人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习题

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专训28.2.1 解（非）直角三角形
一、单选题
1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．
【详解】
解：取格点E，连接AE、BE，如图：

设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝，
AE＝，
AB=．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．
∴cos∠APD＝．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
2．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）

A． B．＋1 C． D．＋1
【答案】C
【分析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积．
【详解】
如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．

在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝AD．
∵BD＋CD＝BC，
∴AD＋AD＝1＋．
即AD＝1．
∴S△ABC＝×BC×AD
＝（1＋）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.
3．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】B
【分析】
设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断．
【详解】
解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，

过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB；
过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB；
∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB；
当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB，
∴运动过程中，阴影部分的面积不变，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）

A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【分析】
在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
【详解】
解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高．
5．如图，中，，BD、AC相交于点D，，，，则的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过点作的垂线，交的延长线于点，可得，可得，由，可求出的长，再由，可得，由此在中可分别求出和的长，进而可求出的面积．
【详解】
解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，

则，
，，
，，
，
，
，
，
又∵，
，
∴，，
，，
，
∴在中，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等相关知识，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键．
6．利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（ ）

A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向
【答案】B
【分析】
过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45º利用三角函数求BD=AD=cos∠DAB•AB，然后求出CD，再利用三角函数求出∠C=30º，景点B在景点C的方向就知道了
【详解】
过B作BD⊥AC于D，
在Rt△ADB中，，∠DAB=45º，
∴BD=AD=cos∠DAB•AB=，

∵，
∴CD=AC-AD=km，
在Rt△CDB中，
∵BD=1km，CD=km，
∴tan∠C=，
∵tan30º=，
∴∠C=30º，
景点B在景点C北偏东30º方向，
故选择：B．
【点睛】
本题考查利用解直角三角形确定方位角问题，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解题关键．


二、填空题
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为___．

【答案】2
【分析】
通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示AC、BC即可求出答案．
【详解】
解：过点D作，交CB的延长线于点M，

∵，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴，
∵AB＝2BD，
∴，
在中，
由于，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．
8．在中，边上的高，则__________．
【答案】
【分析】
由题意易得，则有，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解．
【详解】
解：如图，

∵AD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数值是解题的关键．
9．如图，已知在中，，，，点在边上，将沿着过点的一条直线翻折，使点落在边上的点处，连结，，若，则的长是______．

【答案】
【分析】
如图作CH⊥AB于H．由题意EF=BF，设EF=BF=a，则BD=a，只要证明△ECD∽△BCE，可得EC2=CD•CB，延长构建方程即可解决问题；
【详解】
解：如图作CF⊥AB于F，垂足为F．

在Rt△ACB中，
∵
∴
在Rt△ACB中，
∴
又
∴
在中，
∴
由题意得，
设
∵
∴
在△中，
∴BD=a
∵∠
∴∠
∴∠
又∵∠
∴△
∴
∴
在中，
∴
又由前面知，，
∴
解得，或0（舍去）
∴
故答案为．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________．

【答案】
【分析】
如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，延长BC，AD交于E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴BC=BE-CE=，
∴．

故答案为：
【点睛】
本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（难）11．如图，已知直线，与之间的距离为2，在中，，点是直线上的一个动点，，中有一边是的倍，将绕点顺时针旋转得到，所在直线交于点，则的长度为___________．

【答案】或或2
【分析】
先根据和时两种情况，再分别由的倍的边与BC所成角为钝角和锐角两种情况画出图形分别求解．
【详解】
解：①当时，
Ⅰ．如图1，当∠ABC为钝角时，作于，于，

与之间的距离为2，即，
，
∴，
，
绕点按顺时针方向旋转得到△，
，
∴为等腰直角三角形，
设，
，
，
∴
，即，
，
，．
Ⅱ．如图2，当∠ABC为锐角时，作于，

∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵BC=2，
∴点E与点C重合，，
∴等腰直角三角形，
绕点按顺时针方向旋转得到△，
∴，
是等腰直角三角形，
．
②当时，
Ⅰ．如图3，当∠ACB为锐角时，同①Ⅱ可得，此时是等腰直角三角形，

