高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例学案及答案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例学案及答案，共10页。

1．向量在平面几何中的应用
(1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，常常利用向量的夹角关系：
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
(4)求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式|a|＝eq \r(x2＋y2).
2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
3．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
答案：2.向量 向量问题 运算
研习1 平面几何中的垂直问题
[典例1] 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
[自主记]
[证明] 证法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq \r(2)a，
∴eq \(DP,\s\up16(→))·eq \(EF,\s\up16(→))＝(eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(AP,\s\up16(→)))·(eq \(EP,\s\up16(→))＋eq \(PF,\s\up16(→)))＝eq \(DA,\s\up16(→))·eq \(EP,\s\up16(→))＋eq \(DA,\s\up16(→))·eq \(PF,\s\up16(→))＋eq \(AP,\s\up16(→))·eq \(EP,\s\up16(→))＋eq \(AP,\s\up16(→))·eq \(PF,\s\up16(→))
＝1×a×cs 180°＋1×(1－a)×cs 90°＋eq \r(2)a×a×cs 45°＋eq \r(2)a×(1－a)×cs 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.∴eq \(DP,\s\up16(→))⊥eq \(EF,\s\up16(→))，即DP⊥EF.
证法二：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，
所以eq \(DP,\s\up16(→))＝(x，x－1)，eq \(EF,\s\up16(→))＝(1－x，x)，
由于eq \(DP,\s\up16(→))·eq \(EF,\s\up16(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以eq \(DP,\s\up16(→))⊥eq \(EF,\s\up16(→))，即DP⊥EF.
[巧归纳] 利用向量解决垂直问题
对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
[练习1] 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
证明：设eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AD,\s\up16(→))＝b，
则eq \(AF,\s\up16(→))＝a＋eq \f(1,2)b，eq \(ED,\s\up16(→))＝b－eq \f(1,2)a，
∴eq \(AF,\s\up16(→))·eq \(ED,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a))
＝eq \f(1,2)b2－eq \f(1,2)a2＋eq \f(3,4)a·b.
又eq \(AB,\s\up16(→))⊥eq \(AD,\s\up16(→))，且|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|eq \(AD,\s\up16(→))|，
∴a2＝b2，a·b＝0，
∴eq \(AF,\s\up16(→))·eq \(ED,\s\up16(→))＝0，∴eq \(AF,\s\up16(→))⊥eq \(ED,\s\up16(→))，即AF⊥DE.
研习2 平面几何中的长度问题
[典例2] 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq \f(1,2)AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
[自主记]
(1)[证明] 以C为坐标原点，分别以边CB，CA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)，\f(m,2)))，
∴|eq \(CD,\s\up16(→))|＝eq \f(1,2)eq \r(n2＋m2)，|eq \(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(m2＋n2)，
∴|eq \(CD,\s\up16(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up16(→))|，即CD＝eq \f(1,2)AB.
(2)[解] ∵E为CD的中点，∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，\f(m,4)))，
设F(x,0)，则eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq \(AF,\s\up16(→))＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴eq \(AF,\s\up16(→))＝λeq \(AE,\s\up16(→)).
即(x，－m)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m)).则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))
故λ＝eq \f(4,3)，即x＝eq \f(n,3)，
∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,3)，0))∴|eq \(AF,\s\up16(→))|＝eq \f(1,3)eq \r(n2＋9m2)，
即AF＝eq \f(1,3)eq \r(n2＋9m2).
[巧归纳] 利用向量法解决长度问题
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
[练习2] 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：由题意，得eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))，
又BD＝2，AD＝1，AB＝2，
∴|eq \(BD,\s\up16(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up16(→))－\(AB,\s\up16(→))))2，
即4＝eq \(AD,\s\up16(→))2＋eq \(AB,\s\up16(→))2－2eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AD,\s\up16(→))＝1＋4－2eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AD,\s\up16(→))，
∴eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)，
∴|eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(\(AD,\s\up16(→))＋\(AB,\s\up16(→))2))
＝eq \r(\a\vs4\al(\(AD,\s\up16(→))2＋\(AB,\s\up16(→))2＋2\(AD,\s\up16(→))·\(AB,\s\up16(→))))＝eq \r(1＋4＋1)＝eq \r(6).
研习3 向量在物理中的应用
[典例3] 如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
[自主记]
[思路分析] 对题目中所给的物理量进行分析，转化成向量的平行四边形法则后进行求解．
[解] (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝eq \f(|G|,cs θ)，|F2|＝|G|tan θ.
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．
(2)由(1)，得|F1|＝eq \f(|G|,cs θ).
由|F1|≤2|G|，得cs θ≥eq \f(1,2).
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.
