初中数学北师大版九年级下册1 圆优秀课堂检测

专题3.1-4 圆的基本性质测试卷

注意事项：

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022·山东德州·九年级期中）下列说法中，正确的个数为（　　）

（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；

（2）优弧一定比劣弧长；

（3）弧相等则所对的圆心角相等；

（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．

【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．

（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；

（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；

（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；

故选：B．

【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．

2．（2022·贵州·遵义市新蒲新区天立学校九年级期中）在直角坐标系中，如果是以原点为圆心，以为半径的圆，那么点的位置（    ）

A．在内 B．在外 C．在上 D．不能确定

【答案】C

【分析】勾股定理求得的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

【详解】解：的半径为，点A到圆心的距离为，

即点A到圆心的距离等于圆的半径，

点A在上．

故选：C．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔．

3．（2022·山东潍坊·九年级期中）如图，的直径与弦交于点E，若B为的中点，则下列说法错误的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．

【详解】解：∵的直径与弦交于点E， B为的中点，

∴，，故A，C，D选项正确，

不能得出，故B选项不正确，

故选：B．

【点睛】本题考查的是垂径定理的推理，掌握垂径定理是解题的关键．一条直线如果具有①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（被平分的弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”．

4．（2022·河北唐山·九年级期中）如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺时针旋转得到半圆，与交于点P，那么（    ）

A．2.5 B．5 C． D．

【答案】C

【分析】先根据题意判断出是等腰直角三角形，由勾股定理求出的长，进而可得出的长．

【详解】解：如下图，连接，

由题意得：，

，

是等腰直角三角形，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了圆的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据旋转的性质求出是等腰直角三角形．

5．（2022·江苏·南京外国语学校仙林分校九年级期中）如图，在中，半径，，求的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，，首先计算，然后再由，可知，结合三角形外角的性质计算的度数即可．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了圆的性质、余角的性质、等腰三角形的性质以及外角的性质等知识，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题关键．

6．（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室九年级期中）如图，的弦、的延长线相交于点，，，的度数是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等腰三角形等边对等角以及三角形外角的性质得出的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．

7．（2022·山西大同·九年级期中）以O为中心点的量角器与直角三角板（为等腰直角三角形）按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交弧于点E，如果点E在量角器上所对应的读数为，那么的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由圆周角定理得出，再由外角的性质得出，代入计算即可得出答案．

【详解】解：如图，连接，

点所对应的读数为，

，

为直径，，

点在上，

，

是的外角，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系．

8．（2022·山东德州·九年级期中）如图，已知是的直径，A是半圆弧的中点，点D在劣弧上（不与点A，点重合），与交于点．设，，则与之间的数量关系为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】连接，先求得，由圆周角定理得到，最后外角的性质得到结论．

【详解】解：连接，

∵A是半圆弧的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

故选D．

【点睛】此题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质,三角形外角的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．

9．（2022·山东临沂·九年级期中）平分锐角，以为圆心以任意长为半径画，分别交，，于A，B，C三点，以C为圆心，以长为半径画弧与相交于异于B点的点D，连接，．下列结论错误的是（　　）

A． B．若，则

C． D．

【答案】D

【分析】先根据题意画好图形，如图，连接，，由角平分线的定义结合圆心角，弧，弦之间的关系，判断A；证明为等边三角形，可判断B；连接，证明，可判断C；连接，可得，可判断D ，从而可得答案．

【详解】解：如图，连接，，

∵平分锐角，

∴，

∴，故A不符合题意；

∵由作图可得，

∴，

∴，

∵，，

∴为等边三角形，

∴，

∴，故B不符合题意；

连接，

∵，，

∴，

∴，故C不符合题意；

连接，

∵，，

∴，

∴，故D符合题意．

故选D．

【点睛】本题考查的是角平分线的定义，圆心角，弧，弦之间的关系，平行线的判定，两点之间线段最短，等边三角形的性质与判定，熟练的利用圆心角，弧，弦之间的关系进行转化是解本题的关键．

10．（2022·浙江嘉兴·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标，半径为5，函数的图象被截得的弦的长为8，则的值为（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】D

【分析】作轴于，交于，作于，连接，由于，，易得点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求得的长，即可求解．

【详解】解：作轴于，交于，作于，连接，如图，

的圆心坐标是，

，，

把代入得，

点坐标为，

，

为等腰直角三角形，

也为等腰直角三角形，

，

，

在中，，

，

，

．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．求出到轴的距离、求得点的坐标是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11．（2022·江苏泰州·九年级期中）半径为4，点A到点O距离为3，则点A在______（填“上”“内”或“外”）．

【答案】内

【分析】根据点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内判断即可得到答案．

【详解】解：∵ ，

∴点在圆内，

故答案为：内．

【点睛】本题考查点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内．

12．（2022·山东聊城·九年级期中）如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”）

【答案】

【分析】取的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可．

【详解】解：取的中点E，连接，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴，

故答案为：．

【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．

13．（2022·山西大同·九年级期中）小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心C到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为________________．

【答案】10

【分析】利用垂径定理和勾股定理进行求解即可．

【详解】解：设圆的半径为，

∵C为弧的中心，，

∴延长必过圆的圆心，设圆心为，连接，如图，

∴，

由勾股定理，得：，

即：，

解得：；

∴圆形瓦片所在圆的半径为：；

故答案为：10．

【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．

14．（2022·江苏泰州·九年级期中）如图，点M是半圆的中点，点A、C分别在半径OM和上，，，，则的半径为______．

【答案】

【分析】连接，易得点A在 上，在 中根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，在中可得直径，即可得到半径．

