高中数学高考2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（三）（全国2卷）（解析版）(1)

2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（三）（全国2卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．（    ）

A．1 B．-1 C．i D．-i

【答案】D

【解析】.故选D.

2．若双曲线的一个焦点为,则（    ）.

A．       B．       C．       D．

【答案】B

【解析】由双曲线性质：,,∴,．故选B．

3．已知集合,,,则的子集的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】因为,,所以,

它的子集有,,,,共有4个,故选D.

4．某工厂为了对40个零件进行抽样调查,将其编号为00,01,…38,39．现要从中选出5个,利用下面的随机数表,从第一行第3列开始,由左至右依次读取,选出来的第5个零件编号是（    ）

0647  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410

9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179

A．36 B．16 C．11 D．14

【答案】C

【解析】利用随机数表,从第一行第3列开始,由左至由一次读取,即47开始读取,在编号范围内的提取出来,可得,则选出来的第5个零件编号是.故选C.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数的定义域为,,则函数为偶函数,图象关于轴对称,排除,当时,,排除,当时,,排除,故选D.

6．已知,,,,则向量在上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知：,而,

又,而向量在上的投影为,故选C.

7．已知中,,,,则的面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由余弦定理得：,解得：,

.故选.

8．执行如图所示的程序框图,若输入的的值为-3,的值为0,则输出的和值分别是（    ）

A．0和2 B．0和1 C．1和2 D．1和1

【答案】A

【解析】第一次运行程序,,第二次运行程序,,满足条件,

执行运算,输出0,2,结束程序.故选A.

9．已知函数在同一周期内有最高点和最低点,则此函数在的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意知,,解得A＝2,b＝﹣1；又,且,

∴解得ω＝2,φ；∴函数f（x）＝2sin（2x）﹣1,又,所以,所以,所以,故选A.

10.已知函数,若,,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设,根据图像有两个交点,,

,即,则,在上单调递减,当时,；当时,；所以.故选B.

11.在正方体中,记平面为,若平面,平面,则,所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图,连接,可得在正方体中,,即四边形是平行四边形,

,平面,平面,平面,又平面,,,,同理可得平面,平面,,,,即为,所成角,为等边三角形,,.故选D.

12．已知椭圆的两个焦点,与短轴的两个端点,都在圆上,是上除长轴端点外的任意一点,的平分线交的长轴于点,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由椭圆的两个焦点,与短轴的两个端点,都在圆上,得,则,所以椭圆的方程为,故,,由的平分线交长轴于点,显然,,又,

所以,,即,由,,得,设,则,而,即,也就是,所以,所以,,所以.

故选B.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13.曲线在点处的切线方程为_____.

【答案】

【解析】由得,则曲线在点处的切线斜率为,因此所求切线方程为,即.故答案为.

14. 已知,满足约束条件,则的最小值为______．

【答案】2

【解析】画出可行域,由图可知平移直线到处时,取得最小值为.

15.已知,则______.

【答案】

【解析】由,可得,即,解得,

又由.

16.已知A,B,C,D四点均在以点为球心的球面上,且,,.若球在球内且与平面相切,则球直径的最大值为______.

【答案】8

【解析】由题意,得,所以,所以为等腰直角三角形.如图,设的中点为O,则O为的外心,且外接圆半径.连接,,因为,所以,,又,所以,所以,所以平面,

所以球心在直线上.设球的半径为R,则有,即,解得.

当球直径最大时,球与平面相切,且与球内切,此时A,O,,四点共线,所以球直径的最大值为.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 已知等差数列的前项和为,且,.

（1）求数列的通项公式以及前项和；

（2）求数列的前项和.

解：（1）依题意,,解得,故①,

而,故,故②,.(2分)

联立①②两式,解得,,

故.(5分)

.(6分)

（2）依题意,,(8分)

故..(12分)

18．(12分) 在四棱锥中,底面是正方形,、分别为、的中点,底面．

（1）求证：平面；

（2）若与底面所成的角为45°,,求点到平面的距离．

解：（1）为中点,连接,,

∵、分别为、的中点,

∴,,即四边形是平行四边形,(3分)

∴,面,即面；(6分)

（2）由底面,有是与底面所成的角,即为等腰直角三角形且,而E是SD中点,即E为斜边中点,

∴,(9分)

∵,,,

∴面,面,

∴,又,

∴面,即是与面的距离,. (12分)

19．(12分) 已知为抛物线的焦点,以为圆心作半径为的圆,圆与轴的负半轴交于点,与抛物线分别交于点、.

