手分别有2，6，9，3名．若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32．若随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为___________．
【答案】0.5275或
【解析】
【分析】
设事件B：该小组在比赛中射中目标，事件：选i级射手参加比赛，由全概率公式有，从而可得答案.
【详解】
设事件B：该小组在比赛中射中目标，事件：选i级射手参加比赛，．
．
故答案为：0.5275
10. 有一批同一型号的产品，其中一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是______．
【答案】0.013或
【解析】
【分析】
根据全概率公式直接即可求得.
【详解】
设事件B为“从这批产品中任取一件为次品”，事件为“从这批产品中任取一件为i厂生产的产品”，．
由题意知，，，，，
，，
则由全概率公式得 ．故从这批产品中任取一件是次品的概率是0.013．
故答案为：0.013.
11. 某份资料显示，人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟者中患肺癌的概率是______.
【答案】0.00025或
【解析】
【分析】
记“患肺癌”为事件C，“吸烟”为事件A，根据题设写出对应事件的概率，再应用全概率公式列方程，即可求不吸烟者中患肺癌的概率.
【详解】
记“患肺癌”为事件C，“吸烟”为事件A，
由题意得，，，
由全概率公式得：，
将数据代入，得，解得.
故答案为：
12. 袋中装有编号为1，2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设A＝“第一次取到1号球”，则＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，分别求出P(A)，P()，且P(B|A)，P(B|)，再根据全概率公式即可得解.
【详解】
解：设A＝“第一次取到1号球”，则＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，
∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝＝.
故答案为：
13. 从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到的为数字2的概率是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出事件的条件概率，然后根据全概公式求出“取到的为数字2”的概率.
【详解】
解：设事件表示“取到的为数字1”，事件表示“取到的为数字2”，事件表示“取到的为数字3”，事件表示“取到的为数字4”，事件表示“取到的为数字2”.
则.
由条件概率易得，，，
由全概率公式，可得
.
故答案为：
14. 已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由已知得，，.根据贝叶斯公式可求得答案.
【详解】
解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.
由题意，知，，.
由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为
.
故答案为：.
15. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求，，根据条件概率和全概率公式可得，代入计算即可.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以.
故答案为：.
16. 通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为，，.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到其他字符的概率为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
以表示事件“收到的字符是”，分别表示传输的字符为，，，根据已知得到，，，利用贝叶斯公式可计算求得.
【详解】
以表示事件“收到的字符是”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，根据题意有：
，，，，
，；
根据贝叶斯公式可得：
.
故答案为：.
C 培优拔尖练
1. 盒中有4个红球、5个黑球．随机地从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，求第二次取出的是黑球的概率．
【答案】
【解析】
【分析】
合理设出事件，利用全概率公式进行求解
【详解】
设第一次取出的球为黑球为事件A，第一次取出的球为红球为事件B，第二次取出的球是黑球为事件C，则，，，
由全概率公式可得：
2. 某学校有A，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，计算王同学第2天去餐厅用餐的概率.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题意结合全概率公式可直接求得.
【详解】
设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得，
因此，王同学第天去餐厅用餐的概率为.
3. 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
【答案】，
【解析】
【分析】
根据概率的加法和乘法公式进行求解即可.
【详解】
[解] 设Ai ＝“第i次接通电话”，i ＝ 1，2，3，
B＝“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为．
利用概率的加法公式和乘法公式
若已知最后一位数字是奇数，则
.
4. 计算机中心有三台打字机，，，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用，，打字的概率分别为多少.
【答案】0.24；0.6；0.16
【解析】
【分析】
设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件，“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，则根据全概率公式与贝叶斯公式求解即可
【详解】
设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件，
“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，
“该打字员用打字”为事件，
则根据全概率公式有
，
根据贝叶斯公式，可得该打字员使用，，打字的概率分别为：
，
，
.
