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初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数复习练习题
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待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;2. 经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,二次函数三种形式是可以互相转化的. 【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 : (1)一般式:(a,b,c为常数,a≠0); (2)顶点式:(a,h,k为常数,a≠0); (3)交点式:(,为抛物线与x轴交点的横坐标,a≠0).2.确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步,设:先设出二次函数的解析式,如或,或,其中a≠0; 第二步,代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组); 第三步,解:解此方程或方程组,求待定系数; 第四步,还原:将求出的待定系数还原到解析式中.要点诠释:在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:①当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为;②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为;③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时,可设函数的解析式为. 【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线经过A,B,C三点,当时,其图象如图1所示.求抛物线的解析式,写出顶点坐标.图1【答案与解析】 设所求抛物线的解析式为().由图象可知A,B,C的坐标分别为(0,2),(4,0),(5,-3).解之,得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标,需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时,通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意:如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”,那就必须加上自变量的取值范围.2. (2020•丹阳市校级模拟)形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(0,﹣5)的抛物线的关系式为 .【思路点拨】形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同,但开口方向不同,因此可设顶点式为y=﹣2(x﹣h)2+k,其中(h,k)为顶点坐标.将顶点坐标(0,﹣5)代入求出抛物线的关系式.【答案】y=﹣2x2﹣5.【解析】 解:∵形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同,但开口方向不同,设抛物线的关系式为y=﹣2(x﹣h)2+k,将顶点坐标是(0,﹣5)代入,y=﹣2(x﹣0)2﹣5,即y=﹣2x2﹣5.∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5.【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.3. 已知抛物线的顶点坐标为(-1,4),与轴两交点间的距离为6,求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为(-1,4),所以对称轴为,又因为抛物线与轴两交点的距离为6,所以两交点的横坐标分别为: ,, 则两交点的坐标为(,0)、(2,0);求函数的函数关系式可有两种方法:解法:设抛物线的函数关系式为顶点式:(a≠0),把(2,0)代入得,所以抛物线的函数关系式为;解法:设抛物线的函数关系式为两点式:(a≠0),把(-1,4)代入得,所以抛物线的函数关系式为:;【总结升华】在求函数的解析式时,要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三:【变式】(2014•永嘉县校级模拟)已知抛物线经过点(1,0),(﹣5,0),且顶点纵坐标为,这个二次函数的解析式 .【答案】y=﹣x2﹣2x+ .提示:设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+,将点(1,0)代入,得a(1+2)2+=0,解得a=﹣,即y=﹣(x+2)2+,∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+. 类型二、用待定系数法解题4.(2020春•石家庄校级期中)已知二次函数的图象如图所示,根据图中的数据,(1)求二次函数的解析式;(2)设此二次函数的顶点为P,求△ABP的面积. 【答案与解析】 解:(1)由二次函数图象知,函数与x轴交于两点(﹣1,0),(3,0),设其解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),又∵函数与y轴交于点(0,2),代入解析式得,a×(﹣3)=2,∴a=﹣,∴二次函数的解析式为:,即;(2)由函数图象知,函数的对称轴为:x=1,当x=1时,y=﹣×2×(﹣2)=,∴△ABP的面积S===.【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质,对称轴及顶点坐标,另外巧妙设函数的解析式,从而来减少计算量. 【答案与解析】 (1)把A(2,0),B(0,-6)代入得 解得∴ 这个二次函数的解析式为.(2)∵ 该抛物线的对称轴为直线,∴ 点C的坐标为(4,0),∴ AC=OC-OA=4-2=2.∴ .【总结升华】求△ABC的面积时,一般要将坐标轴上的边作为底边,另一点的纵(横)坐标的绝对值为高进行求解.(1)将A、B两点坐标分别代入解析式求出b,c的值.(2)先求出点C的坐标再求出△ABC的面积.举一反三:【变式】已知二次函数图象的顶点是,且过点.(1)求二次函数的表达式;(2)求证:对任意实数,点都不在这个二次函数的图象上.【答案】(1);(2)证明:若点在此二次函数的图象上,则. 得. △=,该方程无实根. 所以原结论成立.
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