中考数学专题复习全攻略：第一节 线段、角、相交线和平行线 含解析答案

第一节 线段、角、相交线和平行线

知识点一：直线、线段、射线         

1、几何图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

1）直线的概念

一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。

2）射线的概念

直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

3）线段的概念

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。 

变式练习：在墙壁上固定一根横放的木 条，则至少需要2枚钉子，依据的是两点确定一条直线.

3.点、直线、射线和线段的表示

在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示。

一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。

一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。

4.直线的性质

（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

5.线段的性质

（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。

（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

变式练习1：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是( C )

A．两点确定一条直线

B．垂线段最短

C．两点之间线段最短

D．三角形两边之和大于第三边

变式练习2：如图，C，D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长等于( B )

A．2 cm  B．3 cm  C．4 cm  D．6 cm

变式练习3： 如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为__10__．

知识点二：角、角平分线

1概念：

角：有公共端点的两条射线组成的图形．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。

2、角的表示

角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：

①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。

④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线             

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角的平分线的判定定理：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3.角的度量1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600'' 

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。

把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。

1°=60’=60”

4.余角和补角

( 1 ) 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；

( 2 ) 补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角.

（3）性质：同角 (或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．

5、角的性质

（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

（2）角的大小可以度量，可以比较

（3）角可以参与运算。

变式练习1： 图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是__对顶角相等__．

,第1题图)　　,第2题图)

变式练习2： 如图，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝___70°__．

变式练习3： 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝__15°__．

,第3题图)　　,第4题图)

变式练习4：如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝__75°__．

变式练习5： 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．

(1)如图①，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？

(2)如图②，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；

(3)如图③，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想∠MON与α，β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．

解：(1)如图①，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°＋60°＝150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝75°，∠NOC＝∠BOC＝30°∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝45°

(2)如图②，∠MON＝α，理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝α＋60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝α＋30°，∠NOC＝∠BOC＝30°∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(α＋30°)－30°＝α

(3)如图③，∠MON＝α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝α＋β.        

∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝∠AOC＝(α＋β)，∠NOC＝∠BOC＝β，∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(α＋β)－β＝α，          

即∠MON＝α

变式练习6：（1）15°25'＝15.5°；

37°24'45''＋32°48'49''＝70°1 3'34''.

（2）32°的余角是58°，32°的补角是148°.

知识点三 ：相交线、平行线

1.三线八角 

（1）同位角：形如”F”;

（2）内错角：形如“Z”;

(3)同旁内角：形如“U”. 

2.相交线中的角

（1）在两条直线相交的图样中，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角。

邻补角互补，对顶角相等。

（2）在三线八角图样中：直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

3.对顶角、邻补角 

（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.

（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°. 

变式练习：在平面中，三条直线相交于1点，则图中有6组对顶角.

4.垂线

（1）概念 ：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

（2）性质：①过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直．

②垂线段最短．

（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 

变式练习：如图所示，点  A到BC的距离为AB，

点B到AC的距离为BD，点C到AB的距离为BC.

（4）线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

5.平行线 

平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

（1）平行线的性质与判定

①同位角相等 两直线平行

②内错角相等 两直线平行

③同旁内角互补 两直线平行

（2）平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

②平行于同一条直线的两直线平行． 

变式练习1：如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是(　　)

A. 75°　　　    B. 55°　　　     C. 40°　　　    D. 35°

               第1题图

【解析】C　如解图，∵a∥b，∴∠4＝∠1＝75°，∵∠4＝∠3＋∠2，∴∠3＝∠4－∠2＝75°－35°＝40°.

                                          第1题解图

变式练习2：如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2＝50°，则∠1的大小是(　　)

A. 30°          B. 40°          C. 50°         D. 60°

  第2题图

．【解析】C　∵AB∥EF，∠2＝50°，∴∠A＝∠2＝50°，∵AC∥DF，∴∠1＝∠A＝50°.

变式练习3：把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1＝20°，那么∠2的度数是(　　)

A. 15°         B. 20°          C. 25°          D. 30°

【解析】　C　如解图，∵两直线平行，内错角相等，∴∠1＝∠3，∵∠3＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°，∵∠1＝20°，∴∠2＝25°.

变式练习3： 如图，AE与CD交于点O，∠A＝50°，OC＝OE，∠C＝25°，求证：AB∥CD.

证明：∵OC＝OE，∴∠E＝∠C＝25°，∴∠DOE＝∠C＋∠E＝50°，∵∠A＝50°，∴∠A＝∠DOE，∴AB∥CD

知识点四 ：命题与证明

1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2.命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.

3.命题的分类（按正确、错误与否分）

       真命题（正确的命题）

命题

       假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

4．公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

5．定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

6．证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的 过程.证明 一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.             

7．证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

变式练习：下列命题是假命题的有(  ③  )

①相等的角不一定是对顶角；

②同角的补角相等；

③如果某命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题；

④若某个命题是定理，则该命题一定是真命题.