高中数学高考19第一部分 板块二 专题五 解析几何 规范答题示例5

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典例5　(12分)(2018·全国Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；　(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.审题路线图1l与x轴垂直→l的方程为x＝1→将l的方程与椭圆C的方程联立→解得A点坐标→得到直线AM的方程2先考虑l与x轴垂直或l与x轴重合的特殊情况→要证的结论→再考虑l与x轴不垂直也不重合的一般情况→设l的方程并与椭圆方程联立→得x1＋x2，x1x2→用过两点的斜率公式写出kMA，kMB→计算kMA＋kMB→得kMA＋kMB＝0→∠OMA＝∠OMB规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)解　由已知得F(1,0)，…………………………………………1分由x＝1及＋y2＝1得A点坐标为或，…2分又M(2,0)，∴AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.…3分(2)证明　①当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°. ………4分②当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB. ……………………………………………5分③当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，………………………………6分设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<，x2<)，则kAM＝，kBM＝，…………………………………7分∴kAM＋kBM＝＝，……………………………………………………………………8分将y＝k(x－1)与＋y2＝1联立，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，易知Δ>0恒成立，∴x1＋x2＝，x1x2＝，……………………………9分则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0，…………………………………………………………………10分从而kAM＋kBM＝0，故MA与MB的倾斜角互补，∴∠OMA＝∠OMB，综上∠OMA＝∠OMB. ………………………………………12分第一步求直线方程：确定直线上两点的坐标，从而求得直线的方程．第二步求解特殊情况：注意斜率为0与斜率不存在的情况，分别求解．第三步求解一般情况：斜率存在且不为0(1)联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等式；(2)找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系，得结论. 评分细则　第(1)问：写出F的坐标得1分，联立方程得出A点坐标得1分，写出直线AM的两个方程得1分．第(2)问：写出直线l与x轴重合时的情况得1分，写出l与x轴垂直时的情况得1分，写出既不垂直又不重合的情况得1分，以上情况漏写一种扣1分；写出kMA，kMB的表达式得1分，写出kAM＋kBM关于x1，x2的表达式得1分，联立直线与椭圆方程得出x1＋x2，x1x2分别关于k的表达式得1分，将x1＋x2，x1x2代入kAM＋kBM，求得kAM＋kBM＝0得1分，得出总结论得2分．跟踪演练5　(2019·全国Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．