北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第1课时导学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第1课时导学案，共7页。


1．余弦定理
思考：1.在△ABC中，“A>90°”“a2>b2＋c2”吗？
提示：在△ABC中，A＞90°cs A<0eq \f(b2＋c2－a2,2bc)<0a2>b2＋c2.
2．利用余弦定理可以解决哪两类三角形问题？
提示：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．
2．正弦定理
思考：3.在△ABC中，“A＞B”“sin A＞sin B”吗？
提示：在△ABC中，A＞Ba＞beq \f(a,2R)＞eq \f(b,2R)sin A＞sin B．
4．利用正弦定理可以解决哪两类三角形问题？
提示：(1)已知两边和一角，求第三边和其他两角；(2)已知两角和一边，求第三个角和其他两边．
1．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq \r(2)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，则∠A的度数是( )
A．30° B．45°
C． 60°D．75°
A [∵cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，∴A＝30°.]
2．在△ABC中，已知A＝60°，B＝30°，a＝3，则b＝( )
A．3B．2
C．eq \r(3)D．eq \r(2)
C [由正弦定理得eq \f(3,sin 60°)＝eq \f(b,sin 30°)，所以b＝eq \r(3).]
3．在△ABC中，b2＋a2＝c2＋ab，则角C＝________
eq \f(π,3) [由b2＋a2＝c2＋ab得eq \f(b2＋a2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，即cs C＝eq \f(1,2)，又C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,3).]
4．在△ABC中，求证：a2sinBcsB＋b2sinAcsA＝absinC．
[证明] 由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
所以eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(a,c)，eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(b,c)，
所以eq \f(a2sin Bcs B＋b2sin Acs A,sin C)＝eq \f(a2b,c)cs B＋eq \f(b2a,c)cs A
＝eq \f(a2b,c)×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＋eq \f(b2a,c)×eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(ab\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋c2－b2)),2c2)＋eq \f(ab\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b2＋c2－a2)),2c2)
＝ab.
故原式成立.
【例1】 根据条件，解下列三角形．
(1)在△ABC中，若a＝1，b＝1，C＝120°，求c;
(2)在△ABC中，若a＝2，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)＋1，求A．
[思路点拨] (1)利用余弦定理求解；(2)利用余弦定理的推论求解．
[解] (1)c＝eq \r(a2＋b2－2abcs C)＝eq \r(1＋1－2×1×1×cs 120°)＝eq \r(3).
(2)∵cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f((\r(2))2＋(\r(3)＋1)2－22,2\r(2)(\r(3)＋1))＝eq \f(\r(2),2)，
∴A＝eq \f(π,4).
余弦定理揭示了三角形中的边角关系，利用余弦定理可以解决以下两类三角形问题：
1已知三边，求各角；
2已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角.
3利用余弦定理也可求解已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的问题，建立关于第三边的方程，通过解方程求第三边.
eq \([跟进训练])
1．在△ABC中，如果a︰b︰c＝2︰ eq \r(6)︰(eq \r(3)＋1)，求这个三角形的最小角．
[解] 根据已知条件判断最小边应为a.
∵a︰b︰c＝2︰eq \r(6)︰(eq \r(3)＋1)，
可设a＝2k，b＝eq \r(6)k，c＝(eq \r(3)＋1)k(k>0)，
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(6＋(\r(3)＋1)2－4,2(\r(3)＋1)×\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
故这个三角形的最小角A＝45°.
【例2】 (1)在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形．
(2)在△ABC中，已知b＝5，c＝5eq \r(3)，∠B＝30°，解三角形．
[解] (1)根据正弦定理，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(10sin 60°,sin 30°)＝10eq \r(3).
又C＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(10sin 90°,sin 30°)＝20.
(2)根据正弦定理，得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(5\r(3)sin 30°,5)＝eq \f(\r(3),2)，
∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，易得a＝10，
当C＝120°时，A＝30°，此时a＝b＝5.
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边.
eq \([跟进训练])
2．在△ABC中，若a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°，则C＝________.
105°或15° [由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
∵B∈(0°，180°)，
∴B＝45°或135°，
∴当B＝45°时，C＝180°－45°－30°＝105°；
当B＝135°时，C＝180°－135°－30°＝15°.]
【例3】 在△ABC中，b，c是角B、C的对边，且bcs A＝acs B，试判定△ABC的形状．
[解] 由已知得b·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
整理得a2＝b2，
∴a＝b.
所以△ABC为等腰三角形．
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式.正弦定理和余弦定理是转化的桥梁.
提醒：等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.
eq \([跟进训练])
3．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
[解] 根据正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcs C＝2sin Bcs(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝eq \f(\r(2),2).
∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意△ABC，都有eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)．( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC是锐角三角形．( )
(3)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．在△ABC中，若a＝eq \r(3)＋1，b＝eq \r(3)－1，c＝eq \r(10)，则△ABC的最大角的度数为( )
A．60° B．90°
C．120°D．150°
C [∵c＞a＞b，∴C是最大角，
由余弦定理得，cs C＝eq \f((\r(3)＋1)2＋(\r(3)－1)2－(\r(10))2,2×(\r(3)＋1)×(\r(3)－1))＝eq \f(8－10,4)＝－eq \f(1,2).∴C＝120°.]
3．△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是________ .
0＜C≤eq \f(π,6) [由已知得BC＝2AB，又eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，
∴sin C＝eq \f(1,2)sin A≤eq \f(1,2).
又∵ 0＜C＜A ，
∴ 0＜C≤eq \f(π,6).]
4．在△ABC中，有(1)a＝bcs C＋ccs B；(2)b＝ccs A＋acs C；(3)c＝acs B＋bcs A，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
[证明] (1)由余弦定理，得
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
∴bcs C＋ccs B＝b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋b2－c2,2a)＋eq \f(a2＋c2－b2,2a)＝eq \f(2a2,2a)＝a.
∴a＝bcs C＋ccs B．
同理可证(2)b＝ccs A＋acs C；(3)c＝acs B＋bcs A．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现余弦定理与正弦定理，并了解其向量证法．(难点)
2．掌握余弦定理与正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)
1.通过余弦定理与正弦定理的证明，培养逻辑推理素养．
2．通过余弦定理与正弦定理的应用，培养数学运算素养.
语言
表述
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍.
符号
表示
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝a2＋c2－2accs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C．
推论
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
作用
实现三角形边与角的互化.
语言
表述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
符号
表示
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
变形
(1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
作用
实现三角形边与角的互化.
利用余弦定理解三角形
利用正弦定理解三角形
判定三角形的形状