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数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试第1课时教案设计
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这是一份数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试第1课时教案设计，共8页。教案主要包含了学生知识状况分析，教学任务分析，教学过程分析，教学反思等内容，欢迎下载使用。
教学设计说明
一、学生知识状况分析
学生的认知水平：学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角之和为900），以及有30°角的特殊直角三角形的边角关系，即；直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.而通过本章的学习，学生已更深入的学到了直角三角形的边角关系，基本掌握了特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，解直角三角形.还会应用三角函数知识解决生活中的实际问题.
学生活动感知基础：，学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，利用计算器进行任意锐角的度数与其对应的三角函数值的互换的操作，也能把简单的实际问题转化为数学问题.因此，学生能熟练使用计算器，具备了一定的探究能力，解决实际问题的能力也有了一定的提升.
二、教学任务分析
本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，同时逐步渗透“转化思想、数形结合思想、方程思想、从特殊到一般的思想、数学的建模思想.”加深学生对本章知识的理解，提升学生应用本章知识的能力.
知识与技能：
1．以问题的形式梳理本章的内容，通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值.使学生进一步会运用三角函数知识解直角三角形，并能解决与直角三角形有关的实际问题.
2．提升学生操作计算器解决实际问题的能力.
过程与方法：
在练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.
情感与态度：
通过本节课的学习，让学生在熟练掌握知识的基础上提升他们解决实际问题能力，培养学生学习数学的兴趣.
重点：能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.提高知识的理解水平和综合能力.
突出策略：通过例题讲解和练习的分析与知识归纳，加深学生对本章知识的理解.
难点；能根据实际问题设计活动方案.及时地把有关知识上升为数学经验，形成个性化的学习技能.
突破策略：通过例题及练习的思考与分析提升学生的能力.
本章主要数学思想方法：
数形结合思想：此部分内容经常用到数形结合思想，对于每一个题都可结合图形分析，
会更清楚简捷.数与形相结合，是问题清晰，思路简捷有条理，是几何知识中最常用的思
想方法之一，也是最应该坚持实施的方法.
从特殊到一般的思想；锐角三角函数中包含了特殊角的三角函数值，对于三角函数之间
的关系和转化，都可从特殊角开始.
转化思想：把直角三角形的线段比，转化为三角函数值或面积的比.
数学的建模思想：解直角三角形的实际应用，即将实际问题“数学化”，构建直角三角形
来解决问题.
教学方法：启发式、合作交流式.
教学手段：多媒体课件、学案
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：热身练习——知识归纳——应用分析——归纳与总结——布置作业.
第一环节 热身练习(5分钟)
活动内容：
一、根据给出的条件，由学生给出相应的锐角的三角函数值或角度，
完成复习题的4、5题
二、学生独立练习：
1、在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，求 ，cnA，tanA；
2、（1）；
（2）； （3）.
3、（1）Rt△ABC中，，则；
（2）在Rt△ABC中，,求、与
4. 在Rt△ABC中，∠C＝900，若求 ，，；
5.已知csA=0.6,求sinA,tanA.
设计意图：通过做几道练习题，巩固已实现的三角函数的基础目标（定义、特殊角的值、解直角三角形），及对三角函数公式的应用；熟练利用计算器进行三角函数值及其对应的锐角度数间的互换；主要是让学生回顾基础知识，巩固基本解题能力，为下一环节的知识归纳作铺垫.
教学实际效果：这些题涉及到的知识点多，相对比较简单，绝大大部分学生都能在规定时间内完成，准确度比较高，基本实现了设计意图.
第二环节 知识归纳（8分钟）
设计内容：总结归纳直角三角形的边、角相关系，以及本章基础知识点.
1、直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
2、直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900.
3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
4、互余两角之间的三角函数关系: sinA=csB
同角之间的三角函数关系: sin2A+cs2A=1
特殊角300,450,600角的三角函数值.
设计意图：通过知识归纳总结，让学生把所做的练习题与知识点很自然的联系起来，使学生能全面的掌握、理解并能应用这些知识点.
