中考数学专题复习全攻略：第二节 概率 含解析答案

第二节  概率

知识点一：概率

1. 概率及公式

（1）定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．

（2）概率公式：P(A)＝ (m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．

2、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P

变式练习1：一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为(　　)

A. 　　　　　　B.             C.                D.

【解析】B因为布袋里有3个红球和4个白球，共7个球，所以从中任取一个，摸出的球是红球的概率是.

变式练习2：设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是.[来源:Zx

2. 用频率可以估计概率 

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.

变式练习1：一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为(　　)

A. 　　　　　　B.             C.                D.

【解析】B因为布袋里有3个红球和4个白球，共7个球，所以从中任取一个，摸出的球是红球的概率是.

变式练习2：在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为(　　)

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　C. 4　　　　　　D. 12

　【解析】B由已知得4个黄球占总球的，所以共有12个球，则白球的个数为12－5－4＝3(个)．

变式练习3：在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则摸到白球的概率为0.7.

3. 事件的类型及其概率

1)确定事件和随机事件  

（1）确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

（2）随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

2)随机事件发生的可能性   

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

3) 事件的类型及其概率

4)确定事件和随机事件的概率之间的关系

事件发生的可能性越来越小

0                              1概率的值

不可能发生                      必然发生

事件发生的可能性越来越大

变式练习：下列4个事件：①异号两数相加，和为负数；②异号两数相减，差为正数；③异号两数相乘，积为正数；④异号两数相除，商为负数．其中必然事件是④，不可能事件是③．

知识点二  ：随机事件概率的计算

随机事件概率的计算方法 

1．树状图法

（1）定义：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

（2）运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

2.列表法

（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

（2）列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

3.随机事件概率的计算

(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；

(2)两步完成：列表法、画树状图法；

(3)两步以上：画树状图法 

变式练习1：老师和小明同学玩数字游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同．老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．

(1)补全小明同学所画的树状图；

(2)求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．

第2题图

解：(1)由题意补全树状图如解图所示；

第2题解图

 (2)由解图可知，共有9种等可能的结果，其中两次数字之积为奇

数的只有4种，分别是(1，1)，(1，3)，(3，1)(3，3)，

∴P(积为奇数)＝ .

变式练习2：有三张正面分别写有数字－2，－1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为(x，y)．

(1)用树状图或列表法表示(x，y)所有可能出现的结果；

(2)求使分式＋有意义的(x，y)出现的概率；

(3)化简分式＋，并求使分式的值为整数的(x，y)出现的概率．

解：(1)列表法：

即所有(x，y)等可能出现的结果共有9种，分别是：(－2，－2)，

(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1，1)，

(1，－2)，(1，－1)，(1，1)；

(2)要使分式＋有意义，即x、y满足x＋y≠0且

x－y≠0.

由(1)知所有等可能结果共有9种，满足条件的结果共有4种，分

别是(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(1，－2)

∴P(分式有意义)＝；

(3)＋＝＋

               ＝

               ＝

               ＝.

∵分式＋的值为整数，

∴x－y是x＋y的整数倍，

∴满足条件的结果共有2种,分别是(－2，1)，(1，－2)

∴P(分式的值为整数)＝.

知识点三  ：几何概率的计算

几何概率的计算方法 

求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.

变式练习：为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实．统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名，3名，4名，5名，6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：

(1)求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整；

(2)某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率．

解：(1)该校的班级共有6÷30%＝20(个)，有2名贫困生的班级有20－5－6－5－2＝2(个)，补全条形图如图：

 (2)根据题意，将两个班级4名学生分别记作A1，A2，B1，B2，列表如下：

 由上表可知，从这两个班级任选两名学生进行帮扶共有12种等可能结果，其中被选中的两名学生来自同一班级的有4种结果，∴被选中的两名学生来自同一班级的概率为＝