北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理学案

2.4　平面向量的基本定理及坐标表示

2．4.1　平面向量基本定理

平面向量基本定理

1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝________.

2．基：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}．

3．正交基：若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．

4．正交分解：在正交基下向量的线性表示称为正交分解．

5．标准正交基：若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．

答案：1.λ1e1＋λ2e2

研习1  基底概念的理解

[典例1]　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)

①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.

A．①② B．②③ 

C．③④ D．②④

[自主记]

[分析]　应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1，e2表示的唯一性求解．

[答案]　B

[解析]　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B.

[巧归纳]　对基底的理解

(1)基底具备两个主要特征：

①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．

(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．

(3)关于基底的一个结论：设e1，e2是平面内的一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.

[练习1]　设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

①e1与e1＋e2；

②e1－2e2与e2－2e1；

③e1－2e2与4e2－2e1；

④e1＋e2与e1－e2.

其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________．(写出所有满足条件的序号)

答案：③　

解析：①设e1＋e2＝λe1，无解，

∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；

②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，

则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，

∴e1－2e2与e2－2e1不共线，

即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；

③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，

∴e1－2e2与4e2－2e1共线，

即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基底；

④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，

∴无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，

即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底.

研习2  平面向量基本定理及应用

[典例2]　已知||＝1，||＝，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，求的值．

[自主记]

[分析]　根据已知条件，以，为基底表示，此时的m，n具有唯一性，进而可求解．

[解]　如图所示．

∵⊥，不妨设||＝2，过C作⊥于D，⊥于E，则四边形ODCE是矩形，

＝＋＝＋.

∵||＝2，∠COD＝30°，

∴||＝1，||＝.

又∵||＝，||＝1，

故＝ ，＝ ，

∴＝ ＋，

此时m＝，n＝，∴＝＝3.

[巧归纳]　1.平面向量基本定理及应用

(1)用基底表示向量；

(2)证明点共线问题；

(3)解决平面几何问题．

2．用向量解决平面几何问题的一般步骤

(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．

(2)将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题．

(3)利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解．

(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．

[练习2]　已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

(1)用a，b表示向量，；

(2)若＝λ，求实数λ的值．

解：(1)∵A为BC中点，

∴＝(＋)，∴＝2a－b，

＝－＝－

＝2a－b－b＝2a－b.

(2)∵＝λ，

∴＝－＝λ－＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.

∵与共线，

∴存在实数m，使得＝m，

即(λ－2)a＋b＝m，

即(λ＋2m－2)a＋b＝0.

∵a，b不共线，

∴解得λ＝.

达标篇·课堂速测演习

1．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角大小为(　　)

A.   B.π

C.   D.π

答案：D　解析：如图，∵c＝a＋b，c⊥a，

∴a，b，c的模构成一个直角三角形，且θ＝，所以可推知a与b的夹角为.故选D.

2．如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)

A.    B.

C.    D.

答案：C　

解析：设＝λ，∵E，D分别为AC，AB的中点，

∴＝＋＝－a＋b，

＝＋＝(b－a)＋λ

＝a＋(1－λ)b，

∵与共线，∴＝，∴λ＝，

∴＝＋＝b＋

＝b＋＝a＋b，

故x＝，y＝.

3．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．

答案：λ≠4　

解析：若a与b共线，则存在m使得a＝mb，即e1＋2e2＝2me1＋mλe2，∴m＝，λ＝4，故λ≠4.

4．如图，已知D，E为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M，使DM＝CD，延长BE至N，使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．

证明：设＝a，＝b，

则＝－＝a－b.

∵MD＝DC，M，D，C三点共线，∴＝，

＝＋＝a－b＋a＝a－b.

∵＝＋＝＋＝－a＋b，

∴＝＋

＝b＋＝b＋b－a＝b－a.

∴＝－，即∥.

又∵AM∩AN＝A，∴M，N，A三点共线．

[误区警示]　对基底概念理解不清致误

[示例]　已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为(　　)

A.λ＝0　　　　　　　 B．e2＝0

C.e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0

[错解]　A

[错因分析]　在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑.

[思路分析]　当e1∥e2时，a∥e1，又因为b＝2e1，所以b∥e1.又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，则a∥e1.又因为b＝2e1，所以b∥e1.又因为e1≠0，故a与b共线．

[正解]　D

[方法总结]　作为基底而言，必须要明确同一平面内不共线的两个向量才能作为一组基底，当题目条件中没有明确时，一定要分情况讨论．