教学实际效果：绝大部分学生对本章知识点有了更全面、更清晰的认识和理解，为下环
节的教学打下了基础.
第三环节 应用分析（16分钟）
设计内容：
一、学生独立练习；完成课本复习题第8（2）、9、10题；
二、例题分析两题题目及答案：（师生交流实现转化目标）
1、如图,甲,乙两楼相距30m,甲楼高40m,自甲楼楼顶看乙楼楼顶,仰角为300多高?(结果根号表示).
分析：解三角函数应用题目首先要把实际问题转化
为学过的数学问题，最关键的是要构造合适的直角
三角形，把已知角和边放在所构造的直角三角形中.
如图二，把一个实际的问题转化为一个数学的几何
问题，再结合刚学的三角函数知识，此题就不难解答了.
解：过A作DAE⊥DC于E
在Rt△ADE中，
AE=BC=30, ∠A=300
∵ tan A=
∴ DE=×30=
DC=30+
乙楼的高度为（30+）m.
2、如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.(结果根号表示).
（1）问B处是否会受到影响？请说明理由.
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸
分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影
响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离
与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若
小于200海里则不受影响.
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B处200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就得到解决.
解：（1）过B作BD⊥AC于D
根据题意得：∠BAC=30°，在Rt△ABD中
∴B处会受到影响.
（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在Rt△DBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在Rt△BAD中，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：
∴该船应在（小时内卸完货物.（约为3.8小时）
设计意图： 增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作出辅助线，联系三角函数解题；增强学生将实际问题转为数学问题，并能针对性的利用三角函数来解决.其中渗透“数形结合思想、转化思想、方程思想、”等思想方法.
教学效果： 对第8题还有一部分同学需要老师提示，主要是点拨如何将题目的已知与问题联系起来，利用图形的特点来添加辅助线解题，在此基础上第9题大部分学生都能独立完成. 同样，第9题是给学生一个缓冲的容易接受的题目，感受到解决实际问题的基本方法和过程，而第10题则是对学生一个解题能力的挑战，少部分同学能形成一点思路，只有几同学解决的较好.通过这几道题的练习，每个学生的解题能力都能到了巩固和提高，层次较高的学生也有机会得到更大的提升.为下环节的教学埋下伏笔.
第四环节 归纳与总结（11分钟）
设计内容：师生互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系.一起构建本章知识框架图，课前有布置，
（1）小组完善框架图
（2）展示小组好的作品
（3）师生共同交流，形成共识，得出大家认为最好的知识网络框架图
本章知识结构框图
设计意图：鼓励学生自己进行章节知识总结，加深对本章知识整体性认识，形成系统的知识体系.水到渠成的完成本章知识框架图.
教学效果：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了“直角三角形的边角关系”的认识和理解，通过框架图不断完善，从而清晰的展现了本章知识点与其他章节知识点之间的内在联系，
第五环节 作业布置（5分钟）
设计内容： A组 复习题3、6、9、12、16题.
B组 复习题3、6、9、12、19题.
C组 复习题3、6、9、11、16题，选作题（附后）
1．在Rt△ABC中， ∠C=90°，如果sinA，csB是方程
的两实根，求m的值和∠A的度数是多少？
2、如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要
经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接
沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．
桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（结果精确到0.1km．参考数据：，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）
解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G.
∵ DC∥AB，
∴ 四边形DCBG为平行四边形.
∴ 两条路线路程之差为AD+DG-AG.
因此 在Rt△DGH中，
DH=DG×sin370≈11×0.6 = 6.60
GH=DG×cs370≈11×0.8 = 8.80
在Rt△ADH中，
即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km.
设计意图；由于本班学生基础较差，因此在布置练习题是，坚持 “不同学生有不同的学习需要”的原则，设计三层次练习题，使每个学生都能得到相应的提升.体现了因材施教的教学原则.使每一个教学环节都严格的遵循课程标准.
教学效果： 加强学生对三角函数与其他运算公式结合的的运算能力，巩固利用三角函数解决楼高的实际问题.选作题让学生学会根据实际背景、有限的条件进行综合分析、思考，多次分散和组合应用三角函数，并在对三角函数的应用中渗透数形结合的思想.基本实现本课的教学目标.
