中考数学专题复习全攻略：第一节 平移、对称、旋转与位似 含解析答案

第一节  平移、对称、旋转与位似

知识点一：图形变换             

1.图形的轴对称 

（1）定义：

①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．

②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

（2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.              

变式练习1：下列图形中，不是轴对称图形的是(　　)

【解析】C　轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，称这个图形是轴对称图形．A选项和B选项既是轴对称图形也是中心对称图形．C选项是中心对称图形，不是轴对称图形，D选项是轴对称图形，所以选C

变式练习2：下列图标中是轴对称图形的是(　　)

【解析】D将一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，利用轴对称图形的定义可知D是轴对称图形．

变式练习3：如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A(－5，1)，B(－2，3)，线段CD的两个端点是C(－5，－1)，D(－2，－3)．

(1)线段AB与线段CD关于某直线对称，则对称轴是__x轴__；

(2)平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为(1，2)，画出平移后的线段A1B1，并写出点B1的坐标为__(4，4)__．

解：(1)∵A(－5，1)，C(－5，－1)，∴AC⊥x轴，且A，C两点到x轴的距离相等，同理BD⊥x轴，且B，D两点到x轴的距离相等，∴线段AB和线段CD关于x轴对称，故答案为x轴

(2)∵A(－5，1)，A1(1，2)，∴相当于把A点先向右平移6个单位，再向上平移1个单位，∵B(－2，3)，∴平移后得到B1的坐标为(4，4)，画图略

2.图形的平移 

（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．

（2）性质：

①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；

②平移后 ，对应角相等且对应角的两边分 别平行、方向相同；

③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．

变式练习：如图，在平面直角坐标系中，将点M(2，1)向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为( A )

A．(2，－1)  B．(2，3)  C．(0，1)  D．(4，1)

3.图形的旋转 

（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．

（2）特征：经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

（3）性质：

①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；

②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；

③对应点到旋转中心 的距离相等．

变式练习1：如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是( B )

A．50°  B．60°  C．70°  D．80°

,

变式练习2：如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于________．

第2题图

【解析】如解图，设AB与B′C′交于点F，BC与AC′交于点E，BC与B′C′交于点D.∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°

得到△AB′C′，∴∠CAC′＝∠BAB′＝45°，

∵∠BAC＝90°，∴∠C′AB＝45°，∠C＝∠C′＝∠B＝45°，

∴∠C′ED＝90°，∴△AEB和△C′ED均为等腰直角三角形，∴AE＝BE，∵AB＝AC＝，∴AE2＋BE2＝()2＝2，∴AE＝AF＝BE＝1，∴DF＝BF＝－1，∴S△AEB＝×1×1＝，S△DFB＝×(－1)×(－1)＝，

∴S阴影＝S△AEB－

S△DFB＝－＝－1.

变式练习3：如图①，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°.固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图②.

(1)问：始终与△AGC相似的三角形有________及________；

(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图②的情形说明理由)；

(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

第3题图

解：(1)△HAB，△HGA；

【解法提示】∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，

∴∠H＋∠HAC＝45°，∠HAC＋∠CAG＝45°，

∴∠H＝∠CAG，

∵∠ACG＝∠B＝45°，

∴△AGC∽△HAB，

∴同理可得出：始终与△AGC相似的三角形还有△HGA.

(2)由(1)知△AGC∽△HAB，

∴＝，即，

∴y＝ (0<x<9)；

(3)由(1)知△AGC∽△HGA，

∴要使得△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可．

①如解图①，∠GAC＝∠ACG＝45°的情况，此时△AGC为等腰直角三角形，

∴x＝AC·sin∠GAC＝AC·sin45°＝；

②∠AGC＝∠ACG＝45°的情况，显然此时点G和点B重合．

∴x＝BC＝＝9；

③如解图②，∠AGC＝∠GAC＝45°的情况，

此时就有x＝CG＝AC＝9.

综上所述，当x＝9或或9时，△AGH是等腰三角形．

第3题解图

变式练习4：在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为(2，1)，则点B的对应点B1的坐标为( D )

A．(1，2)  B．(2，－1)

C．(－2，1)  D．(－2，－1)

4.图形的中心对称 

（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．

（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；

②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；

③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等 .

变式练习1：下列所述图形中，是中心对称图形的是(　　)

A. 直角三角形　　　　　　　　　　　B. 平行四边形

C. 正五边形                        D. 正三角形

【解析】B逐项分析如下：

变式练习2：在下列交通标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)

【解析】C逐项分析如下：

变式练习3：在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(0，1)，C(3，1)，若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为__(－5，－3)__．

5.图形的位似 

（1）如果两个多边形不仅相似，而且 对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

（2）性质：

①对应角相等，对应边之比等于位似比；

②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

（3）画位似图形的一般步骤为：

①确定位似中心，

②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；

③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形

变式练习1：将图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是(　　)

【解析】∵题中的箭头要缩小到原来的，∴箭头的长、宽都要缩小到原来的，故选A.

知识点二  ：网格作图

坐标与图形的位置及运动 

（1）图形的平移变换 

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

（2）图形关于坐标轴成对称变换 

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．

（3）图形关于原点成中心对称 

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

 图形关于原点成位似变换 在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．

变式练习1：如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为AC上的一个动点，求EF＋BF的最小值．

解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD.连接DE交AC于点F，连接BF，则BF＝DF，又∵∠DAB＝60°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴DE⊥AB，在Rt△AED中，由勾股定理有：DE＝＝＝3，而DE＝DF＋EF＝EF＋BF＝3，即EF＋BF的最小值是3.

变式练习2：平面直角坐标系中，有一条线段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：1，将线段AB放大为线段A′B′，那么A′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.