高中数学高考2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（二）（全国3卷）（解析版）

2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（二）（全国3卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集,,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,故A不正确；,故B正确；,故C不正确；,故D不正确.故选B

2．已知角的终边过点,则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】已知角的终边过点,由三角函数的定义可得.故选B.

3.设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（    ）

A．若,则 B．若,则

C．若,则 D．若,则

【答案】C

【解析】对于A,若,则m,n可能平行,异面或相交,所以A错误；对于B,若,则,可能平行,相交,所以B错误；对于C,若,则由面面垂直的判定定理可得,所以C正确；对于D,若,则m,n可能平行或异面.所以D错误,故选C

4．甲乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是：

,分别表示甲乙两组数据的平均数,,分别表示甲乙两组数据的方差,则下列选项正确的是（    ）．

A．, B．,

C．, D．,

【答案】B

【解析】由表格数据知：,

,∴,,

,∴,故选B

5.从点向圆引切线,则切线长的最小值（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】D

【解析】设切线长为d,则,所以.故选D.

6．已知,且,则函数与的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】若,函数的图象下降,即为减函数,且过,的图象下降,即为减函数,且 ,以上图象C符合；若,函数的图象上升,即为增函数,且过, 的图象上升,即为增函数,以上图象都不符合.故选C

7．下列选项叙述错误的是（    ）

A．命题“若,则”的逆否命题是“若,则”

B．若命题,则命题是或

C．若为真命题,则p,q均为真命题

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】C

【解析】对于A：命题“若,则”的逆否命题是“若,则”,故A正确,所以A不符合题意；对于B：若命题,即且,则命题是或,故B正确,所以B不符合题意；对于C：若为真命题,则p,q有一个为真命题或两个都为真命题,故C错误,所以C符合题意；对于D：因为,所以或,所以”是“”的充分不必要条件,故D正确,所以D不符合题意.故选C

8.有4个大小、形状相同的小球,装在一个不透明的袋子中,小球上分别标有数字1,2,3,4．现每次有放回地从中随机取出一个小球,直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率,利用计算机软件产生随机数,每1组中有4个数字,分别表示每次摸球的结果,经随机模拟产生了以下21组随机数：

1314    1234    2333    1224    3322    1413    3124   4321     2341    2413    1224    2143    4312    2412    1413    4331    2234    4422    3241     4331    4234,

由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得,直到标有偶数的球都取到过就停止,且恰好在第4次停止摸球,

表示所得到的4个数中包含2和4,且前3次只能出现2或4中的一个（不限次数）,第4次又摸到另外一个偶数,有1234,1224,3124,1224,4312,2234共有6组,所以恰好在第4次停止摸球的概率.

故选C

9．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年,雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案,给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：（为自然对数的底数）．当,时,记,,,则,,的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知,,,当时,,即函数在区间上单调递增,,,,即,故选C

10.在中,内角的对边分别为,若的大小成等差数列,且,则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵等差数列,又,∴,所以,即,,

∴．故选C．

11．已知双曲线：（,）的上、下顶点分别为,,点在双曲线上（异于顶点）,直线,的斜率乘积为,则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设点,又,,则 ,

所以,又因为点在双曲线上得,

所以,故,所以 ,则双曲线的渐近线方程为.故选B

12．已知抛物线C方程为,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为抛物线C方程为,所以其焦点为,所以可设直线l的方程为：,,（斜率不存在的直线显然不符合题意）,联立抛物线方程可得,,所以,又,所以抛物线在A处的切线方程为：,即,令,可得点的坐标为,同理可得,点的坐标为,

所以

,当且仅当时取等号,

即的取值范围为．故选B．

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13. 设复数满足（为虚数单位）,则复数________．

【答案】

【解析】,因此,.

14.已知向量,满足,则_________.

【答案】-5

【解析】,,即,,即,

,,

.

15.已知函数(,,)的部分图象如图,则函数的单调递增区间为______.

【答案】

【解析】由图可知函数f(x)的最小正周期.如图所示,一个周期内的最低点和最高点分别记作,分别作在轴上的射影,记作,根据的对称性可得的横坐标分别为,∴是函数f(x)的一个单调增区间,∴函数的单调增区间是,

16．在棱长为的正方体中,是的中点,是上的动点,则三棱锥外接球表面积的最小值为_______.

【答案】

【解析】如下图所示,设圆柱的底面半径为,母线长为,圆柱的外接球半径为,

取圆柱的轴截面,则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于,则为圆柱的外接球球心,由勾股定理可得.

