中考数学专题复习全攻略：第一节 多边形与平行四边形 含解析答案

第一节  多边形与平行四边形

知识点一：多边形

1.多边形的相关概念 

（1）定义：在平面 内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为 ．
2.多边形的内角和、外角和

( 1 ) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)•180°

（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.

3.正多边形 

（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.

（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.

( 3 ) 正n边形有n条对称轴.

（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.

变式练习1：

(1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10．

(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形

变式练习2：(3分)一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是(　　)

A. 10     B. 9      C. 8      D. 7

【解析】D设这个多边形是n边形，根据题意得(n－2)·180°＝900°，解得n＝7.

变式练习3：正八边形的每个内角为(　　)

A. 120°  B. 135°  C. 140°  D. 144°

【解析】B正八边形的外角和等于360°，所以它的每个外角为45°，所以与之对应的内角为135°，即正八边形的每个内角为135°

变式练习4：正五边形的外角和等于________(度)．

【解析】n边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和是360°.

变式练习5：一个六边形的内角和是________．

【解析】∵n边形内角和公式：180°·(n－2)(n≥3)，六边形中n＝6，∴六边形内角和为：180°×(6－2)＝720°.

变式练习6：一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于(　　)

A. 108°　　　　　B. 90°　　　　　C. 72°　　　　　D. 60°

【解析】　C　设此正多边形为正n边形，根据题意得：180°·(n－2)＝540°，解得n＝5，故这个正多边形的每一个外角等于：＝72°.

变式练习7：正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为( C )

A．10  B．11  C．12  D．13

知识点二  ：平行四边形的性质

1.平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.                                    

2.平行四边形的性质

（1）    边：两组对边分别平行且相等.

即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.

（2）角：对角相等，邻角互补.

即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，

∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.  

（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD

（4）对称性：中心对称但不是轴对称.

（5）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3.平行四边形中的几个解题模型

（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF.

（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.

（3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.

（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.

注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：

（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.

（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.

（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.

变式练习：如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为9.6.

知识点三 ：平行四边形的判定

1.平行四边形的判定

（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

     即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.

（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

      即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.

（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

     即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.

（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

     即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.

（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

   若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.

2.两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

3.平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×高=ah

变式练习1：如图四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO，请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一个即可），使四边形ABCD为平行四边形.

变式练习2：如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是(　　)

A. AC＝BD   B. AC⊥BD   C. AB＝CD   D. AB＝BC

【解析】根据平行四边形的性质可知平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．选项A中只有当平行四边形是矩形或正方形时对角线才相等；选项B中只有当平行四边形是菱形或正方形时对角线才互相垂直；选项D中只有当平行四边形是菱形或正方形时邻边才相等，故只有选项C一定正确．

变式练习3：如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是________．

【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC.∵△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，∴E′、D、E在一条直线上，∴E′E∥AC.∵∠BED＝∠CE′D，∴E′C∥AE，∴四边形ACE′E是平行四边形．

变式练习4：已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

【解析】证明：∵AB∥CD，

∴∠ABO＝∠CDO，

∵BO＝DO，∠AOB＝∠COD，

∴△AOB≌△COD(ASA)，

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

变式练习5： 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件_AD∥BC_(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．