故θ的取值范围是[0°，60°]
[巧归纳] 向量在物理中的应用
利用向量解决物理问题时，要认真分析物理对象，深刻把握物理量之间的向量关系，通过抽象概括，把相应的物理现象转化为与之相关的向量问题．一般需要画出相关的向量图形，力和速度的合成与分解转化为向量的加减运算，长度和夹角问题转化为向量的模和夹角，力对物体做的功转化为向量的数量积．
用向量解决物理中相关问题的步骤：
(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；
(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
[练习3] 某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v－a，
如图，设eq \(OA,\s\up16(→))＝－a，eq \(OB,\s\up16(→))＝－2a，eq \(PO,\s\up16(→))＝v，
因为eq \(PO,\s\up16(→))＋eq \(OA,\s\up16(→))＝eq \(PA,\s\up16(→))，
所以eq \(PA,\s\up16(→))＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为eq \(PO,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))＝eq \(PB,\s\up16(→))，所以eq \(PB,\s\up16(→))＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是eq \(PB,\s\up16(→)).
由题意∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
从而，△POB为等腰直角三角形，
所以PO＝PB＝eq \r(2)a，即|v|＝eq \r(2)a.
所以实际风速是每小时eq \r(2)a千米的西北风．
达标篇·课堂速测演习
1．用力F推动一物体水平运动s m，且F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( )
A．|F|·sB．F·cs θ·s
C．F·sin θ·sD．|F|·cs θ·s
答案：D
解析：F在水平方向上的力的大小为|F|·cs θ，故W＝|F|·cs θ·s.
2．已知|eq \(OA,\s\up16(→))|＝2，|eq \(OB,\s\up16(→))|＝eq \r(3)，∠AOB＝120°，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设eq \(OC,\s\up16(→))＝meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→))(m，n∈R)，则eq \f(m,n)＝( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2)D．2
答案：A
解析：由题知，∠BOC＝90°，
∴eq \(OB,\s\up16(→))·eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))·(meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→)))＝0，
即eq \r(3)m×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋(eq \r(3))2n＝0，eq \f(m,n)＝eq \r(3)，故选A.
3．已知点A(－2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足eq \(PA,\s\up16(→))·eq \(PB,\s\up16(→))＝x2，则点P的轨迹是________．
答案：y2＝－2x
解析：eq \(PA,\s\up16(→))＝(－2－x，－y)，eq \(PB,\s\up16(→))＝(－x，－y)，则eq \(PA,\s\up16(→))·eq \(PB,\s\up16(→))＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，
∴y2＝－2x.
4．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s
＝|F||s|cs 30°＝50×20×eq \f(\r(3),2)＝500eq \r(3) J.
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×eq \f(1,2)＝25 N，
所以摩擦力f的大小为
|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1 N，
因此Wf＝f·s＝|f||s|cs 180°
＝1.1×20×(－1)＝－22 J.
即F和f所做的功分别为500eq \r(3)J和－22 J.
[误区警示] 忽视分类讨论致误
[示例] 已知向量eq \(AB,\s\up16(→))＝(2－k，－1)，eq \(AC,\s\up16(→))＝(1，k)．若△ABC为直角三角形，求k的值．
[错解] ∵∠A为直角，
∴eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝0⇒(2－k，－1)·(1，k)＝0.
解得k＝1.
[错因分析] 习惯了单一思路考虑问题，误认为只有∠A为直角而忽略了另外的两种情况造成漏解．
[正解] ∵eq \(AB,\s\up16(→))＝(2－k，－1)，eq \(AC,\s\up16(→))＝(1，k)，
∴eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))＝(k－1，k＋1)．
①若∠A＝90°，则eq \(AB,\s\up16(→))⊥eq \(AC,\s\up16(→))，
∴(2－k，－1)·(1，k)＝0，
解得k＝1.
②若∠B＝90°，则eq \(AB,\s\up16(→))⊥eq \(BC,\s\up16(→))，
∴(2－k，－1)·(k－1，k＋1)＝0，
得k2－2k＋3＝0，无解．
③若∠C＝90°，则eq \(AC,\s\up16(→))⊥eq \(BC,\s\up16(→))，
∴(1，k)·(k－1，k＋1)＝0，
得k2＋2k－1＝0，
解得k＝－1±eq \r(2).
综上所述，当k＝1时，△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；当k＝－1±eq \r(2)时，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．
[方法总结] 当题中所给条件不能明确结论时要注意分类讨论思想的运用，不能想当然地认为，在求解时造成漏解，出现不该有的失误．
新课程标准
学业水平要求
1.通过对平面向量基本定理的把握证明三点共线问题；通过对数量积的运算证明垂直问题；通过对向量坐标表达式的把握证明平行问题
2．通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
1.掌握三点共线的证明(逻辑推理)
2．掌握平面中的平行与垂直的证明(直观想象、逻辑推理)
3．能够借助平面向量证明平面几何中的等式或求值问题(逻辑推理)
4．用向量的方法解决物理中的关于力学、运动学等的相关问题(数学抽象)
5．体会向量在解决物理中相关问题的工具性特点．(数学建模)
6．通过对具体问题的探究解决，进一步提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用．(数学建模、逻辑推理)
课前篇·自主学习预案
课堂篇·研习讨论导案