中考数学专题复习全攻略：第一节 统计 含解析答案

第一节 统计

知识点一：数据收集、整理

1. 数据收集

数据收集常用方法

全面调查：所要考察对象的全体叫做总体.

抽样调查: 采用调查部分对象的方式来收集数据根据部分来估计整体的情况,叫做抽样调查.

优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

 收集数据时常见的统计量 

(1)总体：要考察的全体对象；

(2)个体：组成总体的每一个考察对象；

(3)样本：被抽查的那些个体组成一个样本；

(4)样本容量：样本中个体的数目．

变式练习：为了了解某校3800名学生视力情况，从中测试了400名学生视力进行分析，在这个问题中，总体是某校3800名学生视力情况，样本容量是400.

知识点二  ：反映数据集中程度的量

1.平均数

一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。

2.加权平均数

如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。

变式练习1：某商品共10件，第一天以25元/件卖出2件，第二天以20元/件卖出3件，第三天以18元/件卖出5件，则这种商品的平均售价为20元/件．

变式练习2：某公司内设四个部门，2015年各部门人数及相应的每人所创年利润如表所示，求该公司2015年平均每人所创年利润．

解：该公司2015年平均每人所创年利润为

＝21，答：该公司2015年平均每人所创年利润为21万元

3.中位数 

一组数据按从小到大(或从大到小)的顺 序排列，

（1）如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；

（2）如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．

（3）如果在一组互不相等的数据中，小于和大于这个中位数的数据各占一半。

变式练习：某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是(　　)

A. 4000元　   　B. 5000元　      C. 7000元　    　D. 10000元

【解析】B将5个工资数由小到大排列，位于最中间，即第3个数是5000元，故中位数为5000元．

4.众数 

一组数据中出现次数最多的数据.一组数据的众数可能有多个，也可能没有.

（1）众数是一组数据的峰值，它是一种位置代表值，不易受极端值的影响，其缺点是具有不唯一性。

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．

（3）一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、－1、2、1、3中，2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数。

变式练习1：一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的中位数为1  ．

变式练习2：数据8、8、6、5、6、1、6的众数是(　　)

A. 1　　　　　　 B. 5　　　　　　 C. 6　　　　　　 D. 8

【解析】C 6在这组数里出现了3次，次数最多，是众数．

变式练习3：在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别为(　　)

A. 75，80　　　　B. 80，80　　　　C. 80，85　　　　D. 80，90

【解析】80出现两次，次数最多，于是众数为80，按由小到大排序后，最中间的数是80，于是这一组数的中位数为80，故选B.

5.比较平均数、中位数、众数的优劣：

平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；

中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；

众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。

变式练习：甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：

根据以上信息，整理分析数据如下：

(1)写出表格中a，b，c的值；

(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？

解：(1)甲的平均成绩a＝＝7(环)，

∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，

∴乙射击成绩的中位数b＝＝7.5(环)，其方差c＝×[(3－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋2×(7－7)2＋3×(8－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝×(16＋9＋1＋3＋4＋9)＝4.2

(2)从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大

知识点三 ：反映数据离散程度的量

1、方差的概念方差公式

在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即

公式：设x1，x2，…，xn的平均数为，则这n个数据的方差为s2＝[(x1－)2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2].

方差意义 

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，越稳定．

变式练习：一组数据2，4，a，7，7的平均数x＝5，则方差s2＝__3.6__．

2.极差:一组数据中的最大数据与最小数据的差。极差＝最大值－最小值．

极差能够反映数据的变化范围.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量,但它受极端值的影响较大.

知识点四 ：数据的整理和描述

1、频率分布的意义

在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。

2、研究频率分布的一般步骤及有关概念

（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：

①计算极差（最大值与最小值的差）

②决定组距与组数

③决定分点

④列频率分布表

⑤画频率分布直方图

（2）频率分布的有关概念

①极差：最大值与最小值的差

②频数：落在各个小组内的数据的个数

③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。．

变式练习：某校对1200名学生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m）这一个小组的频率为0.25，则该组的人数是300.

3.统计图

 (1)条形统计图能够显示每组中的具体数据．

(2)扇形统计图能够显示部分在总体中的百分比．

(3)折线统计图能够显示数据的变化趋势．

(4)频数分布直方图能够显示数据的分布情况．

变式练习：空气中由多种气体混合而成，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述空气中各种成分所占的百分比，最适合采用的统计图是扇形统计图

4.画频数分布直方图的步骤

(1)计算最大值与最小值的差；

(2)决定组距与组数；

(3)决定分点；

(3)列频数分布表；

(4)画频数分布直方图 ． 

变式练习1：一组数据的最大值与最小值的差是23，若组距为3，则在画频数分布直方图时应分为8组．

变式练习2：某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答问题：

第2题图

(1)这次活动一共调查了________名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于______度；

(4)若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是________人．

解：(1)250 ；

【解法提示】用选择“足球”项目的人数除以它占抽查总数的百

分比，便可得这次活动一共调查的学生数，即80÷32%＝250(名).

