中考数学专题复习全攻略：第五讲 图形的相似 含解析答案

第五讲  图形的相似

知识点一：比例线段

1.比例线段

在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

2.比例的基本性质

(1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0）

(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）

(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔

＝k.（b、d、···、n≠0）

变式练习1：若，则.

解：设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.

3.平行线分线段成比例定理

（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长  线)，所得的对应线段成比例.

即如图所示，若AB∥CD，则.

（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．

如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.

变式练习1：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于.

变式练习2：如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝( B )

A.  B.  C.  D．1

,

变式练习3：如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于______.

,第3题图)

4.黄金分割

点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．

变式练习：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm．

5.证四条线段成比例的技巧：

（1）.巧作平行线证相似：

变式练习：在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AD上任意一点，

直线CF交AB于E。

求证：AE:AB=EF:FC

（2）.三点定形法确定相似三角形

变式练习：CD是RtABC斜边上的高，E是AC的中点，ED,CB的延长

线交于点F，

求证：FB•CD=FD•DB

（3）.用等线段替换

变式练习：

（4）.巧用面积证比例式 :

变式练习：AD是ABC的角平分线。求证：

知识点二  ：相似三角形的性质与判定

1.相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

相似三角形的等价关系：

（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；

（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC

（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’

3.相似三角形的判定

(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).

如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.

(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D， ，则△ABC∽△DEF.

(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若 ，则△ABC∽△DEF.

4.相似

三角形的性质

(1)对应角相等，对应边成比例．

(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．

变式练习(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.

(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.        

5.相似三角形的基本模型

6.相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

（2）相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比

④相似多边形面积的比等于相似比的平方

变式练习1：若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是________．

【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得它们的面积比为：(2∶3)2＝4∶9.

变式练习2：已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( A )

A.  B.  C.  D.

变式练习3： 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是( D )

A．DE＝BC  B.＝

C．△ADE∽△ABC  D．S△ADE∶S△ABC＝1∶2

变式练习4：如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( D )

A．(－1，2)  B．(－9，18)

C．(－9，18)或(9，－18)  D．(－1，2)或(1，－2)

,

变式练习5： 如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？

解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，

∵EF＝9，AB＝12，

∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，∴△CEF和△CBA的面积比＝9∶16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积＝7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF＝7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF∶EF＝7k∶9k，∴DF＝7.