高中数学高考2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（一）（全国2卷）（解析版）

2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（一）（全国2卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设集合, , 则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】,

.所以.故选B

2．已知复数z的共轭复数,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为,所以,所以.

故选A

3．下列四个函数：①；②；③；④,其中定义域与值域相同的函数的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】①函数的定义域为,值域也为；即定义域和值域相同；②函数的定义域为,值域也为；即定义域和值域相同；③指数函数的定义域为,值域为,即定义域和值域不同；④幂函数的定义域为,值域也为,即定义域和值域相同；故选C.

4．已知点到抛物线（）的准线的距离为5,则抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由抛物线（）得（）,故抛物线的焦点在轴正半轴,又到抛物线准线的距离为5,即,解得,故抛物线方程为,焦点为,故选C.

5．已知是公差为d的等差数列,为其前n项和．若,则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】因为是公差为d的等差数列,且,所以,解得,

故选C

6．执行下图所示的程序框图,则输出的的值为（     ）

A．5 B．6 C．4 D．3

【答案】A

【解析】依次执行如下：,；,；

,；,,满足条件,退出循环体,输出,

故选A.

7.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：,其中为最大数据传输速率,单位为；为信道带宽,单位为Hz；为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当,时,最大数据传输速率记为；当,时,最大数据传输速率记为,则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由条件可知,

,.

故选D

8．已知变量关于变量的回归方程为,其一组数据如下表所示：

若,则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】由,得,令,则,由题意,,,因为满足,所以,解得,

所以,所以,令,解得.故选B.

9．设函数,给出下列结论：

①的最小正周期为

②的图像关于直线对称

③在单调递减

④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度,可得到函数的图象.

其中所有正确结论的编号是（    ）.

A．①④ B．②④ C．①②④ D．①②③

【答案】C

【解析】函数,即,所以的最小正周期为,故①正确；令,解得：,当时,则直线为的对称轴,故②正确；

令,解得：,

所以的单调递减区间为：,当时,的一个单调递减区间为,则区间上单调递减,故在区间上先减后增,故③错误；

把函数的图象上所有点向右平移个单位长度,得到,即平移后得到函数的图象,故④正确.所以所有正确结论的编号是：①②④.故选C.

10．某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成,则该几何体与其外接球的表面积分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三视图的几何体如图所示,

可知几何体的表面积为,设该几何体外接球的半径为,则,

所以该几何体外接球的表面积为.故选C.

11．已知函数,若且,则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当时,,求导,令,得

当时,,单调递减；当时,,单调递增；

如下图所示：

设点的横坐标为,过点作轴的垂线交函数于另一点,设点的横坐标为,并过点作直线的平行线,设点到直线的距离为,,由图形可知,当直线与曲线相切时,取最大值,令,得,切点坐标为,此时,,,故选B.

12．已知数列是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前项和为.若且,则下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A选项,由于,故选项A错误；对于B选项,由于,则

,故选项B错误；对于C选项,由于,故选项C错误；

对于D选项,设,则,从而,由于,故.

,

故.

,

由此,故选项D正确.故选D.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13. 在直角边长为3的等腰直角中,E、F为斜边上的两个不同的三等分点,则______.

【答案】4

【解析】设是接近的一个三等分点,

则,

,

又,

.

14．设,其中实数,满足,若的最大值为6,则的最小值为_______.

【答案】

【解析】该不等式组对应的平面区域如下图所示直线中表示该直线与轴的截距

当直线过点时,取最大值,即,解得,当直线过点时,,取最小值,即

15．、、是三个平面,、是两条直线,有下列三个条件：①,；②,；③,.如果命题“,,且________,则”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号).

【答案】①    ③   

【解析】若①,由,可得与没有公共点,又由,,,

可得都在平面内,且没有公共点,所以；若②,例如：在正方体中,,,,,而异面直线,所以不成立；

若③,由,,可知无公共点,所以.故答案为：①；③

16．如图,已知双曲线的左､右焦点分别为,,M是C上位于第一象限内的一点,且直线与y轴的正半轴交于A点,的内切圆在边上的切点为N,若,则双曲线C的离心率为________.