5. 在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0．现假设发送信号为0和1的概率均为；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．求已知收到信号0时，发出的信号是0（即没有错误接收）的概率．
【答案】0.875
【解析】
【分析】
设事件“发送信号为0”，事件“发送信号为1”，事件“收到信号为0”，事件“收到信号为1”，根据题意可得与构成一完备事件组，分别求出，，，再根据求得，再利用贝叶斯公式即可求出答案.
【详解】
解：设事件“发送信号为0”，事件“发送信号为1”，事件“收到信号为0”，事件“收到信号为1”．
因为收到信号为0时，除来自发送信号为0外，还有发送信号为1时，由于干扰接收的信号0，因此导致事件发生的原因有事件与，且它们互不相容，故与构成一完备事件组．
由题意有，，，
故．
由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为．
6. 在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．
(1)分别求接收的信号为0和1的概率；
(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．
【答案】(1)0.475，0.525
(2)
【解析】
【分析】
（1）由全概率公式和对立事件概率公式计算．
（2）由条件概率公式计算．
(1)
设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得
，，，
，．
；
．
(2)
．
7. 如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)分别求，，和的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
【答案】(1)，，，.
(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.
【分析】
（1）利用条件概率公式,计算即可求得，，；三式求和即得；
（2）利用条件概率公式分别计算，，，最大者即为所求箱号.
【解析】
(1)由已知可得,
,
∴，
，
，
∴.
(2)，，，
最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.
8. 今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
【答案】(1)；(2).
【分析】
（1）设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，利用独立事件的概率公式结合题干条件列出方程，求解，，再利用对立事件的概率公式，即得解；
（2）利用全概率公式结合题干条件，即得解
【解析】
(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，，，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件
由题意可知，，，
解得，.
所以，乙答对这道题的概率为，丙答对这道题的概率为.
甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误，即
则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，
则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，，，则
，，，，，，
则
这个问题回答正确的概率为.
9. 某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到.问这个人迟到的概率是多少？如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是多少？
【答案】迟到的概率是，乘轮船迟到的概率是.
【解析】
【分析】
设表示“乘火车”，表示“乘轮船”，表示“乘飞机”，表示“迟到”，结合已知有，应用全概率公式求，根据贝叶斯公式求即可.
【详解】
设表示“乘火车”，表示“乘轮船”，表示“乘飞机”，表示“迟到”，
∴，，，，，.
∴.
由全概率公式，得这个人迟到的概率为.
如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得他乘轮船迟到的概率为.
10. 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
【答案】（1）0.0125；（2）答案见解析.
【分析】
根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.
【详解】
设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．
则，，是样本空间的一个划分，且，，，
，，.
（1）由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：
【点睛】熟练掌握条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式是解决此题的关键.
第02讲 全概率公式
目标导航
课程标准
课标解读
1. 结合古典概型，了解利用概率的加法公式与乘法公式
推导出全概率公式的过程，为解决一类概率问题奠定基础.
2. 理解全概率公式，并能利用全概率公式进行相关的概
率计算.
3. 了解贝叶斯公式，并能利用贝叶斯公式进行简单的计
算.
通过本节课的学习，要求会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题.
知识精讲
知识点
全概率公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称为全概率公式.
【全概率公式的解析】全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
条件：（1）是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集.
（2）已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因 所引起的，则事件B发生的概率 ，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关.即全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和.是计算复杂概率问题的有力工具.
2.* 贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,
有
【微点拨】全概率也是条件概率.
【即学即练1】一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
明确第二次取到黑球分两类情况，结合全概率公式求解即可.
【详解】
记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，
则，
由题设易知P(A)＝，，P(B|A)＝，，
于是P(B)＝.
故选：C
【即学即练2】某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（ ）
A．0.8175 B．0.7175 C．0.505 D．0.4575
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，进而根据全概率公式求解即可.
【详解】设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，则，，，，，，
所以．
故选：B
【即学即练3】两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为，第二台出现废品的概率为，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全概率公式直接计算可得结果.
【详解】
设“任意取出一个零件是第台机床生产的”，；“任意取出一个零件是合格品”，
.
