高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 向量的数量积课后作业题

课后素养落实(十九)　向量的数量积

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　)

①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.

A．1    B．2    C．3    D．4

C　[①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C.]

2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　)

A．2    B．4    C．6    D．12

C　[∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.]

3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)

A．30°    B．60°    C．120°    D．150°

C　[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，

设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.

∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，

∴θ＝120°.]

4．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的投影数量为(　　)

A．4    B．4    C．4    D．8＋

A　[a在b方向上的投影数量为|a|cos 〈a，b〉．

由a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝40且|b|＝10，

得|a|cos 〈a，b〉＝4.]

5．已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而|c|＝13，c·a＝3，c·b＝4.则对于任意实数t1，t2，|c－t1a－t2b|的最小值是(　　)

A. 5    B．7    C. 12    D．13

C　[由条件可得

 ＝ －6t1 －8t2  ＋ t ＋ t

＝169＋(t1－3)2＋(t2－4)2－25

＝144＋(t1－3)2＋(t2－4)2≥144.

当t1＝3，t2＝4时，＝144.

所以|c－t1a－t2b|的最小值是12.]

二、填空题

6．单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝________．

5　[因为|a|2＝a2＝(3i－4j)2＝9i2－24i·j＋16j2＝9＋16＝25，所以|a|＝5.]

7．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．

　[由已知得a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0⇒3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，

∴12k－18＝0，∴k＝.]

8．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．

2　[b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.]

三、解答题

9．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？

[解]　由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.

由c⊥d，得c·d＝0，

即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)

＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2

＝27m＋3(5m－9)－60

＝42m－87＝0，

∴m＝，即m＝时，c与d垂直．

10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影数量．

[解]　(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.

|a＋b|＝＝＝＝1.

设向量2a－b与向量a＋b的夹角为θ，

∴|2a－b|cos θ＝|2a－b|·＝＝.

∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影数量为.

11．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.(　　)

A．若θ确定，则|a|唯一确定

B．若θ确定，则|b|唯一确定

C．若|a|确定，则θ唯一确定

D．若|b|确定，则θ唯一确定

B　[|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2.

因为|b＋ta|min＝1，

所以＝|b|2(1－cos2θ)＝1.

所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sinθ＝1，即|b|＝.

即θ确定，|b|唯一确定．]

12．在△ABC中，(＋)·＝0，则△ABC一定是(　　)

A．等边三角形     B．等腰三角形

C．等腰直角三角形  D．直角三角形

B　[由已知得：(＋)·(－)＝0，∴2－2＝0，∴||＝||.]

13．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．

　[(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，∴cos θ≤－，∴θ∈.]

14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．

　[因为E为CD的中点，所以＝＋＝－＝－，＝＋.因为·＝1，所以·＝·(＋)＝2－2＋·＝1，即1－2＋||cos 60°＝1，所以－2＋||＝0，解得||＝.]

15．已知单位向量e1，e2的夹角为，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．

[解]　∵e1，e2为单位向量且夹角为，

∴e1·e2＝1×1×cos ＝.

∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，

|a|＝＝＝＝，

|b|＝＝＝＝，

∴cos θ＝＝－ × ＝－.

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.∴a与b的夹角为.