高中数学高考2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（三）（全国2卷）（解析版）

2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（三）（全国2卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数是纯虚数,则的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．-1

【答案】A

【解析】是纯虚数,,解得：,所以,.故选A.

2.已知集合,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】,

,,故选C．

3．在等差数列中,若,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在等数列中,,所以,解得,所以,

故选C.

4.中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术,以文字为载体,不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术,就离不开汉字,汉字是书法艺术的精髓,汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性,使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体,如图：以“国”字为例,现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习,则他恰好不选草书体的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】从五种书体中任意选两种进行研习,共有10种,则不选草书体共有6种,则不选草书体的概率为.故选A.

5．已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是（    ）

A．若,,,则. B．若,,则.

C．若,,,则. D．若,,,,则.

【答案】C

【解析】选项A. 由,,,不能得出,故不能得到,所以A错误.

选项B. ,,则可能是,不一定是,所以B错误.选项C. 由,,则,又,则,所以C正确.选项D. 若,,,,若时,则可能相交,所以D不正确.故选C

6．年的“金九银十”变成“铜九铁十”,全国各地房价“跳水”严重,但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间,当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码分别对应年月年月）

根据散点图选择和两个模型进行拟合,经过数据处理得到的两个回归方程分别为和,并得到以下一些统计量的值：

注：是样本数据中的平均数,是样本数据中的平均数,则下列说法不一定成立的是（    ）

A．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系

B．根据可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米

C．曲线与的图形经过点

D．回归曲线的拟合效果好于的拟合效果

【答案】C

【解析】对于A,散点从左下到右上分布,所以当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系,故A正确；对于B,令,由,所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米,故B正确；对于C,非线性回归曲线不一定经过,故C错误；

对于D,越大,拟合效果越好,故D正确.故选C.

7．已知为抛物线的焦点,点在抛物线上,,若线段的中点到准线的距离为4,则为（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】如图示：连结MF,设MF的中点为P,记准线为l,分别过M、P、F作MN⊥l于N,PQ⊥l于Q,FE⊥l于E,由抛物线的定义知：|MN|=|MF|=6,|EF|=p,在梯形MNEF中,PQ为中位线,所以2|PQ|=|MN|+|EF|

即2×4=6+p,解得：p=2.故选C

8．某公园门票单价30元,相关优惠政策如下：

①10人（含）以上团体购票9折优惠；

②50人（含）以上团体购票8折优惠；

③100人（含）以上团体购票7折优惠；

④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）．

现购买47张门票,合理地设计购票方案,则门票费用最少为（    ）

A．1090元 B．1171元 C．1200元 D．1210元

【答案】B

【解析】由于购票人数少于50,故政策②,③不可能享受；在合理范围内政策④比政策①要优惠；

而原价为,大于1000,不足1500,所以应将47张票分为两部分购买,其中13张门票享受政策①,34张门票享受政策④,即,故选B.

9．已知向量满足,且．则向量与向量的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】.,

, 即向量与向量的夹角是.故选C

10．已知定义在上的函数满足,其中是函数的导函数,若,则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】构造函数,其中,则,

所以,函数为上的减函数,由可得,即,所以,,解得.

因此,实数的取值范围是.故选D.

11.已知函数的图象既关于点中心对称,又关于直线对称,且函数在上的零点不超过2个,现有如下三个数据：①；②；③,则其中符合条件的数据个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由题意得,,,两式相加得,

又因为,代入中,得.当时,记,令,得,则,至多有2个实数根,,解得,结合,观察可知,符合条件.

故选B.

12．现有一个三棱锥形状的工艺品,点在底面的投影为,满足,,,若要将此工艺品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中,则该球形容器的表面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示：

作与M,连接PM,因为平面ABC,所以,又,

所以平面PQM,所以,所以,

,因为,由对称性得,

又因为,,所以,

解得,所以,设外接球的半径为r,

在中,,即,解得,所以外接球的表面积为,即该球形容器的表面积的最小值为.故选D

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13.已知函数若,则实数的值为___________.

【答案】13或

【解析】当时,因为,所以,显然符合；当时,因为,所以,而,所以,故答案为13或.

14.已知实数,满足约束条件,则的最小值是__________.

