高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 向量的数量积学案及答案

2.5　从力的做功到向量的数量积

2.5.1　向量的数量积

1.向量的投影

如图所示：＝a，＝b，∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角，记为〈a，b〉与θ(0°≤θ≤180°)．过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则向量称为向量b在a方向上的投影向量，OB1＝|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量．

2.向量的数量积及运算性质

续表

答案：2.|a||b|cos θ　⑤≤

研习1  向量数量积的运算

[典例1]　已知|a|＝3，|b|＝4，分别计算：

(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b夹角为120°时，a·b的值．

[自主记]

[分析]　已知|a|与|b|，利用数量积的运算公式，只需再有向量a与b的夹角即可求值．

[解]　(1)当a与b夹角为0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝12；当a与b夹角为180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－12.

(2)a⊥b，夹角为90°，此时a·b＝|a||b|·cos 90°＝0.

(3)当a与b夹角为120°时，a·b＝|a|·|b|cos 120°＝3×4×＝－6.

[巧归纳]　1.求两向量数量积的步骤

(1)确定向量a与b的夹角及模长；

(2)套用公式a·b＝|a||b|cos θ进行计算．

2.常见模型为：

(1)非零向量共线的充要条件是a·b＝±|a||b|，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能；

(2)非零向量a⊥b⇔a·b＝0；

(3)两个向量的数量积a·b＝|a||b|cos θ，与它们的夹角有关，夹角范围是[0°，180°]．

[练习1]　已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：

(1)a·b；(2)(3a)·；(3)(3b－2a)·(4a＋b)．

解：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝10×12×cos 120°＝－60.

(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36.

(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b

＝10a·b＋3|b|2－8|a|2

＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.

研习2  向量夹角及垂直问题

[典例2]　已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．

[自主记]

[分析]　利用已知条件中的两组垂直关系可建立出关于a·b及|a|与|b|的关系式，再利用cos θ＝求解．

[解]　由已知条件，得

即

②－①，得23b2－46a·b＝0，

∴2a·b＝b2，代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|，

∴cos θ＝＝＝.

∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

[巧归纳]　1.求向量夹角需应用向量数量积的变形公式

cos θ＝，故应求两个整体a·b与|a||b|.本题为求两者的关系，转化条件解方程组，特别要注意向量夹角的范围．

2.解决两向量垂直问题常用的向量数量积的性质

a⊥b⇔a·b＝0来解决，但应注意a≠0，b≠0.

[练习2]　1.已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：B　

解析：由题意，知(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝0，所以a·b＝2.

设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，

因为θ∈[0，π]，所以θ＝.故选B.

2.已知|a|＝1，|b|＝4，(a－b)·(a＋2b)＝－29，则a与b的夹角θ＝________.

答案：　

解析：∵(a－b)·(a＋2b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝1＋a·b－32＝－31＋a·b，

∴－31＋a·b＝－29，

∴a·b＝2，∴cos θ＝＝＝.

又∵0≤θ≤π，∴θ＝.

研习3  与向量模有关的问题

[典例3]　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求|3a－4b|.

[自主记]

[分析]　利用向量数量积的运算公式先求出a·b的值，再结合a2＝|a|2求值．

[解]　由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.

∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2

＝9a2－24a·b＋16b2

＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，

∴|3a－4b|＝4.

[巧归纳]　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质常用来解决与向量模有关的题型，在求模问题中，一般转化为求模的平方，常与向量的数量积联系在一起，但在求出结论后不要忽略开方．

[练习3]　1.已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)

A.1  B.  C.  D.

答案：D　

解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，

∴a与c的夹角为60°或120°.

当θ＝60° 时，

|a＋c|＝＝

＝，∴|a＋c|min＝1，

当θ＝120°时，|a＋c|＝

＝∴|a＋c|min＝.

2.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：

p1：|a＋b|>1⇔θ∈；

p2：|a＋b|>1⇔θ∈；

p3：|a－b|>1⇔θ∈；

p4：|a－b|>1⇔θ∈.

其中的真命题是(　　)

A.p1，p4 B．p1，p3 

C．p2，p3 D．p2，p4

答案：A　

解析：∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|>1，则a2＋2a·b＋b2>1，即a·b>－，

∴cos θ＝＝a·b>－，∴θ∈；

若|a－b|>1，同理求得a·b<，

∴cos θ＝a·b<，∴θ∈，

故p1，p4正确，应选A.

1.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)

A.30° B．60° 

C．120° D．150°

答案：C　

解析：设a与b的夹角为θ，则0＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos θ＋|b|2，

∵|a|＝|b|≠0，

∴2cos θ＋1＝0，cos θ＝－，∴θ＝120°.

2.设a，b，c是三个向量，有下列命题：

①若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c；

②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；

③设a，b都是非零向量，a，b反向⇔a·b＝－|a||b|；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的有(　　)

A.1个 B．2个 

C．3个 D．4个

答案：B　

解析：①中，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，又a≠0，则b＝c或a⊥(b－c)，即①不正确；②中，a·b＝0⇔a⊥b或a＝0或b＝0，即②不正确；③中，a，b是非零向量，a，b反向，即a，b夹角为180°，则a·b＝－|a||b|，若a·b＝－|a||b|，则a，b夹角为180°，a，b反向，故命题③是真命题；④中，左边＝9a2－6a·b＋6b·a－4b2＝9|a|2－4|b|2＝右边，即④正确.

3.已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

答案：3　

解析：|2a－b|＝⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－4|b|cos 45°＝10，解得|b|＝3.

4.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，试问：当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？

解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，

∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，

即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，

即k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，

∴k＝，∴当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．

[误区警示一]　混淆向量数量积与实数的运算致误　　[示例1]　已知|a|＝2，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求|a＋b|及|a－b|的值．

[错解]　由已知|a|2＝a2＝4，|b|2＝b2＝16，a·b＝|a||b|cos 120°＝－4，

∴|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝12，∴|a＋b|＝±2.

∵|a－b|2＝a2－2ab＋b2＝28，

∴|a－b|＝±2.

[错因分析]　本例中的错解为许多同学在初学模的计算中常出现的一种错解，错误的类比应用了实数中的运算法则，而忽略了向量的运算性质．

[正解]　由错解知|a＋b|2＝12，∴|a＋b|＝2.

|a－b|2＝28，∴|a－b|＝2.

[方法总结]　如果求模的向量是用几个向量的和或差来表示的，而这些问题的模及夹角均已知，则用向量数量积的性质，将求模问题转化为求模的平方，即求向量自身的数量积．但在开方时不要忽略模的限制范围，此时与实数的开方要注意区别开，如本例错解中的±2.

[误区警示二]　对向量夹角判断不当致误

[示例2]　在△ABC中，若·＝2，则△ABC

是(　　)

A.锐角三角形 B．直角三角形

C.钝角三角形 D．不确定

[错解]　因为 ·＝2，

所以|A| ||cos B＝2，

所以cos B>0，

因此角B为锐角，故选A.

[错因分析]　本题错解的原因在于没有能够正确理解向量夹角的定义．题目中与的夹角并不是角B，而是角B的补角．

[答案]　C

[正解]　∵·＝||||cos(π－B)＝2，

∴cos(π－B)>0，即cos B<0.

又∵0<B<π.∴∠B为钝角，故选C.

[方法总结]　在几何图形中求两个向量数量积时，注意根据图形特点，分析向量的夹角，一定要依据夹角的概念，以向量共起点为切入点．如本题中与的夹角为角B的补角.