高中数学高考2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（二）（全国2卷）（解析版）

2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（二）（全国2卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为集合,,因此,.

故选A.

2．已知为实数,复数（为虚数单位）,复数的共轭复数为,若为纯虚数,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵为纯虚数,∴,则,∴,则,故选B.

3．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(　　)

【答案】A

【解析】由于频率分布直方图的组距为5，排除C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，排除B，故选A.

4.已知向量,,若与反向,则（     ）

A．-30 B．-18 C．30 D．18

【答案】A

【解析】若与共线,则,解得,∴,∴.

故选A

5．已知是公差为d的等差数列,为其前n项和．若,则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】因为是公差为d的等差数列,且,所以,

解得,故选C.

6．已知是定义在上的奇函数,且,当时,,则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为是定义在上的奇函数,所以图象的对称中心为,且．

因为,所以图象的对称轴方程为,故的周期,

,,从而,故选A．

7．申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛,4名同学各自对结果的估计如下,A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”；已知其中有且只有2人的估计是正确的,则取得参加联赛的是（    ）

A．A同学 B．B同学

C．C同学 D．D同学

【答案】A

【解析】假设参赛的是A同学,则A、C同学估计正确,B、D同学估计错误,则只有2人的估计是正确,即参加联赛的是A同学；假设参赛的是B同学,则B、C、D同学估计正确,A同学估计错误；假设参赛的是C同学,则A、B、C、D同学估计错误；假设参赛的是D同学,则A、B、C同学估计错误,D同学估计正确；故选A.

8．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为,所以为奇函数,排除C,D；又因为时,排除B,故选A.

9．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点．若∠ABD＝90°,且△ABF的面积为9,则下列说法正确的是（    ）

①△ABF是等边三角形；②|BF|＝3；③点F到准线的距离为3；④抛物线C的方程为y2＝6x.

A．①②③ B．②④

C．①③④ D．②③④

【答案】C

【解析】根据题意,作出示意图,

因为以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,∠ABD＝90°,由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|,

所以△ABF是等边三角形,所以∠FBD＝30°.因为△ABF的面积为|BF|2＝9,所以|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p,则该抛物线的方程为y2＝6x.故选C.

10．不等式组的解集记为,则“,使成立”的必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】画出不等式组表示的区域,如图中阴影部分所示,

其中、、,,使成立,则,

平移直线,当直线经过点时,直线在轴上的截距最小,

此时取最小值,即,,因此,“,使成立”的必要不充分条件可以是“”.故选A.

11．如图,正方体中,分别为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】取的中点,连接,由分别为的中点,则且,在正方体中且,所以且,所以四边形为平行四边形,所以 ,则（或其补角）为异面直线与所成角.设正方体的棱长为2,则在中,, ,所以,故选A.

12．已知数列,满足,,,,则使成立的最小正整数为（    ）

A．5 B．7 C．9 D．11

【答案】C

【解析】令,则

所以数列是首项为1.8,公比为的等比数列,所以.

由,即,整理得.

由,,所以,即故选C.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13. 执行如图所示的程序框图,如果输入的是,则输出的是_____________.

【答案】720

【解析】模拟程序的运行可得,第一次循环,；第二次循环,；第三次循环,；第四次循环,；第五次循环,；第六次循环,.

14．若函数的图象在闭区间上是轴对称曲线,则的最小值为_________.

【答案】

【解析】当的定义域为时,图象的对称轴满足：,即对称轴方程是,因为函数在闭区间上是对称曲线,所以,所以,因为,所以取最小值5时,最小值为.

15．设α,β,γ三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β＝m,nγ,且______,则m//n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.

①α//γ,nβ；②m//γ,n//β；③n//β,mγ.

【答案】①或③

【解析】由面面平行的性质定理可知,①正确；当m//γ,n//β时,和可能平行或异面,②错误；

当n//β,mγ时,和在同一平面内,且没有公共点,所以,m//n,③正确；

16．已知双曲线的左右焦点分别为,,过的直线交双曲线于P,Q两点,且,,则双曲线的离心率为________.

