资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩10页未读，
继续阅读
所属成套资源：简单数学之九年级下册考点专训（人教版）
成套系列资料，整套一键下载
初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用课后复习题
展开
这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用课后复习题，文件包含专训2822解直角三角形的应用-简单数学之九年级下册考点专训解析版人教版docx、专训2822解直角三角形的应用-简单数学之九年级下册考点专训原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
专训28.2.2 解直角三角形的应用
一、单选题
1．（2021·山东栖霞·九年级期中）已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了，此时小球距离桌面的高度为，则这个斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过B作BC⊥桌面于C，由题意得AB＝10cm，BC＝5cm，再由勾股定理得AC＝5，然后由坡度的定义即可得出答案．
【详解】
解：如图，过B作BC⊥桌面于C，
由题意得：AB＝10cm，BC＝5cm，
∴AC5，
∴这个斜坡的坡度i1：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．
2．（2021·吉林·长春市第八十七中学九年级月考）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡角：∠BAC＝α，则AB的长为（ ）
A．5sinα米 B．米 C．米 D．5tanα米
【答案】B
【分析】
选择正弦函数计算即可．
【详解】
∵，
∴，
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数，灵活选择三角函数是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级单元测试）某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．
【详解】
如图，延长BA、FE，交于点D．
∵AB⊥BC，EF∥BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．
∵∠AEF=143°，
∴∠AED=37°．
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED，AE=1.2米，
∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，
则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．
4．（2021·重庆巴蜀中学九年级月考）2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
【答案】C
【分析】
如图，由题意得： 由 求解 再在中，可得 设 则 由勾股定理可得 从而有 再解方程可得答案．
【详解】
解：如图，由题意得：
在中，
在中，
设 则
经检验：符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握构建直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题是解题的关键．
5．（2021·广东·深圳实验学校九年级期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，则AN＝4−x，由对称的性质得出DE＝EF，DA＝AF＝4，证明△ADE≌△AFE（SSS），得∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】
解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°，
∵tan∠ABF＝2，
∴＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2＋NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝，
∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴＝，即，
∴EF＝，
∴DE＝EF＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝2，那么点A的坐标是____．
【答案】（1，2）
【分析】
过A作AB⊥x轴，在Rt△OAB中，用勾股定理求解OA，AB的长，进而求A坐标．
【详解】
解：过A作AB⊥x轴，
在Rt△OAB中，OA＝，tanα＝＝2，
∴AB＝2OB，
∵OA2＝OB2+AB2，
∴5＝OB2+4OB2，
∴OB＝1，AB＝2，
∴A（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查直角三角形勾股定理，正切值的定义，平面中点坐标的特点．能够结合图形，根据边的关系求出OB，AB的长度是解题的关键．
7．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面__cm，，
【答案】21.15
【分析】
过最高点作桌面的垂线，过流水口作桌面的垂线，作于点，运用解直角三角形的知识进行解答．
【详解】
解：过最高点作桌面的垂线，过流水口作桌面的垂线，作于点，如图所示，
在中，有，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：21.15．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．
8．（2021·浙江平阳·九年级期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离米，眼镜与底面的距离米，视线与水平线的夹角为，已知，则点D到底面的距离是_______米．
【答案】3.2
【分析】
根据三角函数定义可知，可得的长，再根据，即可解答．
【详解】
解：由题意可得：，
解得
故答案为3.2
【点睛】
此题考查了三角函数的应用，解题的关键是利用三角函数的定义求得的长．
9．（2021·河北·石家庄外国语学校九年级月考）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_________m（结果保留根号）
【答案】
【分析】
利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠BDA＝45°，
在Rt△ABD中，∵∠BDA=45°，
∴AB＝AD＝120m，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得：CD＝40（m），
故答案为：40．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CAD=tan30°=是解题关键．
三、解答题
10．（2021·吉林长春·九年级期中）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和如果这时气球的高度为米，且点、、在同一直线上，求建筑物、之间的距离（结果精确到米）．[参考数据：，，]
【答案】220米
【分析】
根据题意可得，，，，分别在和，根据正切三角函数的定义求得，的长度即可求解．
【详解】
解：由己知，得，，，，于点
，
在中，，，
在中，，，
．
（米）．
答：建筑物、间的距离约为米．
【点睛】
此题考查了三角函数的应用，涉及了平行线的性质，解题的关键是掌握并利用三角函数的定义求解．
11．（2021·山东青岛·九年级单元测试）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）．
【答案】30米
【分析】
过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．
【详解】
解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，
则AE＝MN＝CF＝1.6，
EF＝AC＝35，
∠BEN＝∠DFN＝90°，
EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，
在Rt△DFN中，
∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15，
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，
在Rt△BEN中，
∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，
∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
12．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）
【答案】96米
【分析】
延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】
延长交于点，
过点作，交于点，
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，.