本题中,平面,设的外接圆为圆,可将三棱锥内接于圆柱,如下图所示：

设的外接圆直径为,,该三棱锥的外接球直径为,则.

如下图所示：

设,则,,,

,

当且仅当时,取得最大值,

由,可得,,

所以,的最大值为,由正弦定理得,即的最小值为,

因此,,

所以,三棱锥外接球的表面积为.

故三棱锥外接球的表面积的最小值为.

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 已知等差数列的前n项和为,且满足.

（1）求数列的通项公式;

（2）若数列满足,求数列的前项和.

解:设公差为,依题意得(2分)

解得

所以.(6分)

,(8分)

.(12分)

18.(12分)如图,在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）中,底面是边长为2的菱形,且,,点E,F分别为,的中点,点G在上．

（1）证明：平面ACE．

（2）求三棱锥B-ACE的体积．

（1）证明：如图所示：

连接BD交AC于点O,则O为BD的中点,

连接BF,OE,,则．

∵平面ACE,平面ACE,

∴平面ACE．

∵,,

∴四边形为平行四边形,

∴．

又∵平面ACE,平面ACE,

∴平面ACE．

∵,∴平面平面ACE,

∵平面,

∴平面ACE．(7分)

（2）解：在中,,,

则AC边上的高为1,,

∴．

又点E到平面ABC的距离为DE,且,

,

∵,

∴．(12分)

19.(12分) 为了推进分级诊疗,实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动”的诊疗模式,某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万,从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况,现调查了1000名年满18周岁的居民,各年龄段被访者签约率如图2所示.

（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；

（2）据统计,该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上,应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.

解：（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：万；

在60-70岁的签约人数为：万；

在70-80岁的签约人数为：万；

在80岁以上的签约人数为：万；

故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万；(6分)

（2）年龄在10-20岁的人数为：万；

年龄在20-30岁的人数为：万.

所以,年龄在18-30岁的人数大于180万,小于230万,签约率为30.3%；

年龄在30-50岁的人数为万,签约率为37.1%.

年龄在50岁以上的人数为：万,签约率超过55%,上升空间不大.

故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万,基数较其他年龄段是最大的,且签约率非常低,所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上,应着重提高30-50这个年龄段的签约率. (12分)

20.(12分) 已知圆,点P为圆C上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,设D为PQ的中点,且D的轨迹为曲线E(PQD三点可重合).

（1）求曲线E的方程；

（2）不过原点的直线l与曲线E交于M､N两点,已知OM,直线l,ON的斜率､k､成等比数列,记以OM,ON为直径的圆的面积分别为S1,S2,试探究是否为定值,若是,求出此值；若不是,说明理由.

解：（1）设,则有,又在已知不上,∴,

所以曲线的方程为；(4分)

（2）设直线方程为,,,

由得,,

∴,,(6分)

,,∵､k､成等比数列,∴,

∴,,

又,∴,,解得．(8分)

,,

,

,

,

∴为定值．(12分)

21.(12分) 已知函数.

（1）若在处取到极值,求的值及函数的单调区间；

（2）若,求的取值范围.

解：（1）,

在处取到极值,,解得,(2分)

此时,,单调递增,

可得时,,单调递减,时,,单调递增,

在处取到极小值,符合题意,

综上,,的单调递减区间为,单调递增区间为；(5分)

（2）,,(6分)

在单调递增,

当时,,时,,

存在,,

当时,,单调递减,当时,,单调递增,

,(9分)

令,则,

单调递减,且,,

,

令,,

,单调递减,

,当时,,

的取值范围为.(12分)

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,直线的参数方程为（为参数）．

（1）设与的夹角为,求；

（2）设与轴的交点为,与轴的交点为,以为圆心,为半径作圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程．

解：（1）设直线和的倾斜角分别为和,

由参数方程知,,所以,和均为钝角,且,

则；(5分)

（2）令,解得,所以,,所以,

令,解得,所以,,所以,,

所以圆的直角坐标方程为,即,

所以圆的极坐标方程为．(10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知函数．

（1）当时,求不等式的解集；

（2）若不等式对于恒成立,求实数a的取值范围．

解：（1）由题意,当时,函数

当时,,解得,即；

当时,,解得,即；

当时,,解得,即不存在x,

综上所述,不等式的解集为.(5分)

（2）不等式,可得

因为,所以不等式可化为对恒成立,

即对恒成立,即,解得,

故实数a的取值范围是．(10分)