数学七年级下册8.1 二元一次方程组教案

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知识点1 二元一次方程（组）的概念
1．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）一般形式：ax+by+c=0(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)．
（3）二元一次方程需满足三个条件：
①方程是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
3．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）一般形式：
（其中不同时为零）
（3）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【典例】
例1 （2020秋•锦江区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的是
A．B．C．D．
【解答】解：．属于一元一次方程，不合题意；
属于二元一次方程，符合题意；
属于二元二次方程，不合题意；
不是整式方程，属于分式方程，不合题意；
故选：．
【方法总结】
本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．
例2（2020春•江岸区校级月考）已知关于，的二元一次方程有一组解是，则的值是
A．1B．0C．2D．
【解答】解：把代入方程中得：，
解得：．
故选：．
【方法总结】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
例3 （2020秋•肃州区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故此选项错误；
、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
、该方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；
故选：．
【方法总结】
此题主要考查了二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【随堂练习】
1．（2020春•江都区月考）下列方程中，是二元一次方程的是
A．B．C．D．
【解答】解：、是二元二次方程，故本选项不符合题意；
、是二元一次方程，故本选项符合题意；
、不是整式方程，故本选项不符合题意；
、是二元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
2．（2020秋•肃州区期末）已知是关于，的二元一次方程，则 1 ．
【解答】解：是关于，的二元一次方程，
，，
解得：，，
故．
故答案为：1．
3．（2020春•中山区期末）已知是方程的一个解，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：把代入方程，
得，
解得．
故选：．
4．（2020春•蔡甸区校级月考）下列方程组中不是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
【解答】解：由二元一次方程组的定义可知，方程组中不是二元一次方程组的是．
故选：．
知识点2 解二元一次方程组
1．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
2．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用&x=a&y=b的形式表示．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用&x=a&y=b的形式表示．
【典例】
例1（2020秋•兰州期末）解方程组
（1）；
（2）；
【解答】解：（1），
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【方法总结】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
例2 （2020春•南岗区校级月考）已知是方程组的解，则 ．
【解答】解：把代入方程组得：，
解得：，
则．
故答案为．
【方法总结】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
例3 （2020春•永定区校级期末）如果单项式与是同类项，那么的值是 ．
【解答】解：单项式与是同类项，
，
解得：，
则原式，
故答案为：．
【方法总结】
此题考查了解二元一次方程组，以及同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•新城区校级期中）若方程组的解也是的解，则 ．
【解答】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
方程组的解为：，
方程组的解是方程的解，
代入得：，
解得：，
故答案为：．
2．（2020秋•肃州区期末）解方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
将②代入①，得：，
解得：，
将代入②，得：，
则方程组的解为；
（2）原方程组整理为，
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
则方程组的解为．
知识点3 解三元一次方程组
1．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
⑤把所求得的三个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用&x=a&y=bz=c的形式表示．
【典例】
例1 （2020春•东城区校级期末）解方程组：
【解答】解：
由②③得：④
由①④得：，
解得，
把代入①得：，
把、的值代入②得：，
．
【方法总结】
本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成其余两个未知数的二元一次方程组．
例2 （2020春•嘉定区期末）解方程组：．
【解答】解：，
①②③得：，即④，
把①代入④得：，
把②代入④得：，
把③代入④得：，
则方程组的解为．
【方法总结】
此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【随堂练习】
1．（2020春•津南区校级月考）三元一次方程组的解是 ．
【解答】解：，
①②③得：，即④，
把①、②、③分别代入④得：，，，
则方程组的解为，
故答案为：．
2．（2020春•海安市期中）已知点，，则 ．
【解答】解：由，，得到，，
则原式．
故答案为．
3．（2020春•仁寿县校级期末）解方程组．
【解答】解：
①②，得
④
②③，得
⑤
④⑤，得
解得，，
将代入④，得
，
将，代入①，得
．
故原方程组的解是．
知识点4 同解问题和错解问题
【典例】
例1 （2020秋•新都区月考）若方程组与有相同的解，则 3 ， ．
【解答】解：方程组与有相同的解，
解方程组得：，
把代入方程组得：，
解得：，，
故答案为：3，2．
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能根据题意得出关于、的方程组是解此题的关键．
例2 （2020春•江都区月考）已知关于，的方程组和有相同解，求的值．
【解答】解：由题意得，
解得，
把代入，
解得：．
所以．
【方法总结】
此题考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题．
【随堂练习】
1．（2020春•惠城区期中）已知方程组与方程组的解相同．求的值．
【解答】解：由题意得：，
解得
将得代入得，
解得，
．
2．（2020春•南召县期中）关于、的方程组和的解相同，求、的值．
【解答】解：解方程组得，
上面方程组的解也是的解，
代入，得，
解这个方程组，得．
答：、的值为1，．
知识点5 含参二元一次方程组
【典例】
例1（2020春•方城县期中）已知，关于，的方程组的解为、．
（1） ， （用含的代数式表示）；
（2）若、互为相反数，求的值；
【解答】解：，
②①得，，
把代入①得，，
故答案为：；；
（2）由题意得，，
解得，．
【方法总结】
本题考查的是二元一次方程组的解法，相反数的概念，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•三台县期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足方程，求的值．
【解答】解：，
①②得，解得，
把代入①得，解得，
把，代入得，
解得．
综合运用
1．二元一次方程3x+5y＝17的正整数解是 x=4y=1 ．
【解答】解：方程3x+5y＝17，
解得：x=17-5y3，
当y＝1时，x＝4，
则方程的正整数解为x=4y=1，
故答案为：x=4y=1
2．解方程组：
（1）x-y=42x+y=5；
（2）x+13=y+24x-34-y-33=112．
【解答】解：（1）x-y=4①2x+y=5②，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝﹣1，
则方程组的解为x=3y=-1；
（2）方程组整理得：4x-3y=2①3x-4y=-2②，
①×4﹣②×3得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝2，
则方程组的解为x=2y=2．
3．若关于m、n的二元一次方程组am-2n=132m+bn=14的解为m=4n=-1，求关于x、y的方程组a(2x+y)-2(x+2y)=132(2x+y)+b(x+2y)=14的解．
【解答】解：∵二元一次方程组am-2n=132m+bn=14的解为m=4n=-1，
∴4a+2=138-b=14，
∴a=114b=-6，
∴方程组a(2x+y)-2(x+2y)=132(2x+y)+b(x+2y)=14可转化为114(2x+y)-2(x+2y)=13①2(2x+y)-6(x+2y)=14②，
①×3﹣②，得2x+y＝4③，
将2x+y＝4代入②中，得x+2y＝﹣1④，
③×2﹣④，得x＝3，
将x＝3代入④，得y＝﹣2，
∴原方程组的解为x=3y=-2．
4．（2020春•新洲区期中）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解．
【解答】解：（1）把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：；
把，代入方程组得：，
①②得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为．
5．（2020春•房县期末）小红和小风两人在解关于，的方程组时，小红只因看错了系数，得到方程组的解为，小风只因看错了系数，得到方程组的解为，求，的值和原方程组的解．
【解答】解：根据题意， 不满足方程，但应满足方程，
代入此方程，得，解得．
同理，将代入方程，得，
解得．
所以原方程组应为，
解得．
6．（2020春•西华县期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得到解为；乙看错了方程组中的而得到解为．
（1）求正确的、值；
（2）求原方程组的解．
【解答】解：（1）根据题意得：
解得：
（2）原方程组是：
解得：．