（1）若为直角三角形,求半径的值；

（2）判断直线与抛物线的位置关系,并给出证明.

解：（1）如图,结合题意绘出图像：

由抛物线与圆的对称性可知,点、关于轴对称,

则为直角,为等腰直角三角形,轴,线段为直径,

故点的横坐标为,代入中,解得,

故,.(5分)

（2）设,则根据抛物线的定义可得,

故点坐标为,,(7分)

因为抛物线的上半部分为函数,,

所以在点处的切线斜率为,

故直线为抛物线在点处的切线,直线与抛物线相切. (12分)

20．(12分) 首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行,吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展,成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会,提升行业竞争力,加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：

并根据数据绘制散点图如图所示：

根据散点图的特点,甲认为样本点分布在指数曲线的周围,据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：

其中,.

（1）（i）请根据表中数据,建立关于的回归方程（保留一位小数）；

（ii）根据所建立的回归方程,若该企业想在下一年收益达到2亿,则科技投入的费用至少要多少？（其中）

（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围,并计算得回归方程为,以及该回归模型的相关指数,试比较甲乙两人所建立的模型,谁的拟合效果更好.

附：对于一组数据,,…,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,,相关指数：.

解：（1）（i）,令；

令,则.

根据最小二乘估计可知：

从而,故回归方程为,即.(5分)

（ii）设,解得,即

故科技投入的费用至少要13.2百万元,下一年的收益才能达到2亿. (7分)

（2）甲建立的回归模型的残差：

则,从而,

即甲建立的回归模型拟合效果更好. (12分)

21．(12分) 已知函数,且在处取得极值．

（1）求b的值；

（2）若当时,恒成立,求c的取值范围；

（3）对任意的,是否恒成立？如果成立,给出证明；如果不成立,请说明理由．

解：（1）∵f（x）＝x3x2+bx+c,∴f′（x）＝3x2﹣x+b．

∵f（x）在x＝1处取得极值,∴f′（1）＝3﹣1+b＝0．

∴b＝﹣2．经检验,符合题意．(3分)

（2）f（x）＝x3x2﹣2x+c．

∵f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1）,

当x∈（﹣1,）时,f′（x）＞0

当x∈（,1）时,f′（x）＜0

当x∈（1,2）时,f′（x）＞0

∴当x时,f（x）有极大值c．

又f（2）＝2+cc,f（﹣1）cc

∴x∈[﹣1,2]时,f（x）最大值为f（2）＝2+c．

∴c2＞2+c．∴c＜﹣1或c＞2．(8分)

（3）对任意的x1,x2∈[﹣1,2],|f（x1）﹣f（x2）|恒成立．

由（2）可知,当x＝1时,f（x）有极小值c．

又f（﹣1）cc

∴x∈[﹣1,2]时,f（x）最小值为c．

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min,故结论成立．(12分)  

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数）.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的直角坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；

（2）射线,和曲线分别交于点,,与直线分别交于,两点,求四边形的面积.

解：（1）曲线的参数方程为,为参数）,转换为直角坐标方程为.

曲线的直角坐标方程为,根据,整理得,即.(5分)

（2）射线,和曲线分别交于点,,

与直线分别交于,两点,如图所示：

所以直线的直角坐标方程为,直线的直线方程为,

所以,解得,

设直线与轴交于点,

将代入,得,即.

所以.

同理：,解得：,

所以,

所以．(10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的解集包含,求实数的取值范围.

解：（1）,由,解得,

故不等式的解集是；(5分)

（2）的解集包含,即当时不等式恒成立,

当时,,,即,

因为,所以,

令,,易知在上单调递增,

所以的最小值为,因此,即的取值范围为. (10分)