高中数学高考2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（三）（全国3卷）（解析版）

2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（三）（全国3卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合,,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意,集合,又由集合,所以.故选B.

2．复数满足：,其中为虚数单位,则的共轭复数在复平面对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由,得,所以,所以其在复平面对应的点为,故选A

3．若圆的方程为,则圆心坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】圆的方程,可化为,

即,所以圆心坐标为．故选D.

4.正八边形在生活中是很常见的对称图形,如图1中的正八边形的U盘,图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形中,向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为正八边形的内角和为,所以与的夹角为．

故选B

5．由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合图,下列说法不正确的是（    ）

A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B．设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓

C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

【答案】C

【解析】由图象可得,5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加,故A正确；设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓,故B正确；设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C错误；2025年开始信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势,故D正确.故选C

6.已知Sn是等差数列的前n项和,若,,则（    ）

A．24 B．26 C．28 D．30

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为,由,,得,解得所以.故选B.

7．张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19,6:29,6:39,…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…,则张老师乘坐上甲路公交车的概率是（    ）

A．10% B．50% C．60% D．90%

【答案】D

【解析】在6:00-6:10时间内,张老师到达车站是等可能的,故张老师在6:00-6:09间到达车站的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车.故选D.

8．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（    ）

A．若,则 B．若,则

C．若,则 D．若,则

【答案】C

【解析】对于A,若,则m,n可能平行,异面或相交,所以A错误；

对于B,若,则,可能平行,相交,所以B错误；

对于C,若,则由面面垂直的判定定理可得,所以C正确；

对于D,若,则m,n可能平行或异面.所以D错误,故选C

9．若将函数的图像向右平移个单位长度,平移后图像的一条对称轴为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将函数的图像向右平移个单位长度,所得的函数为

,由,得,

当时,,故选B

10．已知双曲线：（,）的离心率为3,双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为,则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵,∴,设双曲线的焦点,其中

双曲线：的渐近线方程为：,即 ,所以焦点到渐近线的距离为,所以,,故双曲线的方程为,故选C.

11．已知数列是首项为,公差为1的等差数列,数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知,对都有成立,即,即

又数列是首项为,公差为1的等差数列且数列是单调递增数列,当时,,所以,,即,解得.即实数的取值范围是

故选D

12．已知定义域为的函数的图象关于对称,当时,,若方程有四个不等实根,,,时,都有成立,则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出函数的图象,如图,作直线,它与图象的四个交点的横坐标依次为,,,,因为函数的图象关于对称,所以,

,即,且,显然,不等式变形为,,

,所以,

由勾形函数性质知在时是增函数,所以,

令,则,,,

当时,,单调递减,所以,所以,即的最小值是．

故选A．

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13. 在一组样本数据为,,…,不全相等的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的相关系数_______．

【答案】

【解析】因为,所以这两个变量成负相关,故这组样本数据的相关系数为负值,又所有样本点都在直线上,则,所以．

14．在平面直角坐标系中,直线过抛物线的焦点,且与该抛物线相交于两点.若直线的倾斜角为,则△的面积为____.

【答案】

【解析】过抛物线的焦点,直线的方程：,即,代入抛物线的方程并整理得：,解得,这就是A,B两点的纵坐标.的面积为.

15. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广,刍,草也,甍,屋盖也.”现有一个刍甍如图所示,底面是边长为4的正方形,上棱,四边形为两个全等的等腰梯形,到平面的距离为2,则该刍甍外接球的表面积为___________.

【答案】

【解析】如图所示,连接相交于点,取的中点,连接,可得平面,则该刍甍外接球的球心在直线上,

设该刍甍外接球的半径为,,则,解得,所以该刍甍外接球的表面积为.

16．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线,则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】由题意得的定义域为,且,设切点坐标为,则过原点的切线斜率,整理得存在两条过原点的切线,存在两个不同的解.设,则问题等价于于存在两个不同的交点,又当时,,单调递增,当 时,,单调递减,.又当时,；当时,,若于存在两个不同的交点,则.解得.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验,现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分）,其中评分不低于80分视为强力有效,否则视为效力一般．得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值,并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）将选取的100名试验者的性别与疫苗是否强力有效进行统计,请将下列2×2列联表补充完整,并能否判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为疫苗的强效力与性别有关?

参考数据：

,其中．

解：（1）由,解得：,(2分)

平均得分为

.(5分)

（2）由己知可得强力有效人数有人,

则列联表为：

所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为疫苗强效力与性别有关.. (12分)

18.(12分) 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.

（1）求角A的大小；

（2）若,且,求的面积.

解：（1）因为,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,

因为,所以,所以,

又因为,所以.(6分)

（2）因为,,,

所以,即,

因为,所以,

所以.(12分)

19.(12分) 如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,平面平面,为正三角形,为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若点在棱上,且平面,求三棱锥的体积.

解：（1）∵为正三角形,为的中点,∴.

∵,,为的中点.∴四边形为平行四边形,∴.

又,∴,即.

又,∴平面.(6分)

（2）连接,交于,连接.

∵平面,平面,平面平面,∴.

∵,,为的中点.∴四边形为平行四边形,∴为的中点,∴为的中点.

∵平面平面,平面平面,,∴平面.

∵,则.

∴.(12分)

20.(12分) 设函数,

（1）求函数的单调区间；

（2）设对于任意,且,都有恒成立,求实数的取值范围．

解：（1）易知的定义域为R,

,当时,在上单调递增,

当时,在上单调递减．

的单调递减区间是,单调递增区间是．(5分)

（2）当,时,恒成立,即恒成立,设,由题意可知,在上单调递减,

即在上恒成立；

,

设,则在上单调递减,

,即.(12分)

21.(12分) 已知椭圆：的离心率为,且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知,是椭圆上的两点,且直线,的斜率之积为,点为线段的中点,连接并延长交椭圆于点,求证：为定值.

解：（1）因为椭圆的离心率为,且过点,

所以,又,

解得,

所以椭圆的方程为；(4分)

（2）设,

因为点为线段的中点,

所以,

因为B,M,N三点共线,

所以,

所以,(6分)

又因为A,B点在椭圆上,

所以,

又因为直线,的斜率之积为,

所以,(8分)

因为点N在椭圆上,

所以,即,

所以,

解得,

所以,则,

所以为定值. (12分)

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.

（1）写出的极坐标方程；

（2）设点M的极坐标为,射线分别交,于A,B两点(异于极点),当时,求.

解：（1）∵(为参数)

∴曲线的普通方程为,即

∵,,∴

∴曲线的极坐标方程为 (5分)

（2）依题意设,,

∴由得.由得.

∵,∴

∴

∵是圆的直径,∴.

∴在直角中,

∴在直角中,

∴,即

∴. (10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知函数．

（1）求的解集；

（2）若有2个不同的实数根,求实数k的取值范围．

解：（1）,

或 或,

解得：或

 的解集是或 (5分)

（2）问题转化为与有两个交点,由图易知：,

,即．(10分)