四、教学反思
1．切合学生认知水平，练习提升适度
新版教科书给教师提供了大家都适用的教学素材，而我们可以根据学生的实际情况进行适当整合.我带班级学生总体素质和能力较低，个体差异比较大.因此，我只在课本上选用了较多练习题做为基础练习，只加了两道难度较大练习，题目全部来源于课本练习的变式，这可以让不同层次的学生都有不同的学习机会，绝大部分学生都能学到自己需要的知识.而且练习题难度层层深入，让学生容易接受，是他们逐步进入学习状态.教学过程环环相扣，整节课围绕教学目标，达到了较好的学习效果.
2．坚持练习和知识点归纳的相结合复习方式
单元复习课要注意练习和知识归纳兼顾，在练习和知识归纳的时间分配上，我侧重于知识归纳，在这节课里，我先用几道不同层次的课本练习题，让学生智力热身，在讲评练习的过程中把用到的知识归纳起来，然而顺理成章的和学生一起把本章的知识框架图呈现出来；在此基础上播出三角函数的实际应用问题（复习题第12题），难度适当提高，课堂衔接平滑，学生容易接受，最后再对本章内容进行全面的概述并完整知识框架图，使学生对本章知识有了系统的认识.
整节课我始终坚持以学生活动为主，多倾听适当引导的原则，在教学中充分体现学生的主体地位，让学生主动参与到学习中去，形成了较好的学习氛围，目标达成效果较好.
3．需要注意和改进的方面
本节课内容较不算多，但是在进行知识归纳和在实际问题转化时花时间不少，因此整个课堂时间药相当科学，可以考虑课前让学生先归纳知识框架图，在课堂上不留思考讨论的时间，师生归纳会快一些；最后一道题的时间有可能不够，应灵活处理，也可以考虑设为课后练习.
总而言之，本节课体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试.我突破了自己的传统教学模式，尝试让学生自主探究，把数学课真正的让给学生，激发学生的潜力，让学生充分展示自己，真正实现了“以生为本教育”！
教学设计说明
一、学生知识状况分析
学生的认知水平：学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角之和为900），以及有30°角的特殊直角三角形的边角关系，即；直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.而通过本章的学习，学生已更深入的学到了直角三角形的边角关系，基本掌握了特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，解直角三角形.还会应用三角函数知识解决生活中的实际问题.
学生活动感知基础：，学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，利用计算器进行任意锐角的度数与其对应的三角函数值的互换的操作，也能把简单的实际问题转化为数学问题.因此，学生能熟练使用计算器，具备了一定的探究能力，解决实际问题的能力也有了一定的提升.
二、教学任务分析
本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，同时逐步渗透“转化思想、数形结合思想、方程思想、从特殊到一般的思想、数学的建模思想.”加深学生对本章知识的理解，提升学生应用本章知识的能力.
知识与技能：
1．以问题的形式梳理本章的内容，通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值.使学生进一步会运用三角函数知识解直角三角形，并能解决与直角三角形有关的实际问题.
2．提升学生操作计算器解决实际问题的能力.
过程与方法：
在练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.
情感与态度：
通过本节课的学习，让学生在熟练掌握知识的基础上提升他们解决实际问题能力，培养学生学习数学的兴趣.
重点：能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.提高知识的理解水平和综合能力.
突出策略：通过例题讲解和练习的分析与知识归纳，加深学生对本章知识的理解.
难点；能根据实际问题设计活动方案.及时地把有关知识上升为数学经验，形成个性化的学习技能.
突破策略：通过例题及练习的思考与分析提升学生的能力.
本章主要数学思想方法：
数形结合思想：此部分内容经常用到数形结合思想，对于每一个题都可结合图形分析，
会更清楚简捷.数与形相结合，是问题清晰，思路简捷有条理，是几何知识中最常用的思
想方法之一，也是最应该坚持实施的方法.
从特殊到一般的思想；锐角三角函数中包含了特殊角的三角函数值，对于三角函数之间
的关系和转化，都可从特殊角开始.