在中，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：大楼的高度约为96米.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．（2021·山东·济宁市第七中学九年级月考）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，）
【答案】8米
【分析】
过点F作FH⊥AD于H，根据坡度的概念分别求出AE、BE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：过点F作FH⊥AD于H，
则四边形FHEB为矩形，
∴FH＝BE，BF＝HE，
∵斜坡AB的坡比为，
∴BE：AE＝12：5，
设BE＝12x米，则AE＝5x米，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，即262＝（12x）2＋（5x）2，
解得：x1＝2，x2＝−2（舍去），
则AE＝10米，BE＝FH＝24米，
在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，
∴AH＝≈（米），
∴BF＝HE＝AH−AE＝18−10＝8（米），
答：BF至少是8米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2021·山东广饶·九年级期中）2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站，建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了基础．某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）
【答案】16.6米
【分析】
过点作⊥交的延长线于点，延长交于，则四边形，是矩形，分别求得，根据，可得是等腰直角三角形，设，根据，解直角三角形即可，进而求得．
【详解】
如图，过点作⊥交的延长线于点，延长交于，则四边形，是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
设
解得
核心舱架设在1米的稳固支架上，
17.6-1=16.6
答：天和核心舱的高度16.6米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．（2021·黑龙江肇源·九年级期中）一条自西向东的观光大道ｌ上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（答案可保留根号）
【答案】
【分析】
过点C作CD⊥l于点D，设CD=x km．先解直角△ACD，得出AD=CD= km，再解直角△BCD，得出BD=CD=x km，然后根据ADBD=AB，列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=x km．
在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AD=CD=x km．
在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x km．
∵ADBD=AB，
∴xx=2，
∴x=+1．
故景点C到观光大道l的距离约为km．
【点睛】
本题考查解直角三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（2021·全国·九年级课时练习）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
【答案】当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔P大约
【分析】
在中，根据求得，在中，根据 即可求得．
【详解】
解：如图，在中，
．
在中，，
∵，
∴．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔P大约．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握方位角的表示方法，解直角三角形是解题的关键．
17．（2021·全国·九年级课时练习）如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果取小数点后两位）？
【答案】
【分析】
首先分析图形：根据题意构造直角三角形两个直角三角形 、 ,应利用其公共边 构造等量关系，借助 构造方程关系式，进而可求出答案．
【详解】
解：在 中， ,
, ,
在 中， ,
,
,
答：火箭从 点到 点的平均速度约为 km/s．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的知识点，此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角形函数解直角三角形．
18．（2021·全国·九年级课时练习）如图，一块平行四边形木板的两条邻边的长分别为和，它们的夹角为，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）
【答案】
【分析】
根据题意可设平行四边形各顶点分别为A、B、C、D，作于点E．利用三角函数的定义即可求出AE的长，即可求出该平行四边形的面积，得出答案．
【详解】
解：如图，设这个平行四边形各顶点分别为A、B、C、D，作于点E．
根据作图可知，AE即为平行四边形AD上的高．
在中，，
∴，
∴，
故这块木板的面积是．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
19．（2021·河北·石家庄外国语学校九年级月考）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动
（1）当∠CDE＝60°时，
①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；
②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为 ．（直接写出结果）
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
【答案】（1）①；②124mm；（2）33.4°
【分析】
（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，根据60°角的正弦可得点C到直线DE的距离CF的长；②在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长，再根据点A到直线DE的距离为AH+CF可得答案．
（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．
【详解】
解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE，
则点C到直线DE的距离为CF，
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35．
②由图可知，点A到直线DE的距离=AH+CF．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64mm，
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝35+64≈124mm．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
故答案为：33.4°．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（2021·全国·九年级课时练习）如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度是指DE与CE的比．根据图中数据．
求：（1）坡角和的度数；
（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据坡度的定义计算即可；
（2）根据勾股定理求出AB即可得解；
【详解】
（1）∵斜面AB坡度，
斜面CD坡度，
∴，，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴；
【点睛】
本题主要考查了坡度的知识点求解和勾股定理计算，准确计算是解题的关键．
21．（2021·吉林·长春市第八十七中学九年级月考）郑州二七罢工纪念塔，简称“二七纪念塔”，是全国重点文物保护单位，明确提出将二七广场片区列为2020年郑州市建设发展重点任务之一，将其打造成为“郑州人精神家园、河南省消费中心．全国城市复兴典范”．某中学数学研究小组在综合实践活动中，下列示意图中B、C、D在同一条直线上，四边形BCEF为矩形
（1）哪些小组的测量方案可以测量塔高？
（2）请选择其中一个方案及其数据计算塔高．（结果保留整数）（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）
【答案】（1）第一小组和第三小组的测量方案可以测量塔高；（2）选第一组，塔高约为63米．
【分析】
（1）第一组根据角的关系得到AC=CD，三角形ABC可解；无法计算EF的长度，三角形AEF不可解，故第二组不符合题意；可用AB的高度分别表示DB，BC，利用DB+CB=CD建立方程计算即可，故第三组符合题意；
