高中数学高考2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（一）（全国3卷）（解析版）

2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（一）（全国3卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设集合,,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为,,所以.故选C

2．设,若复数的实部与虚部相等（是虚数单位）,则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】,若实部与虚部相等,则,解得,故选A

3．已知为奇函数,其局部图象如图所示,那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图可知,因为函数是奇函数,所以,即.

故选C

4．已知角的顶点在原点,始边在轴的非负半轴上,终边上一点的坐标为,且为锐角,则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为,所以点在单位圆上,所以,又为锐角,所以为锐角,结合二倍角公式可得,故选B

5．对两个变量、进行线性相关检验,得线性相关系数,对两个变量、进行线性相关检验,得线性相关系数,则下列判断正确的是（    ）

A．变量与正相关,变量与负相关,变量与的线性相关性较强

B．变量与负相关,变量与正相关,变量与的线性相关性较强

C．变量与正相关,变量与负相关,变量与的线性相关性较强

D．变量与负相关,变量与正相关,变量与的线性相关性较强

【答案】C

【解析】由线性相关系数知与正相关,由线性相关系数知与负相关,又,所以,变量与的线性相关性比与的线性相关性强,故选C.

6．已知双曲线的一条渐近线将圆分成面积相等的两部分,则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】圆的圆心坐标为,双曲线的渐近线方程为,依据题意可知：,所以,,故选B.

7．执行下图所示的程序框图,则输出的的值为（     ）

A．5 B．6 C．4 D．3

【答案】A

【解析】依次执行如下：,；,；

,；,,满足条件,退出循环体,输出,

故选A.

8．已知椭圆()的两焦点分别为、.若椭圆上有一点,使,则的取值范围是（    ）.

A．    B．   C．   D．

【答案】B

【解析】设,,则,,∴,

又,即,∴,从而．故选B.

9．设,是两个不共线向量,则“与的夹角为锐角”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】因为,故即,因为,是两个不共线向量,故与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“”的必要条件.若与的夹角为,且,故,所以,故即不垂直.“与的夹角为锐角”是“”的必要不充分条件.故选B.

10．已知函数.若存在,使得,则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由,可得,令,其中,

由于存在,使得,则实数的取值范围即为函数在上的值域.

由于函数、在区间上为增函数,所以函数在上为增函数.

当时,,又,所以,函数在上的值域为.因此,实数的取值范围是.故选B.

11．已知四面体中,二面角的大小为,且,,,则四面体体积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在中,由余弦定理可得

因为,所以,所以,当且仅当时等号成立,,因为二面角的大小为,

所以点到平面的最大距离为,所以,

所以四面体体积的最大值是,故选D

12．已知函数,、、,且都有,满足的实数有且只有个,给出下述四个结论：

①满足题目条件的实数有且只有个；②满足题目条件的实数有且只有个；

③在上单调递增；④的取值范围是．

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

【答案】D

【解析】,当时,.

设进行替换,作出函数的图象如下图所示：

由于函数在上满足的实数有且只有个,

即函数在上有且只有个零点,

由图象可知,解得,结论④正确；

由图象知,在上只有一个最小值点,有一个或两个最大值点,结论①正确,结论②错误；当时,,

由知,所以在上递增,

则函数在上单调递增,结论③正确．综上,正确的有①③④.故选D．

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13. 已知,满足约束条件,则的最小值为______．

【答案】2

【解析】画出可行域如下图所示,由图可知平移基准直线到处时,取得最小值为.

14．已知曲线在点处的切线与曲线也相切,则实数______.

【答案】或6

【解析】,则,,又因为,所以切线方程为,因为直线与抛物线相切,所以方程有两个相等的实数根,,解得或6.

15.在中,角、、所对的边分别为、、,若满足,的有且仅有一个,则边的取值范围是______.

【答案】

【解析】由正弦定理,,所以,因为有且仅有一个,

所以或,即或.