绕点按顺时针方向旋转得到△，
∴，
，
；
Ⅱ．如图4，当∠ACB为钝角时，作于，则，

，
∴，
，
绕点按顺时针方向旋转，得到△时，点在直线上，
，即直线与无交点，
综上所述，的值为，，2．
故答案为：或或2．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．
12．如图，在中，，过点作，，连接，则的周长为____．

【答案】
【分析】
通过添加辅助线构造出直角三角形，再根据等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质以及平行线的性质求得，，然后利用勾股定理、锐角三角函数、线段的和差以及三角形周长公式即可求得答案．
【详解】
解：过点作交延长线于点，如图：

∴
∵，
∴是等边三角形
∴，
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴在中，
，
∴，
∴
∴在中，
∴的周长为．
故答案是：
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数、线段的和差、三角形的周长公式等，适当的添加辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
（难）13．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是____．

【答案】
【分析】
旋转后如图示，过A作于 过作于 过作 交的延长线于 过作于证明四边形是矩形，再证明设 则 可得 求解 可得 连接 设 则 由建立方程求解，从而可得答案.
【详解】
解：旋转后如图示，过A作于 过作于 过作 交的延长线于 过作于

为的中点，


由旋转可得：


四边形是矩形，


同理可得：



设 则
则 所以

而





而

连接


设 则
由

解得： 则


故答案为：
【点睛】
本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握各图形之间的联系，作出正确的辅助线是解题的关键，是难度大的压轴题.

三、解答题
14．（1）已知∠C=90°，a=2，b=2 ，求∠A、∠B和c；
（2）已知∠C=90°，sinA=， c=6 ，求a和b；
【答案】（1）c=4；∠A=60°，∠B=30°；（2）a=4；b=
【分析】
（1）利用勾股定理求得c的值，再利用正切函数求得∠A的度数，即可求解；
（2）利用正弦函数求得a的值，再利用勾股定理求得b的值即可．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，a=2，b=2 ，
∴c=，，
∴∠A=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴c=4，∠A=60°，∠B=30°；
（2）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，sinA=，c=6 ，
∴，即，
∴a=4，
∴b=．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解直角三角形通常要用到的关系（在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）：①锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边：斜边=a：c，cosA=∠A的邻边：斜边=b：c，tanA=∠A的对边：∠A的邻边=a：b．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠A；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
【答案】（1）45°；（2）
【分析】
（1）根据sinB＝，然后根据特殊角三角函数值即可判断；
（2）根据题意得出的值，然后运用勾股定理求即可．
【详解】
解：（1）∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝45°；
∴∠A＝45°；
（2）∵c＝12，sinA＝＝，
∴a＝6，
∴b＝＝．
【点睛】
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
16．如图，在中，，延长斜边BC到点D，使，联结AD，如果，求的值．

【答案】
【分析】
过点C作，垂足为，证明，得出比例式，求出，由，可得，设，则，得出，
解直角三角形得出即可．
【详解】
过点C作交AD于点，

则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，
∵，即，
设，则，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是通过添加辅助线构造相似三角形，有点难度．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．
（1）∠B=60°，a＝4；（2）a＝1，．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）首先用两锐角互余求锐角∠A，再利用∠B的正切、余弦求b、c的值；
（2）首先用正切求出∠B的值，再求∠A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值．
【详解】
解：（1）由题意得∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．
由知，．
由知，．
（2）由得∠B＝60°，
∴ ∠A＝90°-60°＝30°．
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形的两种类型是：（1）已知两边；（2）已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦（斜边）用切（正切）．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC上，BC=8且BD＝AD．
（1）求AC的长；
（2）求cos∠ADC的值．

【答案】（1）4；（2）
【分析】
（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出tanB，把tanB的值，以及BC的长代入求出AC的长即可；
（2）设CD＝x，则有AD＝BD＝8﹣x，在直角三角形ACD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠ADC的值即可．
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，
∴＝tanB＝＝，
解得：AC＝4；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，
即（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝3，
∴CD＝3，AD＝5，
则cos∠ADC＝＝．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握各自的性质是解题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，．求AC的长、sinA和tanB的值．

