中考数学专题复习全攻略：第一节 圆的基本性质 含解析答案

第一节 圆的基本性质

知识点一：圆的有关概念  

1.与圆有关的概念和性质 

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

（2） 弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

（3）直径

经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）

直径等于半径的2倍。

（4）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（5）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

（6）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

（7）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

（8）弦心距：圆心到弦的距离.

（9）圆的对称性   

1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2)圆的中心对称性： 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

变式练习1：如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( B )

A．3  B．4  C．5  D．6

,第1题图)　　,第2题图)

变式练习2：如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是( C )

A．40°  B．30°  C．20°  D．15°

变式练习3： 如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB＝__119__°.

,第3题图)　　

知识点二  ：垂径定理及其推论

1.垂径定理及其推论 

1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2)推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3)延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

①     弧AC=弧BC;

②    ②弧AD=弧BD；

③    AE=BE;

④    AB⊥CD;

⑤    CD是直径.

只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.

变式练习1：如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为________．

第1题图

【解析】如解图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA.由垂径定理得：AC＝BC＝AB＝×8＝4，∵在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC2＝OA2－AC2＝52－42＝9，∴OC＝3，即圆心O到AB的距离为3.

变式练习2：小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( B )

A．2 cm  B．4 cm  C．6 cm  D．8 cm

知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系

1.定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

2.推论:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

知识点四 ：圆周角定理及其推论

1、圆周角定理及其推论   

 （1）圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

（2）圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,

∠A=1/2∠O.

        图a              图b               图c

( 3)推论：

①    在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.

②    直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.

圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.

变式练习1：如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若

∠ABC＝25°，则∠AOC的度数为________．

第1题图

【解析】由于∠AOC和∠ABC分别是所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC ＝2∠ABC，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝50°.

变式练习2：如图，点P是四边形ABCD外接圆⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合．若AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD，连接PA，PB，PC.若PA＝a，则点A到PB和PC的距离之和AE＋AF＝__________．

第2题图

【解析】∵AB＝BC＝CD，∴＝＝，∴

∠APB＝∠BPC＝30°，∴AE＝AP·sin30°＝a，AF＝AP·sin60°＝a，∴AE＋AF＝a.

变式练习3：如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是(　　)

A. 25°          B. 30°        C. 40°           D. 50°

   【解析】∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°，∵∠C＝∠AOD，∴∠C＝×50°＝25°.

变式练习4：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．