（2）答案不唯一，选择方案1，运用70°角的正弦计算即可．
【详解】
（1）第一小组和第三小组的测量方案可以测量塔高．理由如下：
∵∠ACB=70°，∠D=35°，
∴∠CAD=∠ACB-∠D=70°-35°=∠D=35°，
∴AC=CD=67.1，
在Rt△ABC中，=sin70°，
∴AB=AC sin70°，
∴第一组符合题意；
∵无法计算EF的长度，
∴三角形AEF不可解
∴第二组方案不可行；
设AB=x，则DB=x÷tan35°，BC= x÷tan70°，
∵DB+CB=CD建立方程计算即可，
∴第三组符合题意；
（2）∵∠ACB=70°，∠D=35°，
∴∠CAD=∠ACB-∠D=70°-35°=∠D=35°，
∴AC=CD=67.1，
在Rt△ABC中，=sin70°，
∴AB=AC sin70°=67.1×0.94≈63（米）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本条件并灵活选择三角函数计算是解题的关键．
22．（2021·全国·九年级课时练习）如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到）
【答案】
【分析】
先根据题意作出示意图，然后在RT△ACE中，可得出CE的长度，继而可得出乙楼的高度．
【详解】
解：由题意得：
∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，
在Rt△ACE中，CE＝AE∙tan∠CAE＝10m，
故可得乙楼的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出CE的长度，难度一般．
23．（2021·江苏惠山·九年级期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
【答案】（1）20m；（2）21.6m
【分析】
（1）由AB⊥BC，AC的坡度i，由BC长度求AB长度即可；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则EF＝EN+MN+MF= EN+CD+BC，
【详解】
（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，CB= 10m，
∴AB＝2BC＝20（m），
答：观众区的水平宽度AB为20m；
（2）如图，作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，
则四边形MFBC、MCDN为矩形，
∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，
在Rt△END中，tan∠EDN＝，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，
∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），
答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，弄清坡度的概念，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形是解决本题的关键．
24．（2021·全国·九年级课时练习）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤∠α≤75°．如果现有一个长6m的梯子，那么
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（结果精确到0.1m）
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角α等于多少？（结果精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？
【答案】（1）约；（2）约，可以安全使用梯子
【分析】
（1）若使BC最长，且在安全使用的范围内，则∠BAC的度数最大，即∠BAC=75°；可通过解直角三角形求出此时BC的长．
（2）当AC=2.4m时，可在Rt△BAC中，求出∠BAC的余弦值，进而可得出∠BAC的度数，然后判断这个角度是否在安全使用的范围内即可．
【详解】
解：（1）当∠BAC=75°时，梯子能安全使用且它的顶端最高；
在Rt△ABC中，有sin∠BAC=，
∴BC=AB•sin∠BAC=6×sin75°≈5.8；
答：安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度BC约为5.8m；
（2）在Rt△ABC中，有cos∠BAC==0.4，
利用计算器求得∠BAC≈66°，
∵50°＜66°＜75°，
∴这时人能安全使用这个梯子．
答：人能够安全使用这个梯子．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握并能灵活运用各锐角三角函数是解答此类题的关键．
25．（2021·全国·九年级课时练习）如图，两座建筑物的水平距离BC为，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为．求这两座建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．
【答案】AB为，CD为．
【分析】
首先分析图形：根据题意构造直角三角形，根据锐角的正切函数，即可求解．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB，
则四边形BCDE为矩形，
在Rt△ADE中，∠ADE＝=，DE＝BC=，
∴AE＝DEtan∠ADE＝32.6×tan≈23.0m；
在Rt△ABC中，∠ACB＝=，BC=，
∴AB＝BCtan＝32.6×tan≈30.8m；
则DC＝AB−AE＝30.83−23.00＝7.8
∴AB为，CD为．
即两座建筑物的高度分别为，．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
26．（2021·全国·九年级课时练习）小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图（1）．图（2）是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面．经测量，，，．现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且．
（1）求扣链EF与立杆AB的夹角的度数（精确到）；
（2）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（可使用科学计算器）
【答案】（1）61.9°；（2）会，见解析
【分析】
（1）作于点M，求得，进而根据科学计算器求得；
（2）过点A作于点H，根据求得，进而将和比较即可求得答案．
【详解】
（1）在中，，；
如图，作于点M，则；
，
用科学计算器求得．
（2）小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面，理由如下
∵，由（1）得．
如图，过点A作于点H，在中，
∵，
∴，
∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度晒衣架高度
即小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面．
【点睛】
本题考查了锐角三角和函数的应用，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级月考）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为．
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的左侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，）
【答案】（1）；（2）需要挪走，理由见解析
【分析】
（1）在中，由算出，在中，由30°所对的直角边等于斜边的一半即可算出；
（2）在中，由算出，在中，由算出，然后算出，，用与2作比较即可．
【详解】
解：（1）在中，，
在中，，
∴，
答：新传送带的长度约为；
（2）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴货物需要挪走．
【点睛】
本题考查了解直角三角形问题，在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类问题的基本思路．
28．（2021·山东·济宁学院附属中学九年级月考）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2，图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE=30cm，后支撑板EC=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°．（参考数据：）
（1）如图2，当支撑点E在水平线BC上时，求支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；
（2）如图3，当座板DE与地平面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量.