故选：C.
【即学即练4】已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．随机取一个袋子，再从该袋中随机取一球，则该球是红球的概率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
分从甲袋中取球和乙袋中取球两种情况,由全概率公式即可求解即可.
【详解】
设事件B：该球是红球，事件；该球取自甲袋，事件：该球取自乙袋，
则，，
所以．
故答案为：
【即学即练5】袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．
【答案】或0.04835
【解析】
【分析】
根据贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】
设B＝{取出的球全是白球}，
Ai＝{掷出i点}(i＝1，2，…，6)，则由贝叶斯公式，得
．
故答案为：
【即学即练6】设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）
【答案】(1)0.0345；(2)0.36.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
(1)
设事件，，分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品.
易知，，两两互斥，根据全概率公式，
可得．
故取到次品的概率为0.0345．
(2)．
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．
【即学即练7】设某公路上经过的货车与客车的数量之比为1:2，货车与客车中途停车修理的概率分别为0.002，0.001.求该公路上行驶的汽车停车修理的概率.
【答案】
【解析】
【分析】
设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，进而根据题意，结合全概率公式求解即可.
【详解】
解：设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则根据题意得，，
所以由全概率公式得：.
即该公路上行驶的汽车停车修理的概率为
【即学即练8】设某公路上经过的货车与客车的数量之比是1：2，货车中途停车修车的概率为0.02，客车中途停车修车的概率为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，求该车是货车的概率．
【答案】．
【解析】
【分析】
由全概率公式计算出停车修理的概率，再由贝叶斯公式计算出结论．
【详解】
记事件为经过的车是货车，事件是经过车是客车，事件是停车修理．
，，，，
，
所以.
能力拓展
考法01
全概率公式的运用：
【典例1】已知，求．
【答案】
【解析】
【分析】
由全概率公式直接计算即可
【详解】
由，
故
【典例2】已知，求．
【答案】0.3
【解析】
【分析】
由全概率公式直接计算即可.
【详解】
由，
故.
【典例3】分别在下列各条件下，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；(2)，.
【分析】
（1）由全概率公式结合条件概率的公式与对立事件的概率公式求解即可；
（2）由全概率公式结合条件概率的公式对立事件的概率公式求解即可；
【解析】
(1)因为
所以，
由，
可得，
所以；
(2)因为
所以，
由，
可得，
所以；
考法02
全概率公式的应用：
【典例4】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
记事件表示从仓库中随机提出的一台是合格品，表示提出的一台是第车间生产的，，，分别求出，，，，再由全概率公式即可求解.
【详解】
设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件，
事件表示提出的一台是第车间生产的，，，
由题意可得，，，，
由全概率公式得
．
所以该产品合格的概率为，
故选：C.
【典例5】有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，一个白球．这6个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为________．若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设A1＝从甲袋放入乙袋的是白球,A2＝从甲袋放入乙袋的是红球,B＝从乙袋中任取一球是红球,利用P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)和 P(A1|B)求解.
【详解】
设A1＝从甲袋放入乙袋的是白球；A2＝从甲袋放入乙袋的是红球；B＝从乙袋中任取一球是红球；
P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝，
P(A1|B)＝.
故答案为：；.
【典例6】年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；
(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
【答案】(1)；(2).
【分析】
（1）先求出这三名志愿者全是学生和全是教职工的概率，再由对立事件的概率关系可得答案
（2）设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校,由全概率公式可得答案.
【解析】
(1)设事件A为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则；
设事件B为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则；
设事件C为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则.
(2)设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校.
，，，.
所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：
考法02
贝叶斯公式：
【典例7】一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解.
【详解】
设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，
由全概率公式得.
又由贝叶斯公式得.