【答案】

【解析】

画出表示的可行域,如图,将变形为,平移直线,

由图可知当直经过点的最小, 由可得,可得,

.

15．设等比数列的前项和为.若、、成等差数列,则数列的公比为__________.

【答案】3或

【解析】设等比数列的公比为,因为等比数列的前项和为,、、成等差数列,

所以,则,因此,所以,解得或.

16．已知双曲线的左、焦点为、,点为双曲线的渐近线上一点,,若直线与圆相切,则双曲线的离心率为___________.

【答案】

【解析】如下图所示,设与圆相切于点,则,

,则,,则,为的中点,则为的中点,,由直角三角形的性质可得,因为为的中点,则,

由于双曲线的两渐近线关于轴对称,可得,所以,,则,所以,,则,

因此,双曲线的离心率为.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 在中,角,,的对边分别为,,.若,且.

（1）求；

（2）若,求的面积.

解：（1）,利用余弦定理得：,

整理得：,又,,即(6分)

（2）由（1）知,又,

,

的面积.(12分)

18.(12分) 如图,BE,CD为圆柱的母线,是底面圆的内接正三角形,M为BC的中点.

（1）证明：平面AEM⊥平面BCDE；

（2）设BC=BE,圆柱的体积为,求四棱锥A-BCDE的体积.

解:（1）根据题意可得,.

又为圆柱的母线,平面.

,,

平面.

又平面,

平面平面．(6分)

（2）由题可设,

由是底面圆的内接正三角形易得

,底面圆的半径．

．

由（1）可知,平面．

．(12分)

19.(12分) 某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验,现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分）,其中评分不低于80分视为强力有效,否则视为效力一般．得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值,并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）将选取的100名试验者的性别与疫苗是否强力有效进行统计,请将下列2×2列联表补充完整,并能否判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为疫苗的强效力与性别有关?

参考数据：

,其中．

解：（1）由,解得：,(2分)

平均得分为

.(5分)

（2）由己知可得强力有效人数有人,(7分)

则列联表为：

(9分)

.

所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为疫苗强效力与性别有关. (12分)

20.(12分) 已知A,B是椭圆的左、右顶点,C为E的上顶点,．

（1）求椭圆的方程；

（2）若M,N,P是椭圆E上不同的三点,且坐标原点O为的重心,试探究的面积是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,说明理由．

解：（1）,

则,

因为,所以,得．

所以椭圆的方程为．(4分)

（2）当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,设,则,因为为的重心,所以．

由M,N,P在椭圆上,所以且,解得．

易知,

当直线的斜率存在时,设直线的方程为,

设,,

由得,

则,,

．

因为为的重心,所心,

因为P在椭圆上,故,化简得．

,

点P到直线的距离d等于O到直线距离的3倍,所以,

所以,

综上,的面积为定值．(12分)

21.(12分) 已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若函数有两个极值点,求实数的取值范围．

解:（1）,

若,由,得；由,得的递减区间为,递增区间为．

若,由,得；由,得的递减区间为,递增区间为． (5分)

（2）,．

有两个极值点,等价于有两个不同的零点,等价于有一个不为1的零点,当时,,即．

∴①当时,,此时无零点；

②当且时,为减函数．

又,∴总存在唯一实数,使．

综上,有两个极值点实数的取值范围．(12分)

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立坐标系,曲线极坐标方程为,且曲线与直线有且只有一个交点．

（1）求；

（2）过点且倾斜角为的直线交直线于点,交曲线异于原点的一点,,求的取值范围．

解：（1）消去参数可得直线的普通方程为,

由可得,故,

故曲线的普通方程为.

因为曲线与直线有且只有一个交点,所以直线与曲线相切,

所以圆心到直线的距离为到直线,

所以,解得或（舍去）. (5分)

（2）直线的极坐标方程为,

曲线极坐标方程为,

则设点的极坐标为,点的极坐标为,,,

,,

,

,,

,

. (10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

设函数,.

（1）若,解不等式；

（2）如果任意,都存在,使得,求实数的取值范围.

解：（1）当时,

∵,当时,,∴

当时,,∴

所以的解集为 (5分)

（2）由任意,都存在,使得得：

又因为

所以

所以或．(10分)