【答案】（1）BE的长为36cm；（2）变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．
【分析】
（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD=DE=30cm，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，求得MN=DE=30cm，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F，
由题意知BD=DE=30cm，
∴BF=BDcos∠ABC=30×=18（cm），
∴BE=2BF=36（cm）；
答：BE的长为36cm；
（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，
由题意知四边形DENM是矩形，
∴MN=DE=30cm，
在Rt△DBM中，BM=BDcos∠ABC=30×=18（cm），
EN=DM=BDsin∠ABC=30×=24（cm），
在Rt△CEN中，CE=40cm，
∴由勾股定理可得CN==32（cm），
则BC=18+30+32=80（cm），
原来BC=36+40=76（cm），
80-76=4（cm），
∴变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．
．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
29．（2021·四川犍为·九年级期末）如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C的仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B的仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米．
（1）求点C到墙壁AM的距离；
（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【答案】（1）点C到墙壁AM的距离为米；（2）匾额悬挂的高度是4米．
【分析】
（1）过C作CF⊥AM于F， 由结合 从而可得答案；
（2）过C作CH⊥AD于H，又 则四边形AHCF是矩形，所以AF=CH，CF=AH． 在Rt△BCF中，先求解 再在Rt△BAE中，∠BEA=53°，求解 再表示 或列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：（1）过C作CF⊥AM于F，
在Rt△BCF中，
由
所以：点C到墙壁AM的距离为米．
（2）过C作CH⊥AD于H，又
则四边形AHCF是矩形，所以AF=CH，CF=AH．
在Rt△BCF中，
由
在Rt△BAE中，∠BEA=53°，
由
在Rt△CDH中，∠CDH=45°，
∴
∴
∵
∴
答：匾额悬挂的高度是4米．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
30．（2021·吉林朝阳·九年级期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AP的长为______（用含t的代数式表示）．
（2）当点P与点C重合时，求t的值．
（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值．
（4）当为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或
【分析】
（1）根据路程＝速度×时间即可求解；
（2）当点P与点C重合时，得出 ，即可求解；
（3）利用三角函数求出 ， ，当C、R、Q三点共线时，可证出，进而得到 即 ，即可求解；
（4）分情况进行讨论，①如图2，过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时 ，当点R在CD左边时，为钝角，先证出四边形PQDR为正方形，再利用三角函数求出，，再证出，进而得到，即可求出，进而可分析出t的取值范围，②如图3，当点R在BC边上时， ，若点R在△ABC外，则为钝角，先证出，即可得到，进而求出，再根据点P最多只能运动到点C上，即可分析出t的取值范围．
【详解】
：（1）根据路程＝速度×时间可得： ；
（2）当点P与点C重合时， ，
∴ ，
（3）∵，，，
∴ ，
∴ ， ，
∴，
由旋转知 ，
当C、R、Q三点共线时，如图1，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∵， ，
∴ ,
∴ ，
∴ ；
（4）由旋转知 ，
∴ ，
∴不可能是钝角，
若点R在△ABC内部 ，也不可能是钝角，
①如图2，过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时 ，当点R在CD左边时，为钝角，
∵ ，
∴四边形PQDR为矩形，
∵ ，
∴矩形PQDR为正方形，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当时，为钝角 ，
②如图3，当点R在BC边上时， ，若点R在△ABC外，则为钝角，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴，，，
∴，
∴ ，
∴ ，
又∵点P最多只能运动到点C上，
∴ ，
∴当 时，为钝角 ，
∴当或时，△PCR为钝角三角形．
【点睛】
本题考查几何变换综合题、矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
专训28.2.2 解直角三角形的应用
一、单选题
1．（2021·山东栖霞·九年级期中）已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了，此时小球距离桌面的高度为，则这个斜坡的坡度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过B作BC⊥桌面于C，由题意得AB＝10cm，BC＝5cm，再由勾股定理得AC＝5，然后由坡度的定义即可得出答案．
【详解】
解：如图，过B作BC⊥桌面于C，
由题意得：AB＝10cm，BC＝5cm，
∴AC5，
∴这个斜坡的坡度i1：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．
2．（2021·吉林·长春市第八十七中学九年级月考）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡角：∠BAC＝α，则AB的长为（ ）
A．5sinα米 B．米 C．米 D．5tanα米
【答案】B
【分析】
选择正弦函数计算即可．
【详解】
∵，
∴，
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数，灵活选择三角函数是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级单元测试）某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．
【详解】
如图，延长BA、FE，交于点D．
