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    北师大版数学九年级下册待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)(含答案)

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    初中数学1 二次函数精练

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    这是一份初中数学1 二次函数精练,共4页。
    【学习目标】
    1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;
    2. 经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,二次函数三种形式是可以互相转化的.
    【要点梳理】
    要点一、用待定系数法求二次函数解析式
    1.二次函数解析式常见有以下几种形式 :
    (1)一般式: SKIPIF 1 < 0 (a,b,c为常数,a≠0);
    (2)顶点式: SKIPIF 1 < 0 (a,h,k为常数,a≠0);
    (3)交点式: SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为抛物线与x轴交点的横坐标,a≠0).
    2.确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
    第一步,设:先设出二次函数的解析式,如 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
    或 SKIPIF 1 < 0 ,其中a≠0;
    第二步,代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组);
    第三步,解:解此方程或方程组,求待定系数;
    第四步,还原:将求出的待定系数还原到解析式中.
    要点诠释:
    在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:①当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ;②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ;③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时,可设函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
    【典型例题】
    类型一、用待定系数法求二次函数解析式
    1.已知二次函数的图象过(-1,-9)、(1,-3)和(3,-5)三点,求此二次函数的解析式.
    【答案与解析】
    本题已知三点求解析式,可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),由题意得:
    解得
    ∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.
    【总结升华】若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式:y=ax2+bx+c (a≠0).
    举一反三:
    【变式】(2020秋•岳池县期末)已知二次函数图象过点O(0,0)、A(1,3)、B(﹣2,6),求函数的解析式和对称轴.
    【答案与解析】
    解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
    把O(0,0)、A(1,3)、B(﹣2,6)各点代入上式得
    解得,
    ∴抛物线解析式为y=2x2+x;
    ∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣.
    2.(2020•巴中模拟)已知抛物线的顶点坐标为M(1,﹣2),且经过点N(2,3),求此二次函数的解析式.
    【答案与解析】
    解:已知抛物线的顶点坐标为M(1,﹣2),
    设此二次函数的解析式为y=a(x﹣1)2﹣2,
    把点(2,3)代入解析式,得:
    a﹣2=3,即a=5,
    ∴此函数的解析式为y=5(x﹣1)2﹣2.
    【总结升华】本题已知顶点,可设顶点式.
    举一反三:
    【变式】在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ,且过点 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求该二次函数的解析式;
    (2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的另一个交点的坐标.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 .
    (2)令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,解方程,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    ∴二次函数图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的两个交点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
    ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点.
    平移后所得图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的另一个交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
    3.(2020•丹阳市校级模拟)抛物线的图象如图,则它的函数表达式是 .当x 时,y>0.
    【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过(1,0),(3,0),(0,3),可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式.y>0时,求x的取值范围,即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值.
    【答案】y=x2﹣4x+3.x<1,或x>3
    【解析】
    解:观察可知抛物线的图象经过(1,0),(3,0),(0,3),
    由“交点式”,得抛物线解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),
    将(0,3)代入,
    3=a(0﹣1)(0﹣3),
    解得a=1.
    故函数表达式为y=x2﹣4x+3.
    由图可知当x<1,或x>3时,y>0.
    【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.
    类型二、用待定系数法解题
    4.已知抛物线经过(3,5),A(4,0),B(-2,0),且与y轴交于点C.
    (1)求二次函数解析式;
    (2)求△ABC的面积.
    【答案与解析】
    (1)设抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 (a≠0),将(3,5)代入得 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    即 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)由(1)知C(0,8),
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    【总结升华】此题容易误将(3,5)当成抛物线顶点.将抛物线解析式设成顶点式.

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