初中数学北师大版八年级下册2 提公因式法第1课时教学设计及反思

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【回顾】

问题一：因式分解的概念是什么？

预设：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

问题二：整式乘法与因式分解之间的关系是怎样的？

预设：整式乘法与因式分解互为逆运算.

【情景引入】

如下图，两个长和宽分别是a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，则这个较大的长方形的面积是多少？

方法一：ma+b

方法二： ma+mb

这样我们很容易得到：ma+mb= ma+b.

等式从左到右的变化就是我们上节课学习的因式分解.

观察这个等式的左边，你发现了什么？

回忆、思考并回答问题.

联系实际，思考并回答.

复习旧知，既是对已学知识的巩固，也是为新知的学习做铺垫.

通过实际问题的解决，调动学生学习的积极性.

环节二 探究新知

【合作探究】

问题：观察这个等式的左边，你发现了什么？

预设：等式左边多项式的每一项中都含有一个相同的因式“m”.

总结：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.

例如：3x3 + x和mb2 + nb – b的公因式分别是多少呢？

预设：3x3 + x和mb2 + nb – b的公因式分别是“x”、 “b”.

【议一议】

(1)多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？

2x2+6x3中各项的公因式是2x2.

【总结】

找公因式的方法：

• 定系数：多项式各项系数的最大公因数；    
• 定字母：多项式各项中都含有的相同字母；                                          
• 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.

(2)你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解？与同伴进行交流.

这就是因式分解里的提公因式法，你能根据计算过程说一说什么叫提公因式法吗？

【归纳】

    如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.

【做一做】

把8a³b²+12ab³c用提公因式法因式分解.

分析：每一项中数字的最大公约数是4；

每一项中公共的字母为：a、b；

公共字母的指数有：a、 a³、b²、b³.

由此，确定公因式： 4ab².

解：8a³b²+12ab³c=4ab²·2a²+4ab²·3bc

=4ab²(2a²+3bc).

想一想，提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？

预设：提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算.

学生尝试用学过的知识思考并回答.

学生小组交流，汇总并举手发言.

学生思考并总结回答.

学生小组交流，汇总并举手发言.

学生自主完成然后集体交流.

让学生进一步理解因式分解的意义，同时根据等式的特点总结得到公因式的概念.

通过议一议小活动，让学生巩固对公因式的理解以及总结得到公因式的确定方法.

总结归纳提公因式法的概念，同时培养学生的总结概括能力.

趁热打铁，及时通过小练习巩固新知识.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例  把下列各式因式分解：

(1)3x+x3； (2) 7x3–21x2； (3)8a3b2–12ab3c+ab；

(4)–24x3+12x2–28x.

提示：(1)根据找公因式的方法找公因式；

(2)提公因式(可以用单项式乘多项式进行检验).

解：(1)3x+x3=x·3+x·x2=x(3+x2)；   

    (2) 7x3–21x2=7x2·x–7x2·3=7x2(x–3)；    

(3)8a3b2–12ab3c+ab

=ab·8a2b–ab·12b2c+ab·1

=ab(8a2b–12b2c+1)；

(4)–24x3+12x2–28x

= –(24x3–12x2+28x)

= –(4x·6x3–4x·3x2+4x·7x

= –4x(6x3–3x2+7x).

【总结】

提公因式法因式分解的一般步骤

• 确定公因式——先定系数的最大公因数，再定字母和字母的指数；
• 提公因式；
• 确定另一个因式——用多项式的每一项除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
• 写成乘积的形式.

学生思考、计算并回答.

通过典型例题的分析和讲解，总结概况相应的解题方法或者技巧.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

把下列各式因式分解：

(1)ma+mb；(2)5y3+20y2；(3)6x–9xy；(4)a2b–5ab；

(5)4m3–6m2；(6)a2b–5ab+9b；(7)3a2y–3ay+6ay2 ；(8)10a2x–15a2y+5a2.

提示：根据提公因式法因式分解的一般步骤逐步计算：

找公因式→提公因式→确定另一个公因式→写成积的形式.

解：(1)ma+mb=m·a+m·b=m(m+b)；

(2)5y3+20y2=5y2·y+5y2·4=5y2(y+4)；   

(3)6x–9xy=3x·2–3x·3y=3x(2–3y)；            

(4)a2b–5ab=ab·a–ab·5=ab(a–5)；

(5)4m3–6m2=2m2·2m–2m2·3=2m2(a–3)；

(6)a2b–5ab+9b=b·a2–b·5ab+b·9=b(a2–5ab+9)；   

(7)3a2y–3ay+6ay2=3ay·a–3ay·1+3ay·2y=3ay(a–1+2y)；            

(8)10a2x–15a2y+5a2=5a2·2x–5a2·3y+5a2·1

=5a2(2x–3y+1).

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第96页习题4.2第1、2题.

学生课后自主完成.

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.