【详解】解：连接，

∵ 是圆的直径，

∴，

∵，

∴点A在 上，

∵点M是半圆的中点，

∴，

∴，

在中

∵，，

∴ ，

∴

在中

，

的半径为 ,

故答案为．

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理及直径所对圆周角是直角，解题关键是得到点A在 上．

15．（2022·湖北襄阳·九年级期中）如图，是的直径，四边形内接于，交于点E，．若，，则的长为_______．

【答案】6

【分析】先利用证明，且是的直径，O为中点，则可证为的中位线，设半径为R，则，利用勾股定理即可解出R，进一步即可求得的长．

【详解】解：

是的直径

O为中点

E为中点，即

设，则，，

在中，根据勾股定理得：

解得：

．

故答案为：6．

【点睛】本题主要考查圆的综合题型，熟知垂径定理，直径所对的圆周角为，三角形中位线的性质，勾股定理是解题的关键．

16．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图，以BC为直径作，A，D为圆周上的点，．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为____________（结果保留根号）

【答案】##

【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为，求出的长即可．

【详解】解：连接，根据对称的意义可知，的最小值为，

∵，，

∴，

∴，

∵为直径，

∴，

∴，

∴，，

所以阴影部分周长的最小值为，

故答案为：．

【点睛】本题考查轴对称的性质，圆周角定理，理解轴对称的性质是解决问题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2022·江苏南京·九年级期中）如图，等腰中，，过点且与分别相交于点．求证：．

【答案】见解析

【分析】由可知，从而可得，进而由可推导，即可证明．

【详解】证明： ∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴．

【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角和圆周角的关系以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧、弦、圆心角和圆周角的关系是解题关键．

18．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数．

【答案】

【分析】连接，由，知，据此得，根据可得答案．

【详解】解：如图所示，连接，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．

19．（2022·贵州·凯里市第六中学九年级期中）如图，是的直径，弦于E，连接，过点O作于点F，，．

(1)求的半径；

(2)求的长度．

【答案】(1)5

(2)

【分析】（1）连接，设的半径为x，则，由得，在中，根据勾股定理得，进行计算即可得；

（2）在中，根据勾股定理可求出，根据即可得．

【详解】（1）解：如图所示，连接，

设的半径为x，则，

∵，

∴，

在中，，

即，

，

即的半径为5；

（2）解：在中，根据勾股定理得，

，

∵，

∴．

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．

20．（2022·江苏淮安·九年级期中）在矩形中，，．

(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？

(2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是     ．

【答案】(1)点在内，点在外，点在上

(2)

【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解；

（2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解．

【详解】（1）解：连接，

，，

，

的半径为8，

点在内，点在外，点在上；

（2）解：，，，

又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，

的半径的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键．

21．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校九年级期中）如图，是的直径，点在上，．垂足为点．，分别交、于点、．

(1)判断的形状．并说明理由；

(2)延长交于点，连接，求证：．

【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后再利用垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后根据已知易得，从而利用等角的余角相等可得，进而利用等角对等边即可解答；

（2）设与交于点，利用垂径定理可得，从而可得，再根据已知和对顶角相等可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答．

【详解】（1）解：是等腰三角形，

理由：是的直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰三角形；

（2）证明：设与交于点，

，

，

，

，，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

22．（2022·吉林· 九年级期中）图①、图②分别是6×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图．

(1)图中的长为______．

(2)在图①中，找一格点C，连结，使．

(3)在图②中，作，使，并保留作图痕迹．

(4)图中存在格点P，使，这样的格点共有______个．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)见解析

(4)5

【分析】（1）根据勾股定理求解即可；

（4）根据等腰直角三角形的性质求解 ；

（3）根据题意作出线段，相交于点D，可得，即可求解；

（4）根据圆周角的性质作图求解即可；

【详解】（1），

故答案为：．

（2）如图所示，以为直角边作出等腰直角三角形，

∴，点C即为要求作的点；

（3）如图所示，作出线段，相交于点D，

∵，

∴

∴即为所要求作的角；

（4）如图所示，

∴使，这样的格点共有5个．

【点睛】本题考查了作图，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆周角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

23．（2022·北京丰台二中九年级期中）点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点，我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“包容度”．如图，半径为2，与轴，轴分别交于点，，点．

(1)在点视角下，的“包容度”为_________，线段的“包容度”为_________；

(2)点为轴上一点，若在点视角下，线段的“包容度”为2，写出的取值范围；

【答案】(1)4，2

(2)m的取值范围为或

【分析】（1）连接，连接并延长交于点，利用图形的“包容度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论；

（2）分三种情况讨论解答：当点在线段（不含端点）上时，不合题意；当点在点B的右侧时，求出的范围即可得到结论；当点在点A的左侧时，利用勾股定理求得的大小，从而得到点的坐标，结论可得．

【详解】（1）解：连接，连接并延长，交于点，如图，

则为点P到的长度的最大值与最小值，

∴在点P视角下，的“包容度”为；

∵半径为2，与x轴分别交于点，

∴，

∵点P坐标为，

∴．

∴．

∴点P到线段AB的最大长度为5，最小值为3，

∴在点P视角下，线段的“包容度”为；

故答案为：4，2；

（2）由（1）知：，

当点在线段（不含端点）上时，

∵，

∴，不合题意；

当点在点B的右侧时，

∵，

∴点P到的最小距离为3．

当时，，

∴，不合题意；

∴；

当点在点A的左侧时，

∵，

∴．

∴．

∴，

∴，

∴，

综上，m的取值范围为或．

【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了点和圆的位置关系，勾股定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，本题是新定义型题目，连接并熟练运用新定义是解题的关键．