转化思想：把直角三角形的线段比，转化为三角函数值或面积的比.
数学的建模思想：解直角三角形的实际应用，即将实际问题“数学化”，构建直角三角形
来解决问题.
教学方法：启发式、合作交流式.
教学手段：多媒体课件、学案
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：热身练习——知识归纳——应用分析——归纳与总结——布置作业.
第一环节 热身练习(5分钟)
活动内容：
一、根据给出的条件，由学生给出相应的锐角的三角函数值或角度，
完成复习题的4、5题
二、学生独立练习：
1、在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，求 ，cnA，tanA；
2、（1）；
（2）； （3）.
3、（1）Rt△ABC中，，则；
（2）在Rt△ABC中，,求、与
4. 在Rt△ABC中，∠C＝900，若求 ，，；
5.已知csA=0.6,求sinA,tanA.
设计意图：通过做几道练习题，巩固已实现的三角函数的基础目标（定义、特殊角的值、解直角三角形），及对三角函数公式的应用；熟练利用计算器进行三角函数值及其对应的锐角度数间的互换；主要是让学生回顾基础知识，巩固基本解题能力，为下一环节的知识归纳作铺垫.
教学实际效果：这些题涉及到的知识点多，相对比较简单，绝大大部分学生都能在规定时间内完成，准确度比较高，基本实现了设计意图.
第二环节 知识归纳（8分钟）
设计内容：总结归纳直角三角形的边、角相关系，以及本章基础知识点.
1、直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
2、直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900.
3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
4、互余两角之间的三角函数关系: sinA=csB
同角之间的三角函数关系: sin2A+cs2A=1
特殊角300,450,600角的三角函数值.
设计意图：通过知识归纳总结，让学生把所做的练习题与知识点很自然的联系起来，使学生能全面的掌握、理解并能应用这些知识点.
教学实际效果：绝大部分学生对本章知识点有了更全面、更清晰的认识和理解，为下环
节的教学打下了基础.
第三环节 应用分析（16分钟）
设计内容：
一、学生独立练习；完成课本复习题第8（2）、9、10题；
二、例题分析两题题目及答案：（师生交流实现转化目标）
1、如图,甲,乙两楼相距30m,甲楼高40m,自甲楼楼顶看乙楼楼顶,仰角为300多高?(结果根号表示).
分析：解三角函数应用题目首先要把实际问题转化
为学过的数学问题，最关键的是要构造合适的直角
三角形，把已知角和边放在所构造的直角三角形中.
如图二，把一个实际的问题转化为一个数学的几何
问题，再结合刚学的三角函数知识，此题就不难解答了.
解：过A作DAE⊥DC于E
在Rt△ADE中，
AE=BC=30, ∠A=300
∵ tan A=
∴ DE=×30=
DC=30+
乙楼的高度为（30+）m.
2、如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.(结果根号表示).
（1）问B处是否会受到影响？请说明理由.
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸
分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影
响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离
与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若
小于200海里则不受影响.
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B处200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就得到解决.
解：（1）过B作BD⊥AC于D
根据题意得：∠BAC=30°，在Rt△ABD中
∴B处会受到影响.
（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在Rt△DBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在Rt△BAD中，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：
∴该船应在（小时内卸完货物.（约为3.8小时）
设计意图： 增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作出辅助线，联系三角函数解题；增强学生将实际问题转为数学问题，并能针对性的利用三角函数来解决.其中渗透“数形结合思想、转化思想、方程思想、”等思想方法.
教学效果： 对第8题还有一部分同学需要老师提示，主要是点拨如何将题目的已知与问题联系起来，利用图形的特点来添加辅助线解题，在此基础上第9题大部分学生都能独立完成. 同样，第9题是给学生一个缓冲的容易接受的题目，感受到解决实际问题的基本方法和过程，而第10题则是对学生一个解题能力的挑战，少部分同学能形成一点思路，只有几同学解决的较好.通过这几道题的练习，每个学生的解题能力都能到了巩固和提高，层次较高的学生也有机会得到更大的提升.为下环节的教学埋下伏笔.