∵AB⊥BC，EF∥BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．
∵∠AEF=143°，
∴∠AED=37°．
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED，AE=1.2米，
∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，
则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．
4．（2021·重庆巴蜀中学九年级月考）2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
【答案】C
【分析】
如图，由题意得： 由 求解 再在中，可得 设 则 由勾股定理可得 从而有 再解方程可得答案．
【详解】
解：如图，由题意得：
在中，
在中，
设 则
经检验：符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握构建直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题是解题的关键．
5．（2021·广东·深圳实验学校九年级期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，则AN＝4−x，由对称的性质得出DE＝EF，DA＝AF＝4，证明△ADE≌△AFE（SSS），得∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】
解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°，
∵tan∠ABF＝2，
∴＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2＋NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝，
∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴＝，即，
∴EF＝，
∴DE＝EF＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝2，那么点A的坐标是____．
【答案】（1，2）
【分析】
过A作AB⊥x轴，在Rt△OAB中，用勾股定理求解OA，AB的长，进而求A坐标．
【详解】
解：过A作AB⊥x轴，
在Rt△OAB中，OA＝，tanα＝＝2，
∴AB＝2OB，
∵OA2＝OB2+AB2，
∴5＝OB2+4OB2，
∴OB＝1，AB＝2，
∴A（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查直角三角形勾股定理，正切值的定义，平面中点坐标的特点．能够结合图形，根据边的关系求出OB，AB的长度是解题的关键．
7．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面__cm，，
【答案】21.15
【分析】
过最高点作桌面的垂线，过流水口作桌面的垂线，作于点，运用解直角三角形的知识进行解答．
【详解】
解：过最高点作桌面的垂线，过流水口作桌面的垂线，作于点，如图所示，
在中，有，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：21.15．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．
8．（2021·浙江平阳·九年级期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离米，眼镜与底面的距离米，视线与水平线的夹角为，已知，则点D到底面的距离是_______米．
【答案】3.2
【分析】
根据三角函数定义可知，可得的长，再根据，即可解答．
【详解】
解：由题意可得：，
解得
故答案为3.2
【点睛】
此题考查了三角函数的应用，解题的关键是利用三角函数的定义求得的长．
9．（2021·河北·石家庄外国语学校九年级月考）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_________m（结果保留根号）
【答案】
【分析】
利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠BDA＝45°，
在Rt△ABD中，∵∠BDA=45°，
∴AB＝AD＝120m，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得：CD＝40（m），
故答案为：40．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CAD=tan30°=是解题关键．
三、解答题
10．（2021·吉林长春·九年级期中）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和如果这时气球的高度为米，且点、、在同一直线上，求建筑物、之间的距离（结果精确到米）．[参考数据：，，]
【答案】220米
【分析】
根据题意可得，，，，分别在和，根据正切三角函数的定义求得，的长度即可求解．
【详解】
解：由己知，得，，，，于点
，
在中，，，
在中，，，
．
（米）．
答：建筑物、间的距离约为米．
【点睛】
此题考查了三角函数的应用，涉及了平行线的性质，解题的关键是掌握并利用三角函数的定义求解．
11．（2021·山东青岛·九年级单元测试）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）．
【答案】30米
【分析】
过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．
【详解】
解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，
则AE＝MN＝CF＝1.6，
EF＝AC＝35，
∠BEN＝∠DFN＝90°，
EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，
在Rt△DFN中，
∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15，
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，
在Rt△BEN中，
∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，
∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
12．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）
【答案】96米
【分析】
延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】
延长交于点，
过点作，交于点，
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，.
