2020-2021学年6.2 平面向量的运算第1课时学案及答案

【新教材】 6.2.4 向量的数量积

（人教A版）

第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积

1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；

3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

1.数学抽象：数量积相关概念的理解；

2.逻辑推理：有关数量积的运算；

3.数学运算：求数量积或投影；

4.数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题.

重点：平面向量数量积的含义与物理意义；

难点：平面向量数量积的概念.

一、    预习导入

阅读课本17-21页，填写。

1、向量的夹角：

已知两个非零向量a与b，作=a，=b，∠AOB=（0°≤≤180°）叫作向量a与b的夹角。

当=______时，a与b同向；当=______时，a与b反向；

当=______时，a与b垂直，记作a⊥b。

规定：零向量可与任一向量垂直。

2、射影的概念

叫作向量b在a方向上的射影。

 注意：射影也是一个数量，不是向量。

3、数量积的定义：

已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ____________.

注意 不能写成或的形式

数量积的几何意义：____________________________________________________________________.

数量积的物理意义：力F与其作用下物体位移s的数量积

4、向量数量积的性质

特别地：

(当且仅当等号成立)

5、运算定律：

已知向量a、 b、c和实数λ，则：

(1).交换律：a·b=______

(2).数乘结合律：（）·b=______= ______.

(3).分配律： （a + b）·c=____________.

1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　)

(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)

(3)若a，b共线⇔a·b＝|a||b|.(　　)

(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　)

2．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝(　　)

A．12 B．12

C．－12 D．－12

3．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，

则|b|＝(　　)

A．12　　 B．3

C．6　　 D．3

4．已知|a|＝5，向量a与b的夹角θ＝60°，则向量a在b方向上的射影为________．

题型一  数量积的基本运算

例1 　已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.

 跟踪训练一

1、已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．

题型二  数量积的几何意义

例2　已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求出a在e方向上的投影，并画图说明．

跟踪训练二

1、已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6.

(1)向量a在向量b方向上的投影为________．

(1)向量b在向量a方向上的投影为________．

2、在边长为2的正三角形ABC中，在方向上的投影为______．

题型三  向量的混合运算

例3　(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a-3b)=_____________．

(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．

跟踪训练三

1.已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．

2．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.

1．下列命题：

(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；

(2)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意向量a，b，c都成立；

(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.

其中正确的有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为(　　)

A.  B．3  C．2  D.

3．若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)

A．直角梯形 B．矩形

C．菱形 D．正方形

4．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．

5．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.

6．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求(a－2b)·b；

答案

小试牛刀

1. (1)×(2) ×(3)×(4)×

2．B.

3．C.

4. .

自主探究

例1 【答案】①a·b=－10.  ②a·b＝0.  ③a·b＝5.

【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.

∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.

若a与b反向，则它们的夹角为180°.

∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.

②当a⊥b时，它们的夹角为90°.

∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.

③当a与b的夹角为30°时，

a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×＝5.

 跟踪训练一

1、【答案】－25．

【解析】如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cosA＝，cosC＝，

∴·＋·＋·

＝·＋·

＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)

＝－20cosC－15cosA

＝－20×－15×＝－25.

例2　【答案】　见解析

【解析】如下图所示，当θ＝45°时，a在e方向上的正投影的数量为3；

当θ＝90°时，a在e方向上的投影的数量为0；

当θ＝135°时，a在e方向上的投影的数量为－3.

∴|a|·cos45°＝3，|a|·cos90°＝0，

|a|·cos135°＝－3.

跟踪训练二

【答案】1、(1)－ 　(2)－2.　

2、－1.

【解析】1、（1）

2、

例3　【答案】（1）-72.  （2）2.

【解析】(1)(a＋2b)·(a-3b)

＝a·a-a·b-6b·b

＝|a|2-a·b-6|b|2

＝|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2

＝62-6×4×cos 60°-6×42＝-72.

（2）　·＝·(－)＝2－2＝22－×22＝2.

跟踪训练三

【答案】1、-6.  2、2．

【解析】1、由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，

所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e

＝3－2×－8＝－6.

2、因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，

即ta·b＋(1－t)·b2＝0，

又因为|a|＝|b|＝1，a，b的夹角为60°，

所以t＋1－t＝0，所以t＝2.

当堂检测 

1-3.BAC

4.　1

5. 2

6. 【答案】(1). (2)－3.

【解析】(1)∵|a|＝2|b|＝2，

∴|a|＝2，|b|＝1.

又a在b方向上的投影为|a|＝－1，

∴＝－，∴θ＝.

(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.