第五单元 三角形——2022-2023学年四年级下册数学人教版知识点总结+练习学案（教师版+学生版）

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人教版数学四年级下册

第五单元 三角形


知识点01：三角形的特性
1. 由三条线段围成（每相邻两条线段的端点相连）的图形叫三角形。
2. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。
3. 三角形具有稳定性。
4. 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
知识点02：三角形的分类
1. 三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三类；
2. 三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形这三类。
知识点03：三角形的内角和
1. 三角形的三个内角和是 180º。
2. 在等腰三角形中：底角=(180°－顶角)÷2，顶角=180－底角×2。
3. 在一个等边三角形里，三条边长度相等，三个角都等于60°。
4. 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，一个平行四边形可以切割成两个完全一样的三角形。

考点01：三角形的特性

【典例分析01】用22根1厘米长的小棒摆成一个等腰三角形，有几种不同的摆法？请列表说明。
【分析】根据题意，三角形任意两边的之和必须大于第三边，据此先把22平均分成2份，那么两腰的和必须大于11厘米，据此推理解答即可。
【解答】解：如表：
，一共有5种摆法。
【点评】本题考查了三角形的三边关系，两边之和必须大于大三边，两边之差必须小于第三边。

【变式训练01】如图哪一组的三条线段不能围成三角形？在这一组下面的□里画“×”

【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【解答】解：A、6+6＞11，所以能围成三角形；
B、4+4＜9，所以不能围成三角形；
C、5+5＞5，所以能围成三角形；
故答案为：

【点评】此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．
【变式训练02】（1）小红用4根长度一样的小棒围四边形，能围出很多种四边形。小明用3根长度一样的小棒围三角形，他能围出 　1　种三角形
（2）三角形的稳定性是指：（在正确的括号里√）。

【分析】（1）三根长度一样的小棒可以围成等边三角形，等边三角形的三个内角度数都为60°，所以只能围成锐角三角形。
（2）不容易变形，是三角形的特性，即三角形的三条边确定后，它的大小和形状都不会变化；据此解答。
【解答】解：（1）小明用3根长度一样的小棒围三角形，他能围出1种三角形。
（2）三角形的稳定性是指：

故答案为：1。
【点评】此题主要考查三角形的分类及三角形的稳定性在实际问题中的运用。
【变式训练03】星期天，明明从家出发到超市，走哪条路最近？最近的路与最远的路相差多远？

【分析】根据两点之间，线段最短，解答此题即可。
【解答】解：1100+1200﹣1300
＝2300﹣1300
＝1000（米）
答：明明从家出发到超市，走中间路最近，最近的路与最远的路相差1000米。
【点评】熟练掌握两点之间，线段最短，是解答此题的关键。
考点02：三角形的分类

【典例分析02】求三角形中未知角的度数，并在括号里填三角形的编号。
编号
①
②
③
④
⑤
⑥
∠1
48°
48°
48°
48°

48°
∠2
62°
32°
42°
84°
120°

∠3




30°
90°
上面的三角形中，锐角三角形有 　①④　，直角三角形有 　③⑥　，钝角三角形有 　②⑤　。
【分析】三角形的内角和是180°，用三角形的内角和减去已知的两个角的度数就是未知角的度数，据此解答即可；
三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；据此解答即可．
【解答】解：180°﹣48°﹣62°＝70°
180°﹣48°﹣32°＝100°
180°﹣48°﹣42°＝90°
180°﹣48°﹣84°＝48°
180°﹣120°﹣30°＝30°
180°﹣48°﹣90°＝42°
编号
①
②
③
④
⑤
⑥
∠1
48°
48°
48°
48°
30°
48°
∠2
62°
32°
42°
84°
120°
42°
∠3
70°
100°
90°
48°
30°
90°
上面的三角形中，锐角三角形有①④，直角三角形有③⑥，钝角三角形有②⑤。
故答案为：①④；③⑥；②⑤。
【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和是180°，并利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；用到的知识点：三角形的分类。

【变式训练01】填一填．

【分析】由图可知，既是直角三角形又是等腰三角形的三角形为等腰直角三角形．
【解答】解：根据分析可知：既是直角三角形又是等腰三角形的三角形为等腰直角三角形．
如下图：

【点评】此题考查了等腰直角三角形的特征．
【变式训练02】曲米猜得对吗？写出你的理由。

【分析】三角形的内角和是180度，利用180度减去已知的角的度数60度，剩余两个角的度数和是120度，锐角小于90度，钝角大于90度小于180度，直角等于90度，因此两个角的和是120度的角可能是一个锐角和一个钝角，也可能是1个直角和一个锐角，因此根据一个角的度数无法判断三角形的种类。
【解答】解：180°﹣60°＝120°
因此锐角小于90度，钝角大于90度小于180度，直角等于90度，因此两个角的和是120度的角可能是一个锐角和一个钝角，也可能是1个直角和一个锐角，因此根据一个角的度数无法判断三角形的种类。
【点评】本题考查了三角形按角分类的方法。
【变式训练03】猜猜下面各是什么三角形。

