高中北师大版 (2019)2.3 三角函数的叠加及其应用学案

3.2.3　三角函数的叠加及其应用

3.2.4　积化和差与和差化积公式

知识点1　辅助角公式

asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)(或asin x＋bcos x＝·cos(x－φ))，其中sin φ＝，cos φ＝.

知识点2　积化和差公式与和差化积公式

(1)积化和差公式

sin αcos β＝________；

cos αsin β＝________；

cos αcos β＝________；

sin αsin β＝________.

(2)和差化积公式

sin α＋sin β＝2sincos；

sin α－sin β＝2cossin；

cos α＋cos β＝2coscos；

cos α－cos β＝－2sinsin.

答案：[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

[sin(α＋β)－sin(α－β)]

[cos(α＋β)＋cos(α－β)]

[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

研习1  辅助角公式

[典例1]　将下列各式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式：

(1)y＝3sin x－cos x；

(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)；

(3)y＝sin＋sin.

[思路分析]利用三角函数公式将函数解析式化为asin ωx＋bcos ωx的形式，再利用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式．

[自主记]

[解]　(1)y＝3sin x－cos x＝2＝2＝2sin.

(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)＝sin 2xcos 2x＋cos22x

＝sin 4x＋＝sin 4x＋cos 4x＋

＝＋

＝＋

＝sin＋.

(3)y＝sin＋sin

＝sin cos ＋cos sin ＋sin

＝sin ＋cos

＝＝sin.

[巧归纳]　将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤

(1)将sin xcos x运用二倍角公式化为sin 2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．

(2)将(1)中得到的式子利用asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式.

[练习1]　化简下列三角函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)的形式：

(1)y＝cos4x－2sin xcos x－sin4x；

(2)y＝sin x(cos x－sin x)＋.

解：(1)y＝cos4x－2sin xcos x－sin4x

＝(cos4x－sin4x)－2sin xcos x

＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sin xcos x

＝cos 2x－sin 2x＝

＝

＝sin.

(2)y＝sin x(cos x－sin x)＋

＝sin xcos x－sin2x＋

＝sin 2x－＋

＝sin 2x＋cos 2x－＋

＝

＝sin.

研习2  与三角函数性质有关的问题

[典例2]　已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

[自主记]

[解]　因为f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－

＝sin xcos x＋cos2x－

＝sin 2x＋－

＝sin 2x＋cos 2x

＝sin，

所以T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

[巧归纳]　应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤

(1)运用和、差、倍角公式化简；

(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；

(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质.

[练习2]　(2019·北京朝阳期末)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.

解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1.

所以函数f(x)的最小正周期为π.

(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.

当x∈时，2x－∈，

sin∈，

sin＋1∈[0，＋1]．

当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.

所以当x∈时，f(x)≥0.

[练习3]　已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为.

(1)求a，ω的值；

(2)若f(α)＝，求sin的值．

解：(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋φ)，其中tan φ＝.

由题意知＝2，a>0，则a＝1.

由题意知f(x)的最小正周期为π，则＝π，故ω＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.

由f(α)＝知，2sin＝，

即sin＝.

∴sin＝sin

＝－cos＝－1＋2sin2

＝－1＋2×2＝－.

研习3  积化和差

[典例3]　求下列各式的值．

(1)sin 37.5°cos 7.5°；

(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.

[自主记]

[解]　(1)sin 37.5°cos 7.5°

＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]

＝(sin 45°＋sin 30°)＝×

＝.

(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°

＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)

＝－sin 50°＋cos 40°

＝－sin 50°＋sin 50°

＝.

[巧归纳]　在运用积化和差公式时，如果形式为混合函数积时，化得的结果应为sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差.

[练习3]　化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)．

解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]

＝－2sin θ

＝sin θ＋2sin θcos 2θ

＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ)

＝sin 3θ.

研习4  和差化积

[典例4]　已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值．

[自主记]

[解]　因为cos α－cos β＝，

所以－2sinsin＝.①

又因为sin α－sin β＝－，

所以2cossin＝－.②

因为sin≠0，

所以由①②得－tan＝－，

即tan＝.

所以sin(α＋β)＝

＝＝＝.

[巧归纳]　和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式.

[练习4]　＝________.

答案：　

解析：原式＝＝＝.

研习5  和差化积公式、积化和差公式的应用

[典例5]　若sin(α＋β)sin(β－α)＝m，则cos2α－cos2β等于________．

[思路分析]根据题目条件中为两角和与差的关系式，而求解的结果为单角的关系式的特征，可以考虑用积化和差公式加以应用．

[自主记]

[答案]　m

[解析]　由积化和差公式得sin(α＋β)sin(β－α)＝－(cos 2β－cos 2α)＝－(2cos2β－1－2cos2α＋1)＝－(2cos2β－2cos2α)＝cos2α－cos2β＝m，故答案为m.

[巧归纳]　对于一些比较复杂的含有积或和(差)形式的三角函数式，往往可以利用和差化积公式或积化和差公式加以处理与解决，关键是正确掌握相应的公式并会应用.

[练习5]　cos2x＋cos2(120°＋x)＋cos2(240°＋x)＝________.

答案：　

解析：原式＝

＋＋

＝＋[cos 2x＋cos(240°＋2)＋cos(480°＋2x)]

＝＋[cos 2x＋2cos(360°＋2x)cos 120°]

＝＋(cos 2x－cos 2x)＝.

1.函数y＝sincos x的最大值为(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案：B　

解析：利用积化和差公式得y＝sin(x－)cos x＝＝sin－，则其最大值为－＝.

2.直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为________．

答案：　

解析：因为A＋B＝，sin Asin B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝cos(A－B)．

又－<A－B<，即0<cos(A－B)≤1，

所以sin Asin B最大值为.

3.函数f(x)＝2sinsin的最大值等于________．

答案：2sin2　

解析：f(x)＝2sinsin

＝－[cos α－cos(x－α)]

＝cos(x－α)－cos α.

当cos(x－α)＝1时，

f(x)取得最大值1－cos α＝2sin2.

4.求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．

解：解法一：原式＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋sin 20°·cos 50°

＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋(sin 70°－sin 30°)

＝－sin 70°·sin 30°＋sin 70°＝.

解法二：原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50°

＝(2sin 30°·cos 10°)2－(sin 70°－sin 30°)

＝cos210°－cos 20°＋

＝－cos 20°＋＝.