【答案】

【解析】如图,

可设为双曲线右支上一点,由,在直角三角形中,,由双曲线的定义可得：,

由,即有,即为,

,解得,,由勾股定理可得：,可得.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且．

（1）求角C的大小

（2）若,且的面积为,求的周长．

解：（1）,

,

,(2分)

,

,

.(6分)

（2）由题意可得,,

,(8分)

联立可得,,

由余弦定理可得,,

此时周长为.(12分) (12分)

18.(12分)如图,三棱柱的各棱的长均为2,在底面上的射影为的重心．

（1）若为的中点,求证：平面；

（2）求四棱锥的体积．

解：（1）连接交于点,连接,则为的中点,

又∵为的中点,∴为的中位线,

∴,

又平面,平面,

∴平面；(6分)

（2）在中,为重心,则,

在中,,

则．(12分)

19.(12分) 近年来,共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放,为了确定车辆投放量,对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计,得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示,根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．

（1）观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合,请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可,不必说明理由）,并求出关于的回归方程；

（2）已知每辆单车的购入成本为元,年调度费以及维修等的使用成本为每人次元,按用户每使用一次,收费元计算,若投入辆单车,则几年后可实现盈利？

参考数据：

其中,．

参考公式：对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,．

解：（1）由散点图判断,适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．

由,两边同时取常用对数得．(1分)

设,则．

因为,,,,

所以．(5分)

把代入,得,

所以,所以,

则,

故关于的回归方程为．(8分)

（2）投入千辆单车,则年使用人次为千人次,

每年的收益为（千元）,

总投资千元,

假设需要年开始盈利,则,即,

故需要年才能开始盈利．(12分)

20.(12分)已知函数,

（1）若,的极大值是,求a的值；

（2）若,在上存在唯一零点,求b的值．

解：（1）若,则

的定义域为,．

若,,在定义域内单调递增,无极大值；

若,,单调递增；,单调递减．

时,取得极大值,

．(5分)

（2）若,则,

令,得,

当时,有唯一解,即,

当时,；当时,．

所以在单调递减,在单调递增．

又因为有且只有1个零点,所以．

即．

因为,,整理可得故．(12分)

21.(12分) 已知点F是椭圆的右焦点,P是椭圆E的上顶点,O为坐标原点且.

（1）求椭圆的离心率e；

（2）已知,,过点M作任意直线l与椭圆E交于A,B两点.设直线,的斜率分别为,,若,求椭圆E的方程.

解：（1）由题可得,,

,即,

,

；(5分)

（2）由（1）可得椭圆方程为,

当直线l的斜率存在时,设l：,设,

联立直线与椭圆,得,

则,即,

则,,(7分)

,

,(10分)

即对任意成立,即,

则椭圆方程为,

当直线斜率不存在时,则直线方程为,则,且

此时,满足题意,

综上,椭圆方程为.(12分)

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．

（1）当为参数,时,曲线与相交于,,且,求的值；

（2）当为参数,时,曲线与只有一个公共点,求的值．

解：（1）曲线的直角坐标方程为：,当为参数时,曲线为过点的直线,

又曲线是直径为4的圆,且,所以直线过圆的圆心,

则直线的斜率,所以．(5分)

（2）当为参数时,曲线的直角坐标方程为

又曲线与只有一个公共点,两圆外切或内切

则或

所以或．(10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知函数．

（1）当时,求不等式的解集；

（2）若不等式对于恒成立,求实数a的取值范围．

解：（1）由题意,当时,函数

当时,,解得,即；

当时,,解得,即；

当时,,解得,即不存在x,

综上所述,不等式的解集为. (5分)

（2）不等式,可得

因为,所以不等式可化为对恒成立,

即对恒成立,即,解得,

故实数a的取值范围是．(10分)