《垂径定理》示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设

情境

【情境导入】

教师活动：教师出示问题，引导学生回顾旧知.

问题1：圆是轴对称图形，还记得它的对称轴是什么吗？

预设答案：任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

它有无数条对称轴.

追问：它是轴对称轴图形吗？这节课我们一起来探究一下吧！

学生思考，然后交流反馈.

通过复习圆的对称性，为学习本节课的垂径定理奠定基础.

环节二

探究

新知

【做一做】

问题2：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使得CD⊥AB，垂足为M．它是轴对称图形吗？

预设答案：是轴对称图形.

追问1：它的对称轴是什么？你能试着证明吗？

预设答案：CD所在的直线是对称轴

证明：

连接OA、OB，则OA＝OB．

又∵CD⊥AB，

∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.

∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.

追问2：图中有哪些等量关系呢？

预设答案：线段：AM＝BM，

弧：，

追问3：你能证明上面的结论吗？

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使得CD⊥AB，垂足为M．

求证：，，

证明：连接OA、OB，则OA＝OB．

在等腰三角形OAB中，

∵OM⊥AB，∴AM=BM.

∴点A和点B关于直线CD对称，

∵⊙O关于直线CD对称.

∴当圆沿着直径CD折叠时，点A与点B重合，和重合，与重合．

∴，

【归纳】

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推导格式：

∵ CD是直径，CD⊥AB

∴，，

【思考】

问题3：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明理由.

预设答案：

第1幅图和第3幅图是，第2幅图两条线没有垂直；第4幅图CD没有过圆心

【归纳】

垂径定理的几个基本图形：

【想一想】

问题4：如图，AB是⊙O的弦 (不是直径) ，作一条平分AB的直径CD， 交AB于点M．

合作探究：

(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说理由.

预设答案：

(1)这个图形是轴对称图形，它的对称轴是CD所在的直线.

证明：如图，连接AO，BO，则AO＝BO,

由题知AM＝BM，又∵ OM＝OM

∴△AOM≌△BOM(SSS)

∴∠AMO＝∠BMO＝90°

∴CD⊥AB. 即CD垂直平分AB.

  CD所在的直线是⊙O的对称轴.

(2)根据图形的对称性可知，，.

【归纳】

垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

追问：“不是直径”这个条件能去掉吗？

预设答案：不能，因为圆的任意两条直径都是互相平分的，但不一定相互垂直，因此“不是直径”这个条件不能省去.

学生思考并反馈.

学生思考并在教师的引导下证明.

学生思考并回答.

学生思考并证明.

学生在老师的引导下总结归纳.

学生思考并回答.

学生思考，并小组合作探究.

学生思考并反馈.

让学生观察与思考，通过圆的对称性证明垂径定理并小结，让学生在理解的基础上学习垂径定理，加强学生对知识的理解与掌握.

让学生总结归纳垂径定理及其推导格式，培养学生认真总结思考的学习习惯，培养学生利用垂径定理解决问题的能力

学习垂径定理的几种基本图形，让学生在变换的图形中也能学会应用所学知识，培养学生灵活应用所学知识的能力.

在学习垂径定理的基础上进一步探究，让学生通过小组合作的方式，不仅培养了学生间的团结合作能力，也更深刻地理解垂径定理的推论及其注意事项，进一步培养学生的推理能力.

环节三

应用

新知

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

【典型例题】

例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600 m，点E为上一点，且OE⊥CD，垂足为点F，EF＝90 m. 求这段弯路的半径.

解：设弯路的半径为R m，则OF＝(R-90)m.

   ∵OE⊥CD

   ∴CF＝CD＝×600＝300(m)

   根据勾股定理，得OC2＝CF2+OF2

   即R2＝3002+(R-90)2

   解这个方程，得R＝545

   所以，这段弯路的半径为545 m.

例2 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？

分析：如图，已知⊙O中弦AB∥CD，求证：

证明：作直径MN⊥AB.

∵AB∥CD，∴MN⊥CD.

则，，

(垂直于弦的直径平分弦所对的弧)

∴

学生认真思考并作答.

学生思考并作答.

通过练习，让学生进一步巩固垂径定理的知识，并能利用垂径定理及其推论解决实际问题.

环节四

巩固

新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

【随堂练习】

1.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE＝6cm，则AB＝      cm.

答案：16

解：连接OA，∵ OE⊥AB，

∴ AB＝2AE＝16cm.

2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC和BD有什么关系？为什么？

答案：AC＝BD.

证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，

则AE＝BE，CE＝DE.

∴ AE－CE＝BE－DE.

即AC＝BD.

3.1400多年前，我国隋朝建造了赵州石拱桥(如图)，它的桥拱是圆弧形，它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1 m)

解：由图可知，AB＝37.4m，CD＝7.2m.

∴ AD＝AB＝18.7m ，OD＝OC-CD＝R-7.2

OA2＝AD2+OD2

R2＝18.72+(R-7.2)2

解得R≈27.9

即主桥拱半径约为27.9 m.

先自主完成练习，然后再集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.

环节五

课堂

小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置

作业

教科书第76页习题3.3第1、2、4题

课后自主完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.