在中，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：大楼的高度约为96米.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．（2021·山东·济宁市第七中学九年级月考）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，）
【答案】8米
【分析】
过点F作FH⊥AD于H，根据坡度的概念分别求出AE、BE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：过点F作FH⊥AD于H，
则四边形FHEB为矩形，
∴FH＝BE，BF＝HE，
∵斜坡AB的坡比为，
∴BE：AE＝12：5，
设BE＝12x米，则AE＝5x米，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，即262＝（12x）2＋（5x）2，
解得：x1＝2，x2＝−2（舍去），
则AE＝10米，BE＝FH＝24米，
在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，
∴AH＝≈（米），
∴BF＝HE＝AH−AE＝18−10＝8（米），
答：BF至少是8米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2021·山东广饶·九年级期中）2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站，建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了基础．某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在1米的稳固支架上，他们先在水平地面点B处测得天和核心舱最高点A的仰角为，然后沿水平MN方向前进24米，到达点C处，测得点A的仰角为，测角仪MB的高度为1.6米，求天和核心舱的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）
【答案】16.6米
【分析】
过点作⊥交的延长线于点，延长交于，则四边形，是矩形，分别求得，根据，可得是等腰直角三角形，设，根据，解直角三角形即可，进而求得．
【详解】
如图，过点作⊥交的延长线于点，延长交于，则四边形，是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
设
解得
核心舱架设在1米的稳固支架上，
17.6-1=16.6
答：天和核心舱的高度16.6米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．（2021·黑龙江肇源·九年级期中）一条自西向东的观光大道ｌ上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（答案可保留根号）
【答案】
【分析】
过点C作CD⊥l于点D，设CD=x km．先解直角△ACD，得出AD=CD= km，再解直角△BCD，得出BD=CD=x km，然后根据ADBD=AB，列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=x km．
在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AD=CD=x km．
在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x km．
∵ADBD=AB，
∴xx=2，
∴x=+1．
故景点C到观光大道l的距离约为km．
【点睛】
本题考查解直角三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（2021·全国·九年级课时练习）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
【答案】当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔P大约
【分析】
在中，根据求得，在中，根据 即可求得．
【详解】
解：如图，在中，
．
在中，，
∵，
∴．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔P大约．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握方位角的表示方法，解直角三角形是解题的关键．
17．（2021·全国·九年级课时练习）如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果取小数点后两位）？
【答案】
【分析】
首先分析图形：根据题意构造直角三角形两个直角三角形 、 ,应利用其公共边 构造等量关系，借助 构造方程关系式，进而可求出答案．
【详解】
解：在 中， ,
, ,
在 中， ,
,
,
答：火箭从 点到 点的平均速度约为 km/s．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的知识点，此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角形函数解直角三角形．
18．（2021·全国·九年级课时练习）如图，一块平行四边形木板的两条邻边的长分别为和，它们的夹角为，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）
【答案】
【分析】
根据题意可设平行四边形各顶点分别为A、B、C、D，作于点E．利用三角函数的定义即可求出AE的长，即可求出该平行四边形的面积，得出答案．
【详解】
解：如图，设这个平行四边形各顶点分别为A、B、C、D，作于点E．
根据作图可知，AE即为平行四边形AD上的高．
在中，，
∴，
∴，
故这块木板的面积是．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
19．（2021·河北·石家庄外国语学校九年级月考）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动
（1）当∠CDE＝60°时，
①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；
②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为 ．（直接写出结果）
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
【答案】（1）①；②124mm；（2）33.4°
【分析】
（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，根据60°角的正弦可得点C到直线DE的距离CF的长；②在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长，再根据点A到直线DE的距离为AH+CF可得答案．
（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．
【详解】
解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE，
则点C到直线DE的距离为CF，
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35．
②由图可知，点A到直线DE的距离=AH+CF．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64mm，
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝35+64≈124mm．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
故答案为：33.4°．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（2021·全国·九年级课时练习）如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度是指DE与CE的比．根据图中数据．
求：（1）坡角和的度数；
（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据坡度的定义计算即可；
（2）根据勾股定理求出AB即可得解；
【详解】
（1）∵斜面AB坡度，
斜面CD坡度，
∴，，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴；
【点睛】
本题主要考查了坡度的知识点求解和勾股定理计算，准确计算是解题的关键．
21．（2021·吉林·长春市第八十七中学九年级月考）郑州二七罢工纪念塔，简称“二七纪念塔”，是全国重点文物保护单位，明确提出将二七广场片区列为2020年郑州市建设发展重点任务之一，将其打造成为“郑州人精神家园、河南省消费中心．全国城市复兴典范”．某中学数学研究小组在综合实践活动中，下列示意图中B、C、D在同一条直线上，四边形BCEF为矩形
（1）哪些小组的测量方案可以测量塔高？
（2）请选择其中一个方案及其数据计算塔高．（结果保留整数）（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）
【答案】（1）第一小组和第三小组的测量方案可以测量塔高；（2）选第一组，塔高约为63米．
【分析】
（1）第一组根据角的关系得到AC=CD，三角形ABC可解；无法计算EF的长度，三角形AEF不可解，故第二组不符合题意；可用AB的高度分别表示DB，BC，利用DB+CB=CD建立方程计算即可，故第三组符合题意；