(2)补全条形统计图如解图所示：

第2题解图

【解法提示】选择“篮球”项目的人数为：250－80－40－55＝

75(人)．

(3)108；

【解法提示】用选择篮球项目的人数除以总人数再乘以360°就可

以得到选择篮球项目的人数所占扇形圆心角的度数：×360°

＝108°.

(4)480.

【解法提示】用总人数乘以选择足球项目的人数所占的百分比就

可得到该学校选择足球项目的学生人数：1500×32%＝480(人)．

变式练习3：某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况(每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目)，进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如表和图所示的不完整统计图表．

          样本人数分布表

 (1)请你补全样本人数分布表和条形统计图；

(2)若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．

解：(1)补全样本人数分布表如下所示，补全条形统计图如解

图所示；

     样本人数分布表

【解法提示】样本容量＝＝＝50(人)；

喜欢羽毛球百分比＝＝＝30%；

喜欢篮球人数＝样本容量×喜欢篮球的百分比＝50×20%＝

10(人)．

(2)所抽取50人中，喜爱羽毛球运动的同学占30%，用样本频率

估算总体频率可知，920人中喜爱羽毛球运动的约占30%，

 ∴920×30%＝276(人)．

答：七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数大约有276人．

变式练习4：李老师为了解班里学生的作息时间，调查了班上50名学生上学路上花费的时间，他发现学生所花时间都少于50分钟，然后将调查数据整理，作出如下频数分布直方图的一部分(每组数据含最小值不含最大值)．请根据该频数分布直方图，回答下列问题：

(1)此次调查的总体是什么？

(2)补全频数分布直方图；

(3)该班学生上学路上花费时间在30分钟以上(含30分钟)的人数占全班人数的百分比是多少？

解：(1)此次调查的总体是班上50名学生上学路上花费的时间；

(2)补全频数分布直方图如解图所示：

第4题解图

【解法提示】路上时间花费在30～40分钟(不含40分钟)的人数

为：50－8－24－13－1＝4(人)．

(3)路上花费时间在30分钟以上(含30分钟)的人数占全班人数的

百分比是×100%＝10%.

变式练习5：为了解中学生最喜欢做哪种类型的英语客观题，某市抽取部分中学生对英语客观题的“听力部分、单项选择、完型填空、阅读理解、口语应用”进行了问卷调查．要求每位学生都自主选择其中一个类型，并将调查结果绘制成如下的统计图表(问卷回收率为100%，并均为有效问卷)．

    被调查学生选择意向统计表

根据统计图表中的信息，解答下列问题：

(1)求本次被调查的学生总人数及a、b、c的值；

(2)将条形统计图补充完整；

(3)全市参加这次调查的中学生共有42000人，试估计全市中学生中最喜欢做“单项选择”这类客观题的学生有多少人？

解：(1)由题图和表可知，最喜欢做单项选择的

人数有280人，占被调查人数的35%，

∴被调查的总人数为：280÷35%＝800(人)，

∴最喜欢阅读理解的人数为：800×10%＝80(人)，

∴最喜欢听力的人数为：800－(280＋160＋80＋40)＝240(人)，

∴a＝×100%＝30%，b＝×100%＝20%，

c＝×100%＝5%；

(2)补全条形统计图如解图所示：

被调查学生选择意向条形统计图

 (3)42000×35%＝14700(人)，

∴估计全市中学生中最喜欢做“单项选择”这类客观题的学生

有14700人．

变式练习6：某校为了了解全校学生上学期参加社区活动的情况，学校随机调查了本校50名学生参加社区活动的次数，并将调查所得的数据整理如下：

参加社区活动次数的频数、频率分布表

根据以上图表信息，解答下列问题：

(1)表中a＝__12__，b＝__0.08__；

(2)请把频数分布直方图补充完整(画图后请标注相应的数据)；

(3)若该校共有1 200名学生，请估计该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有多少人？

解：(1)由题意可得：a＝50×0.24＝12(人)，∵m＝50－10－12－16－6－2＝4，∴b＝＝0.08

(2)补图略

 (3)由题意可得，该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有1 200×(1－0.20－0.24)＝672(人)，答：该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有672人