人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时学案

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正弦定理
思考：如图，在Rt△ABC中，eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)各自等于什么？
[提示] eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝c.
1．在△ABC中，下列式子与eq \f(sin A,a)的值相等的是( )
A.eq \f(b,c) B.eq \f(sin B,sin A) C.eq \f(sin C,c) D.eq \f(c,sin C)
C [由正弦定理得，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，所以eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin C,c).]
2．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( )
A．5eq \r(2) B．10eq \r(3) C.eq \f(10\r(3),3) D．5eq \r(6)
B [由正弦定理得，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝10eq \r(3).]
3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________．
eq \r(2) [AC边上的高为ABsin A＝csin A＝2sin 45°＝eq \r(2).]
4．在△ABC中，若a＝3，b＝eq \r(3)，A＝eq \f(π,3)，则C＝________.
eq \f(π,2) [由正弦定理得：eq \f(3,sin \f(π,3))＝eq \f(\r(3),sin B)，所以sin B＝eq \f(1,2).
又a>b，所以A>B，所以B＝eq \f(π,6)，
所以C＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝eq \f(π,2).]
【例1】 在钝角△ABC中，证明正弦定理．
[证明] 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
eq \f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，eq \f(CD,a)＝sin B.
∴CD＝bsin A＝asin B.
∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).
同理，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
故eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
2．要证eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
1．如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明eq \f(a,sin A)＝2R.
[证明] 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，
则圆周角∠A′＝∠A.
∵A′B为直径，长度为2R，
∴∠A′CB＝90°，
∴sin A′＝eq \f(BC,A′B)＝eq \f(a,2R)，
∴sin A＝eq \f(a,2R)，即eq \f(a,sin A)＝2R.
【例2】 已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.
[思路探究] ①角A，B，C满足什么关系；
②105°可拆分成哪两个特殊角的和；
③由正弦定理如何求得b，c的值．
[解] ∵A＝30°，C＝45°，
∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
又由正弦定理得：c＝eq \f(asin C,sin A)＝10eq \r(2).
b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(10·sin 105°,sin 30°)＝20sin(60°＋45°)＝5(eq \r(6)＋eq \r(2))．
∴B＝105°，b＝5(eq \r(6)＋eq \r(2))，c＝10eq \r(2).
1．正弦定理实际上是三个等式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
2．适用正弦定理的两种情形：
(1)已知三角形的任意两角与一边．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角．
2．已知B＝30°，b＝eq \r(2)，c＝2，求A，C，a.
[解] 由正弦定理得：sin C＝eq \f(c·sin B,b)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∵c>b,0°∴C＝45°或135°.
当C＝45°时，A＝105°，
a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(\r(2)sin 105°,sin 30°)＝eq \r(3)＋1，
当C＝135°时，A＝15°，
a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(\r(2)sin 15°,sin 30°)＝eq \r(3)－1.
[探究问题]
1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．
[提示] 如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，即eq \f(a,sin A)＝2R，同理eq \f(b,sin B)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R，所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R.
2．由eq \f(a,sin A)＝2R，eq \f(b,sin B)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？
[提示] 由eq \f(a,sin A)＝2R，eq \f(b,sin B)＝2R，eq \f(c,sin C)＝2R可以得到的变形：sin A＝eq \f(a,2R)，a＝2Rsin A；sin B＝eq \f(b,2R)，b＝2Rsin B；sin C＝eq \f(c,2R)，c＝2Rsin C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．
【例3】 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
[解] 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcs C＝2sin Bcs(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝eq \f(\r(2),2).
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcs C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°∴△ABC是等腰直角三角形．
(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acs C”其它条件不变，试判断△ABC的形状．
[解] ∵b＝acs C，
由正弦定理，得
sin B＝sin Acs C．(*)
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为
sin(A＋C)＝sin Acs C.
∴cs Asin C＝0.
又∵A，C∈(0，π)，
∴cs A＝0，A＝eq \f(π,2)，即△ABC是直角三角形．
1．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．
2．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)等.
1．正弦定理的表示形式：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k＞0)．
2．正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
1．判断正误
(1)正弦定理不适用直角三角形．( )
(2)在△ABC中，bsin A＝asin B总成立．( )
(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．在△ABC中，若sin A>sin B，则有( )
A．aB．a≥b
C．a>b
D．a，b的大小无法判定
C [因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B).
因为在△ABC中，sin A>sin B>0，所以eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)>1，所以a>b.]
3．在△ABC中，若c＝2acs B，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
B [由正弦定理知c＝2Rsin C，a＝2Rsin A，
故sin C＝2sin Acs B＝sin(A＋B)
＝sin Acs B＋cs Asin B，
所以sin Acs B＝cs Asin B，
即sin(A－B)＝0，所以A＝B.
故△ABC为等腰三角形．]
4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(2)，b＝eq \r(3)，B＝60°，那么A等于( )
A．135° B．90° C．45° D．30°
C [由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∴A＝45°或135°.
又∵a∴A＝45°.]
5．已知在△ABC中，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形．
[解] 由正弦定理及已知条件有eq \f(\r(3),sin A)＝eq \f(\r(2),sin 45°)，得sin A＝eq \f(\r(3),2).
∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(\r(2)sin 75°,sin 45°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(\r(2)sin 15°,sin 45°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).
综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)或A＝120°，C＝15°，c＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)
2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)
1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养．
2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养.
定理证明
用正弦定理解三角形
三角形形状的判断