中考数学专题复习全攻略：第四节 锐角三角函数和解直角三角形 含解析答案

第四节 锐角三角函数和解直角三角形

知识点一：锐角三角函数的定义 

1.锐角三角函数 

正弦:  sinA＝＝

余弦:  cosA＝＝

正切:  tanA＝＝.

来源:学&科&网]

2.特殊角的三角函数值[来

3、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是(　　)

A.                         B.

C.                         D.

【解析】D如解图，过点A作AB⊥x轴于点B，∵A(4，3)，∴OB＝4，AB＝3，∴OA＝＝5，∴cosα＝＝.

变式练习2：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，则sinA＝________．

【解析】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝5，∴sinA＝＝.

变式练习3：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝( D )

A．4  B．6  C．8  D．10

变式练习4：如图，若点A的坐标为(1，)，则sin∠1＝____.

,

知识点二  ：解直角三角形

1.解直角三角形的概念 

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．

2.解直角三角形的常用关系

 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c

(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；

(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边角之间的关系：

（sinA＝=cosB=，c osA＝sinB=，tanA＝.）

变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.

变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI＝90°.若AC＝a，求CI的长．

解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠A＝60°，∵AC＝a，

∴CD＝AC·sin60°＝a，

依此类推CH＝()3a＝a，

在Rt△CHI中，

∵∠CHI＝60°，

∴CI＝CH·tan60°＝a×＝a.

变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )

A.  B．4  C．8  D．4

,

变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．

,　,

变式练习5： 一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为______海里/小时．

知识点三 ：解直角三角形的应用

1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）

(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）

(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）

2.解直角三角形实际应用的一般步骤 

(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

(4)得出数学问题 的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10 m，到达B点，点B处测得树顶C的仰角为60°(A、B、D三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：≈1.414，≈1.732)

解：如解图，由题意可知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝10 m，∵∠CBD＝∠CAB＋∠BCA，

∴∠BCA＝∠CBD－∠CAB＝60°－30°＝30°＝∠CAB，

∴BC＝AB＝10 m．

在Rt△BCD中，

∵sin∠CBD＝，

∴CD＝BC·sin∠CBD＝10×sin60°＝10×＝5≈5×1.732≈8.7 m．

答：这棵树CD的高度大约是8.7 m．

变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB(结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．

解：设AB＝x米，

在Rt△ABD中，∠D＝26.6°，

∴BD＝≈2x，

在Rt△ABC中，tanα＝＝，

∴BC＝x，

∵BD－BC＝CD，CD＝200，

∴2x－x＝200，解得x＝300.

答：小山岗的高AB约为300米．

变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：≈1.414，≈1.732)

解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，

由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，

设MH＝x m，则AH＝x m，

BH＝x·tan30°＝x≈0.58x m，

∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，

解得x≈8.3，

则MN＝x＋1＝9.3 m.

答：旗杆MN的高度约为9.3 m.

变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为(　　)

A. (600－250)米                  B. (600－250)米

C. (350＋350)米                  D. 500 米

【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝x米，则DC＝(x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝CD，即1200＋x＝(x＋500)，解得x＝600－250，∴DF＝x＝(600－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(600－250)米，即山高CD为(600－250)米．

变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)

解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，

由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，

∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，

∵AB＝4×8＝32米，

∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，

BD＝AB·cos30°＝32×＝16米，

∴BC＝CD＋BD＝(16＋16)米，

∴BH＝BC·sin30°＝(16＋16)×＝(8＋8)米．

答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋8)米．

变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中≈1.732)

解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.

∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)

由题知，BC＝80×＝40(海里)，∠ACB＝60°.

在Rt△ABC中，

AB＝BC·tan60°＝40≈40×1.732≈69.3(海里)．

答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．