（2）答案不唯一，选择方案1，运用70°角的正弦计算即可．
【详解】
（1）第一小组和第三小组的测量方案可以测量塔高．理由如下：
∵∠ACB=70°，∠D=35°，
∴∠CAD=∠ACB-∠D=70°-35°=∠D=35°，
∴AC=CD=67.1，
在Rt△ABC中，=sin70°，
∴AB=AC sin70°，
∴第一组符合题意；
∵无法计算EF的长度，
∴三角形AEF不可解
∴第二组方案不可行；
设AB=x，则DB=x÷tan35°，BC= x÷tan70°，
∵DB+CB=CD建立方程计算即可，
∴第三组符合题意；
（2）∵∠ACB=70°，∠D=35°，
∴∠CAD=∠ACB-∠D=70°-35°=∠D=35°，
∴AC=CD=67.1，
在Rt△ABC中，=sin70°，
∴AB=AC sin70°=67.1×0.94≈63（米）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本条件并灵活选择三角函数计算是解题的关键．
22．（2021·全国·九年级课时练习）如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到）
【答案】
【分析】
先根据题意作出示意图，然后在RT△ACE中，可得出CE的长度，继而可得出乙楼的高度．
【详解】
解：由题意得：
∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，
在Rt△ACE中，CE＝AE∙tan∠CAE＝10m，
故可得乙楼的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出CE的长度，难度一般．
23．（2021·江苏惠山·九年级期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：
（1）观众区的水平宽度AB；
（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）
【答案】（1）20m；（2）21.6m
【分析】
（1）由AB⊥BC，AC的坡度i，由BC长度求AB长度即可；
（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则EF＝EN+MN+MF= EN+CD+BC，
【详解】
（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，CB= 10m，
∴AB＝2BC＝20（m），
答：观众区的水平宽度AB为20m；
（2）如图，作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，
则四边形MFBC、MCDN为矩形，
∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，
在Rt△END中，tan∠EDN＝，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，
∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），
答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，弄清坡度的概念，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形是解决本题的关键．
24．（2021·全国·九年级课时练习）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤∠α≤75°．如果现有一个长6m的梯子，那么
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（结果精确到0.1m）
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角α等于多少？（结果精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？
【答案】（1）约；（2）约，可以安全使用梯子
【分析】
（1）若使BC最长，且在安全使用的范围内，则∠BAC的度数最大，即∠BAC=75°；可通过解直角三角形求出此时BC的长．
（2）当AC=2.4m时，可在Rt△BAC中，求出∠BAC的余弦值，进而可得出∠BAC的度数，然后判断这个角度是否在安全使用的范围内即可．
【详解】
解：（1）当∠BAC=75°时，梯子能安全使用且它的顶端最高；
在Rt△ABC中，有sin∠BAC=，
∴BC=AB•sin∠BAC=6×sin75°≈5.8；
答：安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度BC约为5.8m；
（2）在Rt△ABC中，有cos∠BAC==0.4，
利用计算器求得∠BAC≈66°，
∵50°＜66°＜75°，
∴这时人能安全使用这个梯子．
答：人能够安全使用这个梯子．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握并能灵活运用各锐角三角函数是解答此类题的关键．
25．（2021·全国·九年级课时练习）如图，两座建筑物的水平距离BC为，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为．求这两座建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．
【答案】AB为，CD为．
【分析】
首先分析图形：根据题意构造直角三角形，根据锐角的正切函数，即可求解．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB，
则四边形BCDE为矩形，
在Rt△ADE中，∠ADE＝=，DE＝BC=，
∴AE＝DEtan∠ADE＝32.6×tan≈23.0m；
在Rt△ABC中，∠ACB＝=，BC=，
∴AB＝BCtan＝32.6×tan≈30.8m；
则DC＝AB−AE＝30.83−23.00＝7.8
∴AB为，CD为．
即两座建筑物的高度分别为，．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
26．（2021·全国·九年级课时练习）小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图（1）．图（2）是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面．经测量，，，．现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且．
（1）求扣链EF与立杆AB的夹角的度数（精确到）；
（2）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（可使用科学计算器）
【答案】（1）61.9°；（2）会，见解析
【分析】
（1）作于点M，求得，进而根据科学计算器求得；
（2）过点A作于点H，根据求得，进而将和比较即可求得答案．
【详解】
（1）在中，，；
如图，作于点M，则；
，
用科学计算器求得．
（2）小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面，理由如下
∵，由（1）得．
如图，过点A作于点H，在中，
∵，
∴，
∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度晒衣架高度
即小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面．
【点睛】
本题考查了锐角三角和函数的应用，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级月考）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为．
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的左侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，）
【答案】（1）；（2）需要挪走，理由见解析
【分析】
（1）在中，由算出，在中，由30°所对的直角边等于斜边的一半即可算出；
（2）在中，由算出，在中，由算出，然后算出，，用与2作比较即可．
【详解】
解：（1）在中，，
在中，，
∴，
答：新传送带的长度约为；
（2）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴货物需要挪走．
【点睛】
本题考查了解直角三角形问题，在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类问题的基本思路．
28．（2021·山东·济宁学院附属中学九年级月考）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2，图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE=30cm，后支撑板EC=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°．（参考数据：）
（1）如图2，当支撑点E在水平线BC上时，求支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；
（2）如图3，当座板DE与地平面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量.
