高中数学高考11第一部分 板块二 专题三 立体几何 规范答题示例3

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典例3　(12分)(2017·全国Ⅲ) 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．审题路线图(1)取AC的中点O→AC⊥OD，AC⊥OBAC⊥平面BOD→AC⊥BD(2) 规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)证明　取AC的中点O，连接DO，BO，…………………………1分因为AD＝CD，所以AC⊥DO，又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.又因为DO∩BO＝O，从而AC⊥平面DOB，………………………………………………3分故AC⊥BD. …………………………………………………………4分(2)解　连接EO.………………………………………………………5分由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°. ……………………………………………………7分由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC. ……………………………………………………8分又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以AC＝BD，又因为EO＝AC，所以EO＝BD.故E为BD的中点，………………………………………………10分从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，……………11分即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1. …………12分第一步找线线：由等腰三角形底边上的中线垂直于底边，找出线线垂直.第二步找线面：通过线线垂直，利用判定定理，找线面垂直.第三步找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直，继而得出所要求证的线线垂直.第四步求体积比：对于等底的两个四面体，体积比等于高之比.第五步写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤. 评分细则　第(1)问：作出辅助线，并用语言正确表述得1分；分别得出AC⊥DO和AC⊥BO得1分，由线面垂直的判定写出AC⊥平面DOB，再得1分；由线面垂直的性质得出结论得1分．第(2)问：作出辅助线，并用语言正确表述得1分；由勾股定理的逆定理得到∠DOB＝90°得2分；由直角三角形的性质得出EO＝AC得1分；得出E为BD的中点得2分；得出四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的得1分； 正确求出体积比得1分．跟踪演练3　(2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．