高中北师大版 (2019)第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理学案

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1.正弦定理
(1)文字叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
(2)符号表示：________＝________＝________.
[说明] 正弦定理的理解：
(1)适用范围：任意三角形．
(2)结构特征：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦．
(3)主要作用：正弦定理的主要作用是实现三角形边角关系的互化及解决三角形外接圆问题．
2．正弦定理的变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(边化角)．
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(角化边)．
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C(边角互化)．
(4)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C).
答案：1.(2)eq \f(a,sin A) eq \f(b,sin B) eq \f(c,sin C)
研习1 利用正弦定理理解三角形
[典例1] 在△ABC中，
(1)若A＝45°，B＝30°，a＝2，求b，c与C；
(2)若B＝30°，b＝5，c＝5eq \r(3)，求A、C与a.
[自主记]
[解] (1)由三角形内角和定理，得：
C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(2sin 30°,sin 45°)＝eq \f(2×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq \r(2)，
sin 105°＝sin(60°＋45°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2sin 105°,sin 45°)＝eq \f(2×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq \r(3)＋1.
(2)∵b＝5，c＝5eq \r(3)，B＝30°，
∴c·sin B∴△ABC有两解，
由正弦定理得：sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(\r(3),2)，
∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，易得a＝10；
当C＝120°时，A＝30°，此时a＝b＝5.
[巧归纳] 1.正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．已知△ABC的两边a，b和角A，判断三角形解的个数，有以下三种方法
法一：作图判断．
作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．
法二：根据三角函数的性质来判断．
由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)，当eq \f(bsin A,a)>1时，无解；当eq \f(bsin A,a)＝1时，有一解；当eq \f(bsin A,a)<1时，如果a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，有一解；如果a法三：应用三角形中“大边对大角”的性质及正弦函数的值域判断解的个数．
[练习1] (1)在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，AB＝eq \r(6)，则角C等于( )
A.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4) B.eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，sin B＝eq \f(63,65)，a＝1，则b＝________.
答案：(1)C (2)eq \f(21,13)
解析：(1)由正弦定理，得sin C＝eq \f(sin A·AB,BC)＝eq \f(\r(2),2).
因为BC>AB，所以A>C，则0(2)因为A为△ABC的内角，且cs A＝eq \f(4,5)，
所以sin A＝eq \f(3,5)，又a＝1，sin B＝eq \f(63,65)，
由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(sin B,sin A)＝eq \f(63,65)×eq \f(5,3)＝eq \f(21,13).
研习2 判断三角形的形状
[典例2] 在△ABC中，已知acs B＝bcs A，试判断△ABC的形状．
[自主记]
[解] 由正弦定理，
得sin Acs B＝sin Bcs A，
即sin Acs B－cs Asin B＝0，sin(A－B)＝0，
因为A，B为△ABC的内角，
故A－B＝0，A＝B，
即△ABC为等腰三角形．
[巧归纳] 判断三角形形状的方法
(1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或角与角的关系，从而进行判断．
(2)判断三角形的形状，主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．
[练习2] 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状．
解：由已知得eq \f(a2sin B,cs B)＝eq \f(b2sin A,cs A)，
由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径)，得eq \f(4R2sin2Asin B,cs B)＝eq \f(4R2sin2Bsin A,cs A)，
sin Acs A＝sin Bcs B，∴sin 2A＝sin 2B.
∴2A＋2B＝π或2A＝2B.∴A＋B＝eq \f(π,2)或A－B＝0.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
研习3 三角形的面积
[典例3] 在△ABC中，若a＝2，C＝eq \f(π,4)，cs eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.
思路探究：cs eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5)⇒sin B⇒sin A⇒求边c⇒△ABC的面积．
[自主记]
[解] ∵cs eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴cs B＝2cs2eq \f(B,2)－1＝eq \f(3,5).
∴B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin B＝eq \f(4,5).
∵C＝eq \f(π,4)，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝eq \f(7\r(2),10).
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴C＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2,\f(7\r(2),10))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(10,7).
∴S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×2×eq \f(10,7)×eq \f(4,5)＝eq \f(8,7).
[巧归纳] 1.求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边极其夹角的条件作准备．
2．三角形面积计算公式．
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha＝eq \f(1,2)b·hb＝eq \f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(abc,4R).
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
[练习3] (1)(变条件)在例3中，把条件换为“已知b＝1，B＝30°，c＝eq \r(3)”，求△ABC的面积．
(2)(变结论)在例3中，若已知D是△ABC的边AC上一点，且CD＝eq \r(2)，求△ABD的面积．
解：(1)由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(\r(3),2)，
故C＝60°或120°，
当C＝60°时，A＝180°－30°－60°＝90°，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)×1＝eq \f(\r(3),2)；
当C＝120°时，A＝180°－120°＝30°，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),4).
综上所述△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4).
(2)解法一：由例3的解答可知sin B＝eq \f(4,5)，sin A＝eq \f(7\r(2),10)，c＝eq \f(10,7)，
由正弦定理b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(2×\f(4,5),\f(7\r(2),10))＝eq \f(8\r(2),7)，
又CD＝eq \r(2)，所以AD＝eq \f(8\r(2),7)－eq \r(2)＝eq \f(\r(2),7)，
所以S△ABD＝eq \f(1,2)×AB×AD×sin A＝eq \f(1,2)×eq \f(10,7)×eq \f(\r(2),7)×eq \f(7\r(2),10)＝eq \f(1,7).
解法二：由例3的解答可知S△ABC＝eq \f(8,7)，
又S△BCD＝eq \f(1,2)×CB×CD×sin C＝eq \f(1,2)×2×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1，
所以S△ABD＝S△ABC－S△BCD＝eq \f(8,7)－1＝eq \f(1,7).
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，若a＝2bcs C，则这个三角形一定是等腰直角三角形．( )
(2)在△ABC中，若sin A＝eq \f(1,2)，则A＝eq \f(π,6).( )
(3)在△ABC中，a≥bsin A一定成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
解析：(1)错误，由正弦定理，a＝2bcs C可化为sin A＝2sin Bcs C，
所以sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，
所以sin(B－C)＝0，
得B＝C，故△ABC是等腰三角形．
(2)错误，由sin A＝eq \f(1,2)得A＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).
(3)正确．
2．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，b＝2，则a等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.eq \r(6)D．3
答案：C
解析：由正弦定理得a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(2×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝eq \r(6).
3．在△ABC中，A＝60°，b＝2，c＝3，则△ABC的面积等于________．
答案：eq \f(3\r(3),2)
解析：S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
4．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B＝sin2C.
求证：△ABC为直角三角形．
证明：由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
设eq \f(a,sin A)＝k，sin2A＝eq \f(a2,k2)，sin2B＝eq \f(b2,k2)，sin2C＝eq \f(c2,k2).
∵sin2A＋sin2B＝sin2C，
∴eq \f(a2,k2)＋eq \f(b2,k2)＝eq \f(c2,k2)，即a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
新课程标准
学业水平要求
通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
1.了解正弦定理的推导过程(逻辑推理)
2．掌握正弦定理的内容及正弦定理的公式变形(数学抽象)
3．掌握正弦定理的简单应用(数学运算)
4．初步掌握正弦定理的简单实际应用(数学建模)
课前篇·自主学习预案
课堂篇·研习讨论导案
达标篇·课堂速测演习