故选：B
【典例8】8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时， 中靶的概率为 0.8； 用未校准的枪射击时， 中靶的概率为0.3．现从8支枪中任取一支用于射击， 结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】
[设B1＝{使用的枪校准过}， B2＝{使用的枪未校准}， A＝{射击时中靶}，则P(B1)＝，P(B2)＝，
P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3．
由贝叶斯公式， 得
．
所以， 所用的枪是校准过的概率为，
故答案为：
【典例9】学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．
（1）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
（2）学生知道正确答案的概率是0.2．
【答案】（1）0.8；（2）0.5.
【解析】
【分析】
记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，根据题意求得，，
（1）此时有，由贝叶斯公式即可得出答案；
（2）此时有，，由贝叶斯公式即可得出答案.
【详解】
解：记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，则按题意有，．
（1）此时有，所以由贝叶斯公式得
．
（2）此时有，，所以由贝叶斯公式得
．
分层提分
题组A 基础过关练
1．若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
记Ai表示取出数字i，分别求出，再应用全概率公式求y＝2的概率即可.
【详解】
设事件Ai表示取出数字i，i＝1，2，3，4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，
事件B表示取到y＝2，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，
∴P(B)＝＝×＝.
故选：C
2. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（ ）
A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003
【答案】A
【解析】
【分析】
设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解
【详解】
设事件A为“任取一件为次品”，
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3，
则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
故选：A
3. 盒中有a朵红花，b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则，
由全概率公式知，分别计算对应概率，代入即得解
【详解】
设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则，
由全概率公式知，
由题意，，，，
所以.
故选：A．
4. 设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用全概率公式，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)计算即得解
【详解】
设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0，1，2，3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝＋＋＋＝.
故选：A
5. 一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全概率公式，结合贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】
[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”，
由全概率公式：
．
又由贝叶斯公式： ．
故选：B
6. 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式计算，即可得到答案；
【详解】
设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式．
由题意，，，，
所以．
故选：C
7. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据贝叶斯概率公式计算即可.
【详解】
设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．
故选：A.
8. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用条件概率公式即可求解.
【详解】
以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，
B表示取得的X光片为次品，
P=，P=，P=，
P=，P=，P=；
则由全概率公式，
所求概率为P=P+P+P
=×+×+×=0.08.
故选：A
9. 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：
一批产品中的次品数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为（ ）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652
【答案】A
【解析】
【分析】
利用条件概率以及全概率计算公式即可求解.
【详解】
以Ai表示一批产品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通过检验，
则由题意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，
P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，
P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．
由全概率公式，
得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．
故选：A
10. 深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
【答案】C
【解析】
【分析】
利用全概率公式可求球队某场比赛不输球的概率.
【详解】
设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．
故选：C．
11. 已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7
【答案】B
【解析】
【分析】
分别记表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，即求，由贝叶斯公式，即得解
【详解】
设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则，，，，
由贝叶斯公式，可知中途停车修理的是货车的概率为
.
故答案为：B
12. 已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（ ）(设男子和女子的人数相等)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，分别求得,结合公式，即可求解.
【详解】
设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，
则,
可得.
故选：B.
题组B 能力提升练
1. ．若，，则下列式子中成立的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据条件概率公式分析判断即可
【详解】
由条件概率的计算公式知A错误；C显然正确；
B选项，，正确
D选项中，因为，所以,故D正确.
故选：BCD
2.甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则（ ）
A．B与相互独立 B．，，两两互斥
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，由条件概率公式计算出概率判断C，由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断D．
【详解】
事件的发生与事件的发生有影响，因此事件的发生与事件不独立，A错；
中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；
，C正确；
，D错．
故选：BC．
3. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】
【分析】
A. 由 求解判断； B. 由条件概率求解判断； C. 由独立事件的概率判断； D.由互斥的事件的定义判断.
【详解】
因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，所以，故B正确；
同理，
所以，故A错误；
因为，所以，故C错误.
故选：BD
4. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BD
【解析】
【分析】
记A：车床加工的零件为次品，记Bi：第i台车床加工的零件，根据已知确定P(A|B1)、P(A|B2)、P(A|B3)、P(B1)、P(B2)、P(B3)，再利用条件概率公式、全概率公式判断各选项描述中的概率是否正确即可.