【答案】
【分析】
根据正切的定义以及已知条件求得的长，勾股定理求得的长，进而求得的值．
【详解】
在中，∠C＝90°，BC＝9，，
，
解得，
，
,
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．
20．（1）已知是锐角，，求的其他三角函数值；
（2）已知是锐角，，求的其他三角函数值．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
设，为锐角，，，分别都是、、的对应边，
（1）由，将，用表示出来，再根据余弦和正切的定义：，即可得出答案；
（2）由，将，用表示出来，再根据正弦和余弦的定义： 即可得出答案．
【详解】
设，为锐角，，，分别都是、、的对应边
（1），
，即，
由勾股定理得：，
，
；
（2），
，即，
由勾股定理得：，
，
．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义并结合勾股定理表示出未知数的边长是解题的关键．
20．在中，，a，b，c分别为，，的对边，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（边长精确到0.01）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
根据勾股定理和锐角三角函数即可解出直角三角形的其他元素．
【详解】
解：（1）∵∠A＝10°，
∴∠B＝90°−∠A＝80°，
∵sin∠A＝，
∴c＝≈46.07，
由勾股定理可求出：b≈45.37；
（2）∵∠B＝33°，
∴∠A＝90°−∠B＝57°，
∵sin∠B＝，
∴c＝≈9.18，
∴由勾股定理可求出：a≈7.70；
（3）∵a＝5，c＝13，
∴由勾股定理可求出：b＝12，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B＝90°−＝；
（4）∵c＝，b＝，
∴由勾股定理可知：a＝8，
∵sin∠A＝＝，
∴∠A≈，
∴∠B≈.
【点睛】
本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，锐角三角函数等知识，属于基础题型．
21．如图，在中，，，，求的长．

【答案】
【分析】
过点作，垂足为，首先根据∠A的正弦知值求出CM的长度，根据∠A的余弦值求出AM的长度，然后根据∠B的正切值求出BM的长度，即可求出AB的长度．
【详解】
解：如图，过点作，垂足为，

在中，，
，
同理可求：，
在中，，
，
．
【点睛】
此题考查了解非直角三角形，解题的关键是根据题意作出辅助线和熟记特殊角的三角函数值．
23．如图，AD是△ABC的高，，求△ABC的周长．

【答案】
【分析】
根据，求出，根据，求出，再根据勾股定理求出即可求周长．
【详解】
解：在中，，
∵，，
∴，，
∵在中，，
∴，即，
∴
∴，，
∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练运用三角函数知识解直角三角形．
24．如图，在中，=，，于点D，且AD=2
求线段BC的长 ．
取中点，连接，求

【答案】；=
【分析】
（1）分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用三角函数求解BD和CD，即可得出结论；
（2）作EF⊥BC于F点，则分别求出EF和BF的长度，即可得出结论．
【详解】
（1）在Rt△ABD中，=，AD=2，
∴，
在Rt△ACD中，，AD=2，
∴DC=AD=2，
∴；
（2）如图所示，作EF⊥BC于点F，
∵AD⊥BC，
∴AD//EF，
∵E为AC的中点，
∴EF为△ADC的中位线，则，，
由（1）可知，，则，
∴．

【点睛】
本题主要考查利用锐角三角函数解三角形，理解锐角三角函数的基本定义并灵活运算是解题关键．
25．为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）

【答案】6.5米
【分析】
过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，把图形分成两个直角三角形和一个矩形，然后在求出BF、AF，利用矩形性质求出AE，再在求出DE即可解答．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，

根据题意可知：AB＝4，CB＝5，
∠ABF＝∠ABC -90°=22°，
在中，，
∴，，




四边形是矩形


在中，，，

（米）
答：蔬菜大棚的宽DC的长度为6.5米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用；由根据已知条件构造直角三角形，求出AE是解决问题的关键．
26．已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？