【答案】（1）BE的长为36cm；（2）变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．
【分析】
（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD=DE=30cm，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，求得MN=DE=30cm，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F，
由题意知BD=DE=30cm，
∴BF=BDcos∠ABC=30×=18（cm），
∴BE=2BF=36（cm）；
答：BE的长为36cm；
（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，
由题意知四边形DENM是矩形，
∴MN=DE=30cm，
在Rt△DBM中，BM=BDcos∠ABC=30×=18（cm），
EN=DM=BDsin∠ABC=30×=24（cm），
在Rt△CEN中，CE=40cm，
∴由勾股定理可得CN==32（cm），
则BC=18+30+32=80（cm），
原来BC=36+40=76（cm），
80-76=4（cm），
∴变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．
．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
29．（2021·四川犍为·九年级期末）如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C的仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B的仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米．
（1）求点C到墙壁AM的距离；
（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【答案】（1）点C到墙壁AM的距离为米；（2）匾额悬挂的高度是4米．
【分析】
（1）过C作CF⊥AM于F， 由结合 从而可得答案；
（2）过C作CH⊥AD于H，又 则四边形AHCF是矩形，所以AF=CH，CF=AH． 在Rt△BCF中，先求解 再在Rt△BAE中，∠BEA=53°，求解 再表示 或列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：（1）过C作CF⊥AM于F，
在Rt△BCF中，
由
所以：点C到墙壁AM的距离为米．
（2）过C作CH⊥AD于H，又
则四边形AHCF是矩形，所以AF=CH，CF=AH．
在Rt△BCF中，
由
在Rt△BAE中，∠BEA=53°，
由
在Rt△CDH中，∠CDH=45°，
∴
∴
∵
∴
答：匾额悬挂的高度是4米．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
30．（2021·吉林朝阳·九年级期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AP的长为______（用含t的代数式表示）．
（2）当点P与点C重合时，求t的值．
（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值．
（4）当为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或
【分析】
（1）根据路程＝速度×时间即可求解；
（2）当点P与点C重合时，得出 ，即可求解；
（3）利用三角函数求出 ， ，当C、R、Q三点共线时，可证出，进而得到 即 ，即可求解；
（4）分情况进行讨论，①如图2，过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时 ，当点R在CD左边时，为钝角，先证出四边形PQDR为正方形，再利用三角函数求出，，再证出，进而得到，即可求出，进而可分析出t的取值范围，②如图3，当点R在BC边上时， ，若点R在△ABC外，则为钝角，先证出，即可得到，进而求出，再根据点P最多只能运动到点C上，即可分析出t的取值范围．
【详解】
：（1）根据路程＝速度×时间可得： ；
（2）当点P与点C重合时， ，
∴ ，
（3）∵，，，
∴ ，
∴ ， ，
∴，
由旋转知 ，
当C、R、Q三点共线时，如图1，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∵， ，
∴ ,
∴ ，
∴ ；
（4）由旋转知 ，
∴ ，
∴不可能是钝角，
若点R在△ABC内部 ，也不可能是钝角，
①如图2，过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时 ，当点R在CD左边时，为钝角，
∵ ，
∴四边形PQDR为矩形，
∵ ，
∴矩形PQDR为正方形，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当时，为钝角 ，
②如图3，当点R在BC边上时， ，若点R在△ABC外，则为钝角，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴，，，
∴，
∴ ，
∴ ，
又∵点P最多只能运动到点C上，
∴ ，
∴当 时，为钝角 ，
∴当或时，△PCR为钝角三角形．
【点睛】
本题考查几何变换综合题、矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
相关试卷
过关卷27.1 -简单数学之九年级下册考点专训（人教版）： 这是一份初中数学人教版九年级下册本册综合精练，文件包含过关卷271-简单数学之九年级下册考点专训解析版人教版docx、过关卷271-简单数学之九年级下册考点专训原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习题： 这是一份人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习题，文件包含专训2821解非直角三角形-简单数学之九年级下册考点专训解析版人教版docx、专训2821解非直角三角形-简单数学之九年级下册考点专训原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
初中数学人教版九年级下册27.3 位似当堂达标检测题： 这是一份初中数学人教版九年级下册27.3 位似当堂达标检测题，文件包含专训273位似图形+平面直角坐标系中的位似变换-简单数学之九年级下册考点专训解析版人教版docx、专训273位似图形+平面直角坐标系中的位似变换-简单数学之九年级下册考点专训原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
