高中数学高考2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（三）（全国3卷）（解析版）(1)

2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（三）（全国3卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合,,则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】,,.故选C.

2．若复数,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】,.故选.

3.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)

A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8

【答案】B

【解析】因为该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在［160,175］cm的概率为0.5,和该同学的身高超过175cm的概率和为1,利用对立事件可知1-0.2-0.5=0.3,故选B

4．已知,且,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得,因为,所以,所以,所以,故选A.

5．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值,金字塔底部形为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约230米,因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现在的高度大约为（    ）

A．128.4米 B．132.4米 C．136.4米 D．110.4米

【答案】C

【解析】设胡夫金字塔原来的高度为h,所以,解得h=（米）,

所以胡夫金字塔现在的高度大约为146.4－10=136.4,故选C.

6．一条光线从点射出,经轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】D

【解析】根据光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点,

设反射光线所在直线的斜率为,则反射光线所在直线方程为,即,

又由反射光线与圆相切,可得,整理得,解得或.故选D.

7．函数在上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】依题意,,故函数为偶函数,图象关于轴对称,排除B；而,排除D,,排除C.故选A.

8.设a,b,c都是正数,且,那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题设可得,,又由于a,b,c都是正数,所以,,.因为,,.因为,所以,

故选D.

9．直线与双曲线的左支、右支分别交于、两点,为右顶点,为坐标原点,若,则该双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由双曲线的对称性可得

,故选D.

10.秦九韶,字道古,汉族,鲁郡（今河南范县）人,南宋著名数学家,精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳）,咸淳四年（1268）二月,在梅州辞世． 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”,即是已知三角形的三条边长,求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实．一为从隅,开平方得积．”若把以上这段文字写成公式,即为,若满足,,且a<b<c,则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ）

A． B．

C．1 D．

【答案】B

【解析】因为,所以.因为,所以,所以  .故选B.

11．在三棱锥中,,,,,若该三棱锥的体积为,则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图,设的中点为,的中点为,连接,,.因为,,,所以,所以,所以为棱锥外接球的球心,设半径为,又,且,所以,,

则.又由,且可知平面,

所以,解得.所以外接球的表面积.

故选B.

12．设函数,若对任意,都存在,使得,则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【解析】在上单调递减∴,而对,,使得,即上,是值域的一个子集即可,∴在中,当时,在上值域为,故符合条件,当时,令,,即取值至少包含,有1、当时,,符合条件

2、当时,恒成立,故符合条件∴综上,有,故选A.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13.某公司的营销部有3个科室,其中市场科有30人,销售科有50人,企划科有人.若从这3个科室中用分层抽样的方法选取18人,已知企划科选取了2人,则________.

【答案】10

【解析】由,得.

14. 已知向量,,若,______.

【答案】2

【解析】因为,,所以,因为,所以,所以,解得,故答案为2

15.已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称,则φ的值为________.

【答案】

【解析】由题意得,∴,∴

∵,∴取得.故答案为.

16．已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线相交于、两点,且,若是直线上的一个动点,,则的最小值为_______.

【答案】

【解析】因为直线过点,所以设直线的方程为,

联立方程组,得,则,根据抛物线的定义可知,解得,取（时所得结果一致）,则直线的方程为,设点关于直线的对称点为,根据垂直平分性,可列出方程组,,即,此时线段与直线的交点即为使得取得最小值的点,因为,所以最小距离为.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分)如图,在三棱柱中,平面,,分别为,的中点,.求证：

（1）平面；

（2）.

解：（1）因为,分别为,的中点,所以.

在三棱柱中,,所以.

又因为平面,平面,所以平面.(5分)

（2）在三棱柱中,因为,所以,

又因为为的中点,所以.

因为,平面,所以平面.

又因为平面,所以.

因为平面,平面,,所以平面.

因为平面,所以.(12分)

18.(12分) 数列{an}的前n项和记为Sn,a1＝1,an+1＝2Sn+1（n≥1）.

（1）求{an}的通项公式；

（2）等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3＝15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.

解：（1）因为,所以,两式相减得

即,又,所以

故是首项为,公比为的等比数列,所以.(6分)

（2）设的公差为,由得,可得

故设

又由（1）可知,所以

解得或（舍）

所以.(12分)

19．(12分) 湖南省从2021年开始将全面推行“”的新高考模式,新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目,制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2）,具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某校的一次年级统考中,政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：

现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据,作出茎叶图：

（1）根据茎叶图,分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；

（2）该校的甲同学选考政治学科,其原始分为82分,乙同学选考生物学科,其原始分为91分,根据赋分转换公式,分别求出这两位同学的转化分；

（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分,得到样本数据,请计算生物原始分与生物转换分之间的相关系数,并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.

附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.

附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：.（其中：,,分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；,分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整数）

附3：,,.

解：（1）由茎叶图知：政治成绩的中位数为72,生物成绩的众数为73. (2分)

（2）甲同学选考政治学科的等级为A,

由转换赋分公式：,得.

乙同学选考生物学科的等级A,

由换赋分公式：,得.

故甲、乙两位同学的转换分都为87分. (6分)

（3）因为,,

说法1：等级转换赋分法公平,因为相关系数十分接近于1,接近于函数关系,因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性.

说法2：等级转换赋分法不公平.在同一等级内,原始分与转化分是确定的函数关系,理论上原始分与转化分的相关系数为1,而在实际赋分过程中由于数据的四舍五入,使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差,极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象. (12分)

20．(12分) 19．(12分) 已知椭圆M：的一个焦点为,左右顶点分别为A,B．经过点的直线l与椭圆M交于C,D两点．

（1）求椭圆方程；

（2）当直线l的倾斜角为时,求线段CD的长；

（3）记△ABD与△ABC的面积分别为和,求的最大值．

解：（1）因为椭圆的焦点为,所以且,所以,

所以椭圆方程为.(3分)

（2）因为直线l的倾斜角为,所以斜率为1,直线的方程为,

联立,消去并整理得,

设,,

则,,

所以.(7分)

（3）由（1）知,

设直线：,,,

联立,消去并整理得,(9分)

则,,所以异号,

所以

,当且仅当时,等号成立.

所以的最大值为.(12分)

21．(12分) 已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若关于的不等式在上恒成立,其中,求实数的取值范围．

解：（1）依题意,,可知当时,,当时,,故当时,函数有极小值,无极大值. (4分)

（2）设,

因为,则,

因为,有,此时在上单调递增,则；(7分)

（i）若即时,在上单调递增,则,

故恒成立；(9分)

（ⅱ）若,即时,存在,,此时函数在上单调递减,在上单调递增,且,故在不恒成立,不合题意,舍去；

综上所述：实数的取值范围为．(12分)

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数）.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的直角坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；

（2）射线,和曲线分别交于点,,与直线分别交于,两点,求四边形的面积.

解：（1）曲线的参数方程为,为参数）,转换为直角坐标方程为.

曲线的直角坐标方程为,根据,整理得,即.(5分)

（2）射线,和曲线分别交于点,,

与直线分别交于,两点,如图所示：

所以直线的直角坐标方程为,直线的直线方程为,

所以,解得,

设直线与轴交于点,

将代入,得,即.

所以.

同理：,解得：,

所以,

所以．(10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的解集包含,求实数的取值范围.

解：（1）,由,解得,

故不等式的解集是；(5分)

（2）的解集包含,即当时不等式恒成立,

当时,,,即,

因为,所以,

令,,易知在上单调递增,

所以的最小值为,因此,即的取值范围为. (10分)