高中数学高考24第一部分 板块二 专题六 函数与导数 规范答题示例6

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典例6　(12分)(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；　(2)证明：f(x)只有一个零点．审题路线图1求f′x→分别令f′x>0，f′x<0求解→得到fx的单调区间2fx＝0→变形得－3a＝0→构造函数gx＝－3a→分析gx的单调性，发现gx在－∞，＋∞上单调递增→结合零点存在性定理→证得gx只有一个零点→fx只有一个零点.规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)解　当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3. ………………………………………………………1分令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；……………………………………………………………2分当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0. ………………3分故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2).……………………4分(2)证明　因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，所以f(x)＝0等价于－3a＝0. ………………5分设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0在R上恒成立，………………………………………………6分当且仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. …………………8分故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点. …9分又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点. …………………11分综上，f(x)只有一个零点. ……………………………12分第一步求导数：一般先确定函数的定义域，再求f′(x).第二步定区间：根据f′(x)的符号确定函数的单调性.第三步寻条件：零点个数问题转化为函数的单调性与零点存在性综合问题.第四步写步骤：通过导数探求函数的单调性，结合零点存在性定理进一步严谨解题思路.第五步再反思：查看是否注意定义域、区间的写法，新函数的构造是否合理等. 评分细则　第(1)问：正确求出f′(x)得1分；解出f′(x)>0的区间得1分；解出f′(x)<0的区间得1分；正确写出f(x)的单调区间得1分．第(2)问：将函数等价转化为方程得1分；构造函数g(x)并正确求导得1分；正确判断g′(x)的符号，得出g(x)是增函数得2分；从而g(x)至多有一个零点即f(x)至多有一个零点得1分；判断R内两个函数值的符号，根据零点存在性定理得出一个零点得2分(注只判断对一个得1分)；综上得出正确结论得1分．跟踪演练6　(2019·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．