初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数导学案

锐角三角函数—巩固练习

【巩固练习】

一、选择题
1. （2020•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）

A． B． C． D．

2.（2020•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

　 A．2 B．  C．  D． 

3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝(    )

    A．25°     B．55°     C．65°      D．75°

4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为  (    )

    A．       B．       C．      D．

              第4题                        第5题

5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是(    )

    A．       B．      C．      D．

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值(   )

A．扩大2倍     B．缩小2倍     C．扩大4倍     D．不变

7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为(    )

A．cm      B．cm      C．cm      D．cm

第7题              第8题

8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为(    )

A．         B．       C．       D．

二、填空题

9．（2020•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是　   　．

10. 用不等号连接下面的式子．

    (1)cos50°________cos20°     (2)tan18°________tan21°

11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为       .

12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．

13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．

         第12题                           第15题

14．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．

15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是________．

16.（2020•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是             　．

三、解答题

17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，

求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．

18. 计算下列各式的值．

   (1) （2020•普陀区一模）；

(2) （2020•常州模拟） sin45°+tan45°﹣2cos60°．

(3) （2020•奉贤区一模）﹣cos60°．

19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

 (1)求证：AB＝DF；

(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．

20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．

(1)求∠BAC的度数；

(2)求△ABC面积的最大值．

(参考数据：，，．

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】C.

【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，

∵AD⊥BC，

∴sinB=，

sinB=sin∠DAC=，

综上，只有C不正确

故选：C．

2.【答案】D；

【解析】如图：由勾股定理得，

AC=，AB=2，BC=，

∴△ABC为直角三角形，

∴tan∠B==，

故选：D．

3. 【答案】C；

【解析】由互余角的三角函数关系，，∴ sin25°-sin(90°-α)，

即90°-α＝25°，∴ α＝65°．

4.【答案】C；

【解析】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，根据已知可以得到OC＝5，CD＝10，

∴  ，∵  ∠OBC＝∠ODC，

∴  ．

5.【答案】D；

【解析】如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵  ∠BAC＝120°，∴  ∠CAD＝60°，

          又∵  AC＝2，∴  AD＝1，CD＝，

          ∴  BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，

          ∴  ．

6.【答案】D；

【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．

7.【答案】C；

【解析】由，∴    

8. 【答案】A；

   【解析】 ∵  ，∴ 

二、填空题

9.【答案】．

【解析】过点A作AB⊥x轴于B，

∵点A（3，t）在第一象限，

∴AB=t，OB=3，

又∵tanα===，

∴t=．

故答案为：．

10.【答案】(1)＜；   (2)＜；

【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴  cos50°＜cos20°；

当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴  tan18°＜tan21°．

11．【答案】105°；

【解析】∵  ，

           ∴  ，

           即，．

           又∵ ∠A、∠B均为锐角，∴ ∠A＝45°，∠B＝30°，

         在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴ ∠C＝105°．

12．【答案】；

   【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C点向AB所在直线作垂线CH．垂足为H，

则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得，∴  ．

13．【答案】2或

【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P是直线CD上一点，所以点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，

当P在边CD上时，；当P在CD延长线上时，．

14．【答案】或；

   【解析】由得，，①当3为直角边时，最小角A的正切值为；②当3为斜边时，另一直角边为，∴  最小角A的正切值为.

故应填或．

15．【答案】；

【解析】由△ABC的内心在y轴上可知OB是∠ABC的角平分线，则∠OBA＝45°，

易求AB与x轴的交点为(-2，0)，所以直线AB的解析式为：，

联立可求A点的坐标为(-6，-4)，

∴ ，又OC＝OB＝2，

∴  BC＝．在Rt△ABC中，．

16.【答案】 ； 

【解析】∵0＜cosα＜1，

∴0＜＜1，

解得.

三、解答题

17.【答案与解析】

    过D作DE∥AC，交BC于点E．

    ∵  AD＝BD，∴  CE＝EB，∴  AC＝2DE．

    又∵ DC⊥ AC，DE∥AC，

    ∴  DC⊥DE，即∠CDE＝90°．

    又∵  ∠BCD＝30°，∴  EC＝2DE，DC＝DE．

    设DE＝k，则CD＝，AC＝2k．

在Rt△ACD中，．

∴  ，．

．

18.【答案与解析】

解：（1）原式=4×﹣×+×

=1+3．  

   (2) 原式=×+1﹣2×

=1+1﹣1

=1．

(3) 原式=﹣×

=﹣

=．

19.【答案与解析】

    (1)证明：∵  四边形ABCD是矩形，

∴  AD∥BC，AD＝BC

∴  ∠DAF＝∠AEB

又∵  AE＝BC，

∴  AE＝AD

又∵  ∠B=∠DFA＝90°，

∴  △EAB≌△ADF．

∴  AB＝DF．

(2)解：在Rt△ABE中，

       ∵  △EAB≌△ADF，

∴  DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，

∴  EF＝AE-AF＝10-8＝2．

∴  ．

20.【答案与解析】

(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．

∵  BD是直径，∴  BD＝4，∠DCB＝90°．

在Rt△DBC中，，

∴  ∠BDC＝60°，∴  ∠BAC＝∠BDC＝60°．

(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．

过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC，

则AB＝AC，∠BAE∠BAC＝30°．

在Rt△ABE中，∵  BE，∠BAE＝30°，

∴  ，

∴  ．

答：△ABC面积的最大值是．