【答案】

【解析】如图所示：设的内切圆在上的切点分别为,

由双曲线的定义知：,即,又,

即,即,又,,即,

则,,,即,.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且．

（1）求角C的大小

（2）若,且的面积为,求的周长．

解：（1）,

,

,

,

,

.(6分)

（2）由题意可得,,

,

联立可得,,

由余弦定理可得,,

此时周长为.(12分)

18.(12分) 为了推进分级诊疗,实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动”的诊疗模式,某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万,从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况,现调查了1000名年满18周岁的居民,各年龄段被访者签约率如图2所示.

（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；

（2）据统计,该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上,应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.

解：（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：万；

在60-70岁的签约人数为：万；

在70-80岁的签约人数为：万；

在80岁以上的签约人数为：万；

故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万；(6分)

（2）年龄在10-20岁的人数为：万；

年龄在20-30岁的人数为：万.

所以,年龄在18-30岁的人数大于180万,小于230万,签约率为30.3%；

年龄在30-50岁的人数为万,签约率为37.1%.

年龄在50岁以上的人数为：万,签约率超过55%,上升空间不大.

故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万,基数较其他年龄段是最大的,且签约率非常低,所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上,应着重提高30-50这个年龄段的签约率. (12分)

19.(12分) 如图,在三棱锥中,已知是正三角形,为的重心,,分别为,的中点,在上,且.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面,,,求三棱锥的体积.

（1）证明：连接,

∵为的中点,为的重心,

∴点一定在上,且,

∵为的中点,∴,

又,∴,即,

∴,

则,∵平面,平面,

∴平面；(6分)

（2）解：延长,交于,

由题设知,为的中点,

∵是正三角形,∴,

∵平面平面,

平面平面,平面,

∴平面,即为三棱锥的高,

∵,∴,

又,,

∴,

故.(12分)

20.(12分) 已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点,且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点,求的取值范围.

解：（1）已知到焦点的距离为10,则点到准线的距离为10.

∵抛物线的准线为,∴,

解得,∴抛物线的方程为.(4分)

（2）由已知可判断直线的斜率存在,设斜率为,因为,则：.

设,,由消去得,,

∴,.(7分)

由于抛物线也是函数的图象,且,则：.

令,解得,∴,从而.

同理可得,,(10分)

∴ .

∵,∴的取值范围为.(12分)

21.(12分) 已知函数在处取得极值,.

（1）求的值与的单调区间；

（2）设,已知函数,若对于任意、,都有,求实数的取值范围.

解：（1）由题意得的定义域为,,

∵函数在处取得极值,

∴,解得,

则由得或,

、、的关系如下表：

∴函数的单调递增区间为,,单调递减区间为；(6分)

（2）由（1）得函数,

当时,对任意、,都有,

即当,时,,

∵在上单调递减,,∴在上单调递减,

则,,

则,

即,解得或,结合,得,

故实数的取值范围为.(12分)

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,,曲线的参数方程为(的参数).

（1）将曲线的极坐标方程､的参数方程化为普通方程.

（2）设,的交点为,求圆心在极轴上,且经过极点和的圆的极坐标方程.

解：（1）,

,

,

即：

由可得 ,

消去参数,可得

即普通方程为.(5分)

（2）

由,

即,

设所求圆圆心的直角坐标为 ,其中a >0.则,解得 ,

所求圆的半径,所求圆的直角坐标方程为: .

即,

所求圆的极坐标方程为 . (10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

设函数,.

（1）若,求不等式的解集；

（2）若函数恰有三个零点,求实数的取值范围.

解：（1）若,不等式即,

则或

或,

解得或或,

故原不等式的解集为；(10分)

（2）由,得,

设,,

在平面直角坐标系中做出的大致图像,如图所示,

结合图像分析,可知当,即时,

、的图像有三个不同的交点,

故函数恰有三个零点时,实数的取值范围是. (10分)