第四环节 归纳与总结（11分钟）
设计内容：师生互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系.一起构建本章知识框架图，课前有布置，
（1）小组完善框架图
（2）展示小组好的作品
（3）师生共同交流，形成共识，得出大家认为最好的知识网络框架图
本章知识结构框图
设计意图：鼓励学生自己进行章节知识总结，加深对本章知识整体性认识，形成系统的知识体系.水到渠成的完成本章知识框架图.
教学效果：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了“直角三角形的边角关系”的认识和理解，通过框架图不断完善，从而清晰的展现了本章知识点与其他章节知识点之间的内在联系，
第五环节 作业布置（5分钟）
设计内容： A组 复习题3、6、9、12、16题.
B组 复习题3、6、9、12、19题.
C组 复习题3、6、9、11、16题，选作题（附后）
1．在Rt△ABC中， ∠C=90°，如果sinA，csB是方程
的两实根，求m的值和∠A的度数是多少？
2、如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要
经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接
沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．
桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（结果精确到0.1km．参考数据：，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）
解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G.
∵ DC∥AB，
∴ 四边形DCBG为平行四边形.
∴ 两条路线路程之差为AD+DG-AG.
因此 在Rt△DGH中，
DH=DG×sin370≈11×0.6 = 6.60
GH=DG×cs370≈11×0.8 = 8.80
在Rt△ADH中，
即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km.
设计意图；由于本班学生基础较差，因此在布置练习题是，坚持 “不同学生有不同的学习需要”的原则，设计三层次练习题，使每个学生都能得到相应的提升.体现了因材施教的教学原则.使每一个教学环节都严格的遵循课程标准.
教学效果： 加强学生对三角函数与其他运算公式结合的的运算能力，巩固利用三角函数解决楼高的实际问题.选作题让学生学会根据实际背景、有限的条件进行综合分析、思考，多次分散和组合应用三角函数，并在对三角函数的应用中渗透数形结合的思想.基本实现本课的教学目标.
四、教学反思
1．切合学生认知水平，练习提升适度
新版教科书给教师提供了大家都适用的教学素材，而我们可以根据学生的实际情况进行适当整合.我带班级学生总体素质和能力较低，个体差异比较大.因此，我只在课本上选用了较多练习题做为基础练习，只加了两道难度较大练习，题目全部来源于课本练习的变式，这可以让不同层次的学生都有不同的学习机会，绝大部分学生都能学到自己需要的知识.而且练习题难度层层深入，让学生容易接受，是他们逐步进入学习状态.教学过程环环相扣，整节课围绕教学目标，达到了较好的学习效果.
2．坚持练习和知识点归纳的相结合复习方式
单元复习课要注意练习和知识归纳兼顾，在练习和知识归纳的时间分配上，我侧重于知识归纳，在这节课里，我先用几道不同层次的课本练习题，让学生智力热身，在讲评练习的过程中把用到的知识归纳起来，然而顺理成章的和学生一起把本章的知识框架图呈现出来；在此基础上播出三角函数的实际应用问题（复习题第12题），难度适当提高，课堂衔接平滑，学生容易接受，最后再对本章内容进行全面的概述并完整知识框架图，使学生对本章知识有了系统的认识.
整节课我始终坚持以学生活动为主，多倾听适当引导的原则，在教学中充分体现学生的主体地位，让学生主动参与到学习中去，形成了较好的学习氛围，目标达成效果较好.
3．需要注意和改进的方面
本节课内容较不算多，但是在进行知识归纳和在实际问题转化时花时间不少，因此整个课堂时间药相当科学，可以考虑课前让学生先归纳知识框架图，在课堂上不留思考讨论的时间，师生归纳会快一些；最后一道题的时间有可能不够，应灵活处理，也可以考虑设为课后练习.
总而言之，本节课体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试.我突破了自己的传统教学模式，尝试让学生自主探究，把数学课真正的让给学生，激发学生的潜力，让学生充分展示自己，真正实现了“以生为本教育”！
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