【详解】
记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)＝6%，P(A|B2)＝P(A|B3)＝5%，又P(B1)＝25%，P(B2)＝30%，P(B3)＝45%，
A：任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)＝6%×25%＝1.5%，故错误；
B：任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)＝6%×25%+5%×75%＝5.25%，故正确；
C：如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)＝＝＝＝，故错误；
D：如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)＝＝＝＝，故正确；故选：BD．
5. 在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则（ ）
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.
【详解】
P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，
由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02．
由贝叶斯公式得：P(D1|S)===0.4，
P(D2|S)===0.45，P(D3|S)===0.15．
故选：ABC
6.甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．两两互斥 B．
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；
因为，，故B项错误；
又，所以，故D项正确.
从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.
故选：AD
7.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_________.
【答案】0.175
【解析】
设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，事件“出事故”，由全概率公式求解.
【详解】
设“他是谨慎的”，“他是一般的”，“他是冒失的”，
则构成了的一个划分，设事件“出事故”，
由全概率公式得，
.
故答案为：0.175
8. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
【答案】0.087
【解析】
【分析】
根据条件概率和全概率公式可求得结果．
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键．
9. 某小组有20名射手，其中一、二，三、四级射手分别有2，6，9，3名．若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32．若随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为___________．
【答案】0.5275或
【解析】
【分析】
设事件B：该小组在比赛中射中目标，事件：选i级射手参加比赛，由全概率公式有，从而可得答案.
【详解】
设事件B：该小组在比赛中射中目标，事件：选i级射手参加比赛，．
．
故答案为：0.5275
10. 有一批同一型号的产品，其中一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是______．
【答案】0.013或
【解析】
【分析】
根据全概率公式直接即可求得.
【详解】
设事件B为“从这批产品中任取一件为次品”，事件为“从这批产品中任取一件为i厂生产的产品”，．
由题意知，，，，，
，，
则由全概率公式得 ．故从这批产品中任取一件是次品的概率是0.013．
故答案为：0.013.
11. 某份资料显示，人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟者中患肺癌的概率是______.
【答案】0.00025或
【解析】
【分析】
记“患肺癌”为事件C，“吸烟”为事件A，根据题设写出对应事件的概率，再应用全概率公式列方程，即可求不吸烟者中患肺癌的概率.
【详解】
记“患肺癌”为事件C，“吸烟”为事件A，
由题意得，，，
由全概率公式得：，
将数据代入，得，解得.
故答案为：
12. 袋中装有编号为1，2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设A＝“第一次取到1号球”，则＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，分别求出P(A)，P()，且P(B|A)，P(B|)，再根据全概率公式即可得解.
【详解】
解：设A＝“第一次取到1号球”，则＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，
∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝＝.
故答案为：
13. 从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到的为数字2的概率是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出事件的条件概率，然后根据全概公式求出“取到的为数字2”的概率.
【详解】
解：设事件表示“取到的为数字1”，事件表示“取到的为数字2”，事件表示“取到的为数字3”，事件表示“取到的为数字4”，事件表示“取到的为数字2”.
则.
由条件概率易得，，，
由全概率公式，可得
.
故答案为：
14. 已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由已知得，，.根据贝叶斯公式可求得答案.
【详解】
解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.
由题意，知，，.
由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为
.
故答案为：.
15. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求，，根据条件概率和全概率公式可得，代入计算即可.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以.
故答案为：.
16. 通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为，，.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到其他字符的概率为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
以表示事件“收到的字符是”，分别表示传输的字符为，，，根据已知得到，，，利用贝叶斯公式可计算求得.
【详解】
以表示事件“收到的字符是”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，根据题意有：
，，，，
，；
根据贝叶斯公式可得：
.
故答案为：.