16．在三棱锥中,,,,．平面平面,若球是三棱锥的外接球,则球的半径为_________．

【答案】4

【解析】因为,,,所以,又因为,

所以,所以,因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,取中点,连接,

所以,,,所以平面,所以,

此时,, ,所以,

即球的球心球心即为（与重合）,半径为.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分)为了推进分级诊疗,实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动”的诊疗模式,某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万,从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况,现调查了1000名年满18周岁的居民,各年龄段被访者签约率如图2所示.

（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；

（2）据统计,该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上,应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.

解：（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：万；

在60-70岁的签约人数为：万；

在70-80岁的签约人数为：万；

在80岁以上的签约人数为：万；

故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万；(12分)

（2）年龄在10-20岁的人数为：万；

年龄在20-30岁的人数为：万.

所以,年龄在18-30岁的人数大于180万,小于230万,签约率为30.3%；

年龄在30-50岁的人数为万,签约率为37.1%.

年龄在50岁以上的人数为：万,签约率超过55%,上升空间不大.

故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万,基数较其他年龄段是最大的,且签约率非常低,所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上,应着重提高30-50这个年龄段的签约率. (12分)

18.(12分) 已知数列满足,,.

（1）设,求证：数列是等比数列；

（2）设数列的前项和为,求证：,.

解：（1）,,

则,

又,

所以数列是等比数列；(6分)

（2）由（1）得,,,

,,

,,

,

当时,,

又,

综上,,.(12分)

19.(12分) 如图在四棱锥中,底面为菱形,为正三角形,平面平面分别是的中点.

（1）证明：；

（2）若M是棱上一点,三棱锥与三棱锥的体积相等,求M点的位置.

解：（1）连接且E是的中点,.

又平面平面,平面平面平面.

平面平面.

又为菱形,且分别为棱的中点,.

,又平面；

平面.(6分)

（2）如图,连接,

设,则,

,

,则,又.

.

解得,即M点在上靠近P点的四等分点处. (12分)

20.(12分) 已知抛物线（）的焦点为,抛物线上的点到轴的距离为.

（1）求的值；

（2）已知点,若直线交抛物线于另一个点,且,求直线的方程.

解:（1）根据题意画出几何关系如下图所示,

抛物线上的点到轴的距离为,

由抛物线定义可得等于到的距离,

所以为抛物线准线方程,,

解得.(4分)

（2）由（1）知,可设方程为,,,

直线交抛物线于另一个点,即直线与抛物线有两个交点,因而存在；

所以,化简可得.

则,.(6分)

又,,

由于,

∴,

代入,化简可得

,

解得.(11分)

所以直线方程为(12分)

21.(12分) 已知函数.

（1）若是的极值点,求的极大值；

（2）若,求实数t的范围,使得恒成立.

解：（1）,,由题意可得,,解可得,

∴,(2分)

所以,当,时 ,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,

故当时,函数取得极大值；(5分)

（2）由得在时恒成立可得,在时恒成立,(7分)

令,

则,

令,所以,令,,(9分)

所以当,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,

故当时,函数取得最小值,又,所以,

所以在上单调递减,在上单调递增,

所以,可得,所以.(12分)

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,,曲线的参数方程为(的参数).

（1）将曲线的极坐标方程､的参数方程化为普通方程.

（2）设,的交点为,求圆心在极轴上,且经过极点和的圆的极坐标方程.

解：（1）,

,

,

即：

由可得 ,

消去参数,可得

即普通方程为.(5分)

（2）

由,

即,

设所求圆圆心的直角坐标为 ,其中a >0.则,解得 ,

所求圆的半径,所求圆的直角坐标方程为: .

即,

所求圆的极坐标方程为 . (10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

设函数,.

（1）若,求不等式的解集；

（2）若函数恰有三个零点,求实数的取值范围.

解：（1）若,不等式即,

则或

或,

解得或或,

故原不等式的解集为；(10分)

（2）由,得,

设,,

在平面直角坐标系中做出的大致图像,如图所示,

结合图像分析,可知当,即时,

、的图像有三个不同的交点,

故函数恰有三个零点时,实数的取值范围是. (10分)