高中数学高考2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（三）（全国1卷）（解析版）

2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（三）（全国1卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．若全集,,,则集合等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为全集,,,所以,,所以,故选C

2.将下列各式的运算结果在复平面中表示,在第四象限的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】对应的点位,在第四象限.故选A．

3．设,表示两个不同的平面,表示一条直线,且,则是的（    ）

A．充分而不必要条件 B．充分必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若,,则平面和可能平行,也可能相交；若,,则,

所以是的必要而不充分条件,故选C

4．某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计,并绘制了如下图所示的统计图.记这组数据的众数为M,中位数为N,平均数为P,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由统计图得：该月温度的中位数为,众数为,

平均数为．

．故选A．

5.已知向量,,若,则,的夹角为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为,,所以．因为,所以,所以．因为,所以向量,的夹角为．

故选C．

6．已知,,,则,,的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为,故为与的图象的交点的横坐标,同理为与的图象的交点的横坐标,为与的图象的交点的横坐标,在平面直角坐标系中画出的图象,由图象可得,故选B.

7．运行如图所示的程序框图,输出的结果为,则判断框中可以填（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】D

【解析】运行程序框图,,,,,,

,,,,,,…,

,,

,此时输出.故选D.

8.如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为,则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为,现从,,,,这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由条件可知,要使该图形为“和谐图形”,则从从,,,,这五个数中任取两个数,这两个数的和是7,任选两个数包含（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）（2,5）（3,4）（3,5）（4,5）,共有10种情况,其中和为7的有（2,5）,（3,4）两种情况,所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率.

故选B

9．《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过,2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定,该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量（单位：毫克/升） 与过滤时间（单位：时）之间的函数关系式为（,均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么排放前至少还需要过滤的时间是（    ）

A．小时 B．小时 C．5小时 D．10小时

【答案】C

【解析】由题意,过滤过程中污染物的数量 与过滤时间之间的函数关系式为,

当时,,所以,即,又由,即,解得,即还需5小时.故选C．

10．在中,由角,,所对的边分别为,,,且,则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【解析】因为在中,

由正弦定理可得．

因为,可得,

即,即,

所以．

因为,可得,所以,

当且仅当,即,,时取“=”,所以,即的最大值为.故选D．

11．如图,椭圆的右焦点为分别为椭圆的上､下顶点,是椭圆上一点,,记椭圆的离心率为,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,则,所以直线,与椭圆方程联立,所以点的横坐标是,,即,,整理为：

,两边同时除以得：,

,,所以,得,或（舍）.

故选B

12．已知,,若,则下列结论一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时,则,

所以,令,则,

所以在上单调递增,所以,所以；

当时,则,所以,不合题意；

当时,则,

所以,所以,所以,

综上可得,故选D

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13. 在平面直角坐标系中,以轴非负半轴为始边,角与角的终边关于轴对称,若,则的值为___________.

【答案】

【解析】角与角的终边关于轴对称,故,

.

14．已知,为偶函数,若曲线在点处的切线方程为,则__________．

【答案】3

【解析】当时,,,因为为偶函数,所以,

所以时,,,因为曲线在点处的切线方程为,所以,所以,,可得．

15．已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为__________.

【答案】

【解析】如下图所示,设,可得出,则球的直径为,球的半径为,

设截面圆的半径为,可得,,由勾股定理可得,即,即,,所以,球的半径为,则球的表面积为.

16．已知点P是双曲线上的动点,,分别为双曲线的左,右焦点,O为坐标原点.若点M是的角平分线上的一点,且,则__________.

【答案】2

【解析】

延长交延长线于点,

因为点是的角平分线上的一点,且,

所以点为的中点,；

又点为的中点,所以

当点在右支时（如图1）,,

由双曲线的定义可得：,

所以,

当点P在左支时（如图2）,,

由双曲线的定义可得：,

所以.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 已知数列的前n项和为,满足,．

（1）求的通项公式；

（2）设为数列的前n项和,求证：对任意,都有．

解：（1）,

当时,,解得,

 当时,,解得.

当时,,

作差,可得,

,

作差,,(3分)

当为偶数时,,

当为奇数时,  ,

经检验,也符合.

综上,(6分)

（2）由（1）知,

,（添项）

,

(12分)

18.(12分) 如图,四棱锥中,底面为直角梯形,其中,,面面,且,点在棱上.

（1）证明：当时,直线平面；

（2）当平面时,求的体积.

（1）证明：连结与交于点,连结

,,,

,,,(3分)

又面,面,平面.(5分)

（2）解：平面,平面,,

是的中点,面面,(7分)

点到面的距离为

到面的距离为(10分)

．(12分)

19.(12分)已知抛物线()上点处的切线方程为.

（1）求抛物线的方程；

（2）设和为抛物线上的两个动点,其中,且,线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.

解：（1）设点,由得,求导得,

∵抛物线上点处的切线斜率为,切线方程为,

∴,且,解得,

∴抛物线的方程为；(5分)

（2）设线段中点,则,,

,∴直线的方程为,

即,∴过定点,即点的坐标为,

联立,

得,

,

设到的距离,

∴

,

当且仅当,即时取等号,∴的最大值为.(12分)

20.(12分) 已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）设,在（1）的条件下,求证：．

（1）解：函数的定义域为

由,得

令

即在上单调递减,在上单调递增,

故,于是单调递增区间为,无递减区间.(5分)

（2）证明：由（1）可知在上单调递增函数,又,

当时,,

于是得证．(12分)

21.(12分)某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关,经统计得到如下数据：

根据以上数据,绘制如图所示的散点图．

观察散点图,两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．

（1）根据散点图判断,与（,均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型；（给出判断即可,不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据,建立关于的回归方程；

（3）已知每件产品的原料成本为10元,若该产品的总成本不得高于123470元,请估计最多能生产多少千件产品．

参考数据：

其中,．

参考公式：对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,．

解：（1）根据散点图判断,适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型．(2分)

（2）由,两边同时取常用对数得．

设,∴,

∵,

∴．

把代入,得,

∴,∴,

∴,

即y关于x的回归方程为． (8分)

（3）设生产了x千件该产品.则生产总成本为．

又在其定义域内单调递增,且,

故最多能生产12千件产品．(12分)

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立坐标系,曲线极坐标方程为,且曲线与直线有且只有一个交点．

（1）求；

（2）过点且倾斜角为的直线交直线于点,交曲线异于原点的一点,,求的取值范围．

解：（1）消去参数可得直线的普通方程为,

由可得,故,

故曲线的普通方程为.

因为曲线与直线有且只有一个交点,所以直线与曲线相切,

所以圆心到直线的距离为到直线,

所以,解得或（舍去）. (5分)

（2）直线的极坐标方程为,

曲线极坐标方程为,

则设点的极坐标为,点的极坐标为,,,

,,

,

,,

,

. (10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

设函数,.

（1）若,解不等式；

（2）如果任意,都存在,使得,求实数的取值范围.

解：（1）当时,

∵,当时,,∴

当时,,∴

所以的解集为 (5分)

（2）由任意,都存在,使得得：

又因为

所以

所以或．(10分)