【答案】36
【分析】
连接，构造直角三角形，用勾股定理即可．
【详解】
解：如图，连接，

在△，
又∵在△
∵，
∴
∴△是直角三角形，，
∴
【点睛】
此题考查的是勾股定理的应用，掌握构造直角三角形是解题的关键．
27．已知∠MON=α，A为射线OM上一定点，OA=5，B为射线ON上一动点，连接AB，满足∠OAB，∠OBA均为锐角．点C在线段OB上（与点O，B不重合），满足AC=AB，点C关于直线OM的对称点为D，连接AD，OD．
（1）依题意补全图1；
（2）求∠BAD的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若tanα=，点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使得BP∥OD，并证明．

【答案】（1）补全图见解析；（2）180°﹣2α；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据要求画出图形即可．
（2）首先证明∠D+∠ABO=180°，再利用四边形内角和定理解决问题即可．
（3）假设PB∥OD，求出AB的值即可．
【详解】
解：（1）图形，如图所示．


（2），关于对称，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．

（3）如图2中，不妨设．作于，于．

在中，，，
，，设，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
28．问题呈现：
如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B、 E，可得 BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中．问题解决：

（1）直接写出图 1 中 tan ÐCPB 的值为______；
（2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，求 cos ÐCPB 的值．
【答案】（1）2；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的判定及平行线的性质得到∠CPB=∠ABE，利用勾股定理求出AE，BE，AB，证明△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，即可求出tan ÐCPB= tan ÐABE；
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．通过平行四边形及平行线的性质得到∠CPB=∠MCD，利用勾股定理的逆定理证明△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，即可得到cos∠CPB=cos∠MCD．
【详解】
解：（1）连接格点 B、 E，
∵BC∥DE，BC=DE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DC∥BE，
∴∠CPB=∠ABE，
∵AE=，BE=，AB=
，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，
∴tan∠CPB= tan∠ABE=，
故答案为：2；
（2）如图2所示，取格点M，连接CM，DM，
∵CB∥AM，CB=AM，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴CM∥AB，
∴∠CPB=∠MCD，
∵CM=，CD=，MD=，
，
∴△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，
∴cos∠CPB=cos∠MCD=．

【点睛】
本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及勾股定理逆定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题．
29．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论；
（2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，则（），
∵，，
同（1）得：，
∴，
在中，，
过作于，如图2所示：

则，
在中，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作于，如图3所示：

∵，
∴设，则（），
∴，
∵，，
∴，
∴
又∵，
∴∽，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。
30．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．

【答案】（1）见解析；（2）92°或113°；（3）或3-3
【分析】
（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③与原三角形有两角对应相等即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）根据三角形的“优美分割线”的定义求出∠B，再利用解直角三角形进行解答．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，

∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD＝CD时，如图2，

∠ACD＝∠A＝46°，∠ADC=88°，
∴∠BDC＝92°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝92°．
②当AD＝AC时，如图3，

∠ACD＝∠ADC＝＝67°，
∴∠BDC＝113°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝113°．
③当AC＝CD时，如图4，

∵∠ADC＝∠A＝46°，
∴∠BDC＝134°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝134°．
∴∠ACB+∠A=180°，与三角形内角和定理矛盾，舍去．
∴∠ACB的度数是92°或113°．
（3）①若AD＝CD时，如图5，

此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，此时∠ACB＝60°，故∠B＝90°．
在直角△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，则BC＝3.
在直角△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，则BD＝BC•tan30°＝．
②若AC＝AD时，如图6，作CE⊥AB,垂足为E，∠ADC＝∠ACD＝75°，∠BDC＝105°，
此时∠ACB＝105°，∠B＝45°，
∵∠A＝30°，AC＝6，
∴EC＝3，AE＝EC•tan60°＝3．
∵∠B＝45°，
∴EC=BE＝3，
BA＝3+3，
BD＝BA-DA =3+3-6=3-3，

③当AC＝CD时，由（2）可知，不成立，舍去．
【点睛】
本题考查考查了几何新定义问题，主要运用等腰三角形的性质和解直角三角形等知识进行推理与判断，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．