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1. 盒中有4个红球、5个黑球．随机地从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，求第二次取出的是黑球的概率．
【答案】
【解析】
【分析】
合理设出事件，利用全概率公式进行求解
【详解】
设第一次取出的球为黑球为事件A，第一次取出的球为红球为事件B，第二次取出的球是黑球为事件C，则，，，
由全概率公式可得：
2. 某学校有A，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，计算王同学第2天去餐厅用餐的概率.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题意结合全概率公式可直接求得.
【详解】
设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得，
因此，王同学第天去餐厅用餐的概率为.
3. 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
【答案】，
【解析】
【分析】
根据概率的加法和乘法公式进行求解即可.
【详解】
[解] 设Ai ＝“第i次接通电话”，i ＝ 1，2，3，
B＝“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为．
利用概率的加法公式和乘法公式
若已知最后一位数字是奇数，则
.
4. 计算机中心有三台打字机，，，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用，，打字的概率分别为多少.
【答案】0.24；0.6；0.16
【解析】
【分析】
设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件，“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，则根据全概率公式与贝叶斯公式求解即可
【详解】
设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件，
“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，
“该打字员用打字”为事件，
则根据全概率公式有
，
根据贝叶斯公式，可得该打字员使用，，打字的概率分别为：
，
，
.
5. 在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0．现假设发送信号为0和1的概率均为；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．求已知收到信号0时，发出的信号是0（即没有错误接收）的概率．
【答案】0.875
【解析】
【分析】
设事件“发送信号为0”，事件“发送信号为1”，事件“收到信号为0”，事件“收到信号为1”，根据题意可得与构成一完备事件组，分别求出，，，再根据求得，再利用贝叶斯公式即可求出答案.
【详解】
解：设事件“发送信号为0”，事件“发送信号为1”，事件“收到信号为0”，事件“收到信号为1”．
因为收到信号为0时，除来自发送信号为0外，还有发送信号为1时，由于干扰接收的信号0，因此导致事件发生的原因有事件与，且它们互不相容，故与构成一完备事件组．
由题意有，，，
故．
由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为．
6. 在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．
(1)分别求接收的信号为0和1的概率；
(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．
【答案】(1)0.475，0.525
(2)
【解析】
【分析】
（1）由全概率公式和对立事件概率公式计算．
（2）由条件概率公式计算．
(1)
设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得
，，，
，．
；
．
(2)
．
7. 如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)分别求，，和的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
【答案】(1)，，，.
(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.
【分析】
（1）利用条件概率公式,计算即可求得，，；三式求和即得；
（2）利用条件概率公式分别计算，，，最大者即为所求箱号.
【解析】
(1)由已知可得,
,
∴，
，
，
∴.
(2)，，，
最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.
8. 今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
【答案】(1)；(2).
【分析】
（1）设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，利用独立事件的概率公式结合题干条件列出方程，求解，，再利用对立事件的概率公式，即得解；
（2）利用全概率公式结合题干条件，即得解
【解析】
(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，，，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件
由题意可知，，，
解得，.
所以，乙答对这道题的概率为，丙答对这道题的概率为.
甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误，即
则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，
则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，，，则
，，，，，，
则
这个问题回答正确的概率为.
9. 某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到.问这个人迟到的概率是多少？如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是多少？
【答案】迟到的概率是，乘轮船迟到的概率是.
【解析】
【分析】
设表示“乘火车”，表示“乘轮船”，表示“乘飞机”，表示“迟到”，结合已知有，应用全概率公式求，根据贝叶斯公式求即可.
【详解】
设表示“乘火车”，表示“乘轮船”，表示“乘飞机”，表示“迟到”，
∴，，，，，.
∴.
由全概率公式，得这个人迟到的概率为.
如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得他乘轮船迟到的概率为.
10. 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
【答案】（1）0.0125；（2）答案见解析.
【分析】
根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.
【详解】
设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．
则，，是样本空间的一个划分，且，，，
，，.
（1）由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：
由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：
【点睛】熟练掌握条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式是解决此题的关键.
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