高中数学高考23第一部分 板块二 专题六 函数与导数 第4讲　导数的热点问题(大题)

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第4讲　导数的热点问题(大题)热点一　导数的简单应用利用导数研究函数的单调性是导数应用的基础，只有研究了函数的单调性，才能研究其函数图象的变化规律，进而确定其极值、最值和函数的零点等．注意：若可导函数f(x)在区间D上单调递增，则有f′(x)≥0在区间D上恒成立，但反过来不一定成立．例1　(2019·柳州模拟)已知函数f(x)＝ln x－－mx在区间(0,1)上为增函数，m∈R.(1)求实数m的取值范围；(2)当m取最大值时，若直线l：y＝ax＋b是函数F(x)＝f(x)＋2x的图象的切线，且a，b∈R，求a＋b的最小值．跟踪演练1　(2019·北京模拟)设函数f(x)＝ex－ax＋，a>0.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)当x<1时，函数f(x)的图象恒在x轴上方，求a的最大值．      热点二　导数与函数零点或方程根的问题已知函数零点x0∈(a，b)，求参数范围的一般步骤：(1)对函数求导；(2)分析函数在区间(a，b)上的单调情况；(3)数形结合分析极值点；(4)依据零点的个数确定极值的取值范围，从而得到参数的范围．例2　(2019·石家庄质检)已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R)．(1)当a＝0时，求证：f(x)>x；(2)讨论函数f(x)零点的个数． 跟踪演练2　(2019·洛阳调研)已知函数f(x)＝x2－aln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a>0，函数f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，求a的取值范围．      热点三　导数与不等式恒成立、存在性问题1．由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略：(1)求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题；(2)分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围．2．利用导数处理不等式在区间D上有解或恒成立的常用结论：不等式a<f(x)在区间D上有解⇔a<f(x)max；不等式a≤f(x)在区间D上有解⇔a≤f(x)max；不等式a>f(x)在区间D上有解⇔a>f(x)min；不等式a≥f(x)在区间D上有解⇔a≥f(x)min；不等式a<f(x)在区间D上恒成立⇔a<f(x)min；不等式a≤f(x)在区间D上恒成立⇔a≤f(x)min；不等式a>f(x)在区间D上恒成立⇔a>f(x)max；不等式a≥f(x)在区间D上恒成立⇔a≥f(x)max.例3　(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)>在(1，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值．       跟踪演练3　(2019·遵义模拟)已知函数f(x)＝ln x－2x.(1)求函数f(x)的极值；(2)若g(x)＝mx2＋(m－3)x－1(m∈R)，是否存在整数m使f(x)≤g(x)对任意x∈(0，＋∞)成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．      热点四　导数与不等式的证明问题利用导数证明不等式的解题策略：一般先将待证不等式如f(x)≥g(x)的形式转化为f(x)－g(x)≥0的形式，再设h(x)＝f(x)－g(x)，进而转化为研究函数h(x)在指定区间上的最小值问题．不过由于不等式呈现的形式多样化，具体求解时还得灵活多变．例4　(2019·河南省名校联考)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设x1<x2，求证：(x2－x1)[f(x1)＋ax＋f(x2)＋ax]>      跟踪演练4　(2019·贵州适应性考试)函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝aex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当a≥时，xf(x)≤g(x)．     真题体验(2019·全国Ⅰ，文，20)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．       押题预测已知函数f(x)＝x3－x2＋a|x|－1.(1)当a＝6时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的单调区间；(2)求证：当a<0时，函数f(x)既有极大值又有极小值．      A组　专题通关1．(2019·郴州质检)已知函数f(x)＝ex(ax2＋x＋a)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)≤ex(ax2＋2x)＋1恒成立，求实数a的取值范围．    2．(2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．        3．(2019·唐山模拟)已知f(x)＝＋nln x(m，n为常数)，在x＝1处的切线方程为x＋y－2＝0.(1)求f(x)的解析式并写出定义域；(2)若∀x∈，使得对∀t∈上恒有f(x)≥t3－t2－2at＋2成立，求实数a的取值范围；(3)若g(x)＝f(x)－ax－(a∈R)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1·x2>e2.       B组　能力提高4．(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1<a<e，试判断f(x)的零点个数．       5．(2019·丹东质检)已知函数f(x)＝(2x－2)ex－ax2.(1)当a<1时，讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a>0且a≠1时，f(x)只有一个零点．