高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用5 从力的做功到向量的数量积5.1 向量的数量积学案

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1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)，我们把|a||b|cs〈a，b〉叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝|a||b|cs θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
2．投影
(1)如图，已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，投影γ＝eq \(OA′,\s\up8(→))称为投影向量．
(2)如图，|a|cs〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))).
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cs 〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cs〈a，b〉的乘积(如图)．
(4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s.
思考：1.向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相等吗？
[提示] 当且仅当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))时，相等．
2．当a≠0时， 由a·b＝0一定能得到b＝0吗？
[提示] 不一定．例如，当a⊥b时，即使b≠0，也有a·b＝0.
3．数量积的运算律：
交换律：a·b＝b·a.
与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
关于加法的分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．数量积的性质：
(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cs〈a，e〉；
(2)a⊥ba·b＝0(其中a，b为非零向量)；
(3)|a|＝eq \r(a·a)；
(4)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)(|a||b|≠0)；
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
思考：3.数量积运算是否满足结合律？
[提示] 不满足．
1．已知实数λ和非零向量a，b，下列选项中错误的是( )
A．|a|＝eq \r(a·a) B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a||b|
B [当且仅当a，b的夹角为0或π 时，|a·b|＝|a|·|b|，故B错．]
2．已知三角形ABC中，eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＜0，则三角形ABC的形状为( )
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等腰直角三角形
A [∵eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(BA,\s\up8(→))|·|eq \(BC,\s\up8(→))|·cs B＜0，
∴cs B＜0，又∵B为△ABC的内角．
∴eq \f(π,2)＜B＜π.]
3．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
2eq \r(3) [|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cs 60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×eq \f(1,2)＋22＝4＋4＋4＝12，
∴|a＋2b|＝eq \r(12)＝2eq \r(3).]
4．已知|a|＝1，|b|＝eq \r(2)，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝eq \f(π,3)，求|a－b|；
(2)若a与a＋b垂直，求θ.
[解] (1)∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cseq \f(π,3)＋|b|2＝1－2eq \r(2)×eq \f(1,2)＋2＝3－eq \r(2)，
∴|a－b|＝eq \r(3－\r(2)).
(2)若a与a＋b垂直，则a·(a＋b)＝0，
∴a2＋a·b＝0.
∵a·b＝－|a|2＝－1，
∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1,1×\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
【例1】 下列判断：
①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；
②若a，b的夹角为θ，则|b|cs θ表示向量b在向量a方向上的投影数量；
③a，b共线a·b＝|a||b|；
④a·a·a＝|a|3；
⑤a2＋b2≥2a·b；
⑥非零向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；
其中正确的是________(填序号)．
①②⑤ [由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；
根据投影数量的定义知，②正确；
a，b共线a·b＝±|a||b|，所以③错；
对于④应该是a·a·a＝|a|2a，所以④错；
对于⑤，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑤正确；
对于⑥，当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑥错．
综上可知①②⑤正确．]
对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等.
eq \([跟进训练])
1．给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．
④ [因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．]
【例2】 已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
求：(1)a·b；
(2)a在b方向上的投影数量；
(3)(a－2b)·(a＋b)；
(4)(a－b)2.
[思路点拨] 利用向量数量积的定义，几何意义并结合数量积的运算律求解．
[解] (1)a·b＝|a||b|cs 120°＝10×4×(－eq \f(1,2))＝－20；
(2)a在b方向上的投影数量为|a|cs 120°＝10×(－eq \f(1,2))＝－5；
(3)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2
＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cs 120°－2|b|2
＝100－10×4×(－eq \f(1,2))－2×42＝88；
(4)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cs 120°＋|b|2
＝100－2×10×4×(－eq \f(1,2))＋42
＝100＋40＋16＝156.
1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a|和|b|；③利用数量积的定义：a·b＝|a||b|cs θ求解．
2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．
eq \([跟进训练])
2．在△ABC中，|eq \(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝4，∠BAC＝60°，则eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝________.
－6 [eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝|eq \(BA,\s\up8(→))||eq \(AC,\s\up8(→))|cs(180°－∠BAC)＝3×4×(－eq \f(1,2))＝－6.]
角度一 求向量的模
【例3】 已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq \r(10)，则|b|＝________.
3eq \r(2) [∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cs 45°＝eq \f(\r(2),2)|b|，
∴|2a－b|2＝4－4×eq \f(\r(2),2)|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3eq \r(2).]
数量积的性质|a|＝eq \r(a2)，可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
角度二 求向量的夹角
【例4】 已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
[思路点拨] 由(a＋3b)·(7a－5b)＝0及(a－4b)·(7a－2b)＝0建立a·b与b2以及|a|与|b|的等量关系，求a与b的夹角．
[解] 由向量垂直得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((a＋3b)·(7a－5b)＝0，,(a－4b)·(7a－2b)＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7a2＋16a·b＝15b2，,7a2－30a·b＝－8b2，))
化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b＝\f(1,2)|b|2，,|a|＝|b|，))
设a与b的夹角为θ，
∴cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq \f(1,2)，又∵θ∈[0，π]，
∴a与b的夹角为eq \f(π,3).
求向量a，b夹角的流程图
eq \x(求|a|，|b|)―→eq \x(计算a·b)―→eq \x(计算cs θ＝\f(a·b,|a||b|))―→
eq \x(结合θ∈[0，π]，求解θ)
eq \([跟进训练])
3．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cs θ＝eq \f((2te1＋7e2)·(e1＋te2),|2te1＋7e2||e1＋te2|)＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.
化简，得2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－eq \f(1,2).
当夹角θ为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2t＝λ，,7＝λt，,λ<0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\r(14)，,t＝－\f(\r(14),2)，))
故实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))).
1．两向量a与b的数量积是一个实数，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．向量数量积的性质及作用
设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.
(1)a⊥ba·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．
(2)|a|＝eq \r(a2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，此性质可求a与b的夹角．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两向量的数量积仍是一个向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0．( )
(3)设a与b的夹角为θ，则θ为锐角a·b>0．( )
(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．已知|a|＝1，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )
A．60°B．30°
C．135°D．45°
A [法一：∵(a－b)·a＝a2－a·b＝0，∴a·b＝a2＝1，
设a与b的夹角为θ，
∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,1×2)＝eq \f(1,2).又∵θ∈[0°，180°]，
∴θ＝60°.
法二：作eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b，则∠AOB＝〈a，b〉，eq \(BA,\s\up8(→))＝a－b，
由(a－b)⊥a，得∠A＝90°，
在直角△OAB中，cs∠AOB＝eq \f(1,2)，
所以∠AOB＝60°，即〈a，b〉＝60°.]
3．已知向量a在向量b方向上的投影是eq \f(2,3)，|b|＝3，则a·b的值为________．
2 [a·b＝|a|·|b|cs〈a，b〉＝|b||a|cs〈a，b〉＝3×eq \f(2,3)＝2.]
4．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
[解] 要想(ka－b)⊥(a＋2b)，
则需(ka－b)·(a＋2b)＝0，
即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，
∴52k＋(2k－1)×5×4×cs 60°－2×42＝0，
解得k＝eq \f(14,15)，即当k＝eq \f(14,15)时，向量ka－b与a＋2b垂直．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)
2．体会平面向量数量积与投影数量的关系．(难点)
3．会进行平面向量数量积的运算．(重点)
4．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
1.通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过数量积的应用，培养数学运算素养.
数量积的基本概念
数量积的运算
数量积的应用