【分析】任意三角形的内角和都是180度，利用180度减去已知的两个角的度数求出第三个角，根据第三角的特征判断三角形的种类；锐角三角形：最大角小于90°，直角三角形：最大角等于90°，钝角三角形：最大角大于90°；三条边相等的是等边三角形；直角三角形其余两个锐角的和等于直角。
【解答】解：180°﹣28°×2
＝180°﹣56°
＝124°，三角形最大的角是钝角，这是一个钝角三角形；
180°﹣36°﹣74°
＝144°﹣74°
＝70°
三角形的3个角都是锐角，因此三角形是锐角三角形。
如图：

【点评】本题考查了三角形按角、按边分类的方法。
考点03：三角形的内角和

【典例分析03】求下列三角形的度数。

【分析】三角形的内角和是180°，（1）（2）用180°减去2个已知角的度数就是第三个角的度数；（3）直角三角形中两个锐角的和是90度，利用90度减去已知的锐角就是另一个角的度数。
据此可解答。
【解答】解：（1）180°﹣55°+85°
＝125°﹣85°
＝40°
（2）180°﹣30°+35°）
＝150°﹣35°
＝115°
（3）90°﹣40°＝50°
【点评】本题考查了学生对等腰三角形的特征及三角形内角和是180°的知识的掌握情况。

【变式训练01】求出如图中∠1的度数。

【分析】三角形的内角和等于180°，用180°减去两个已知角的度数即等于∠1的度数。
【解答】解：∠1＝180°﹣62°﹣46°
＝118°﹣46°
＝72°
【点评】熟练掌握三角形的内角和知识，是解答此题的关键。
【变式训练02】观察右边图形的操作过程，你得出了什么结论？

【分析】根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°，解答此题即可。
【解答】解：这些操作过程，都说明了三角形的内角和等于180°。
【点评】熟练掌握三角形的内角和知识和平角的定义，是解答此题的关键。
【变式训练03】乐乐说：“用两把完全相同的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是360°。”她说得对吗？为什么？

【分析】如图所示，用两把完全相同的三角尺拼成一个三角形，拼成三角形内角和仍然是180°。
【解答】解：用两把完全相同的三角尺拼成一个三角形，拼成三角形内角和是180°。
答：乐乐说的不对，拼成三角形内角和是180°。
【点评】此题主要考查了三角形内角和的计算，要熟练掌握。


一．选择题（共6小题）
1．下面选项中的三条线段能围成（每相邻两条线段的端点相连）三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【解答】解：A.两边之和大于第三边，能围成三角形；
B.两边之和小于第三边，不能围成三角形；
C.两边之和小于第三边，不能围成三角形；
D.两边之和等于第三边，不能围成三角形。
故选：A。
【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。
2．王大伯做篱笆，下面（　　）形状的最为牢固。
A． B．
C．
【分析】根据三角形的稳定性，进行解答即可。
【解答】解：王大伯做篱笆，上面形状的最为牢固。
故选：C。
【点评】灵活掌握三角形的特性，是解答此题的关键。
3．一个三角形两条边的长度分别是12cm和5cm，第三条边的长度可能是（　　）cm。
A．9 B．7 C．5
【分析】依据三角形的特性，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行解答即可。
【解答】解：12﹣5＜第三边＜12+5，即第三条边的长度大于7厘米，小于17厘米。所以应该是9厘米。
故选：A。
【点评】此题主要考查三角形的特性的理解和灵活应用。
4．下面几幅图中，三角形都被遮住了一部分，不能直接判断三角形的种类是（　　）。
A． B．
C．
【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，依此选择。
【解答】解：A．此图中的三角形是一个钝角三角形；
B．此图不能直接判断三角形的种类；
C．此图中的三角形是一个直角三角形。
故选：B。
【点评】熟练掌握三角形的分类标准是解答此题的关键。
5．下面（　　）组的三个角不可能是同一个三角形的三个内角。
A．15°，87°，78° B．150°，56°，6°
C．60°，16°，104°
【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
【解答】解：15°+87°+78°＝180°
150°+56°+6°＝212°
60°+16°+104°＝180°
因此不可能同在一个三角形内的是150°、56°、6°。
故选：B。
【点评】熟练掌握内角和定理，是解答此题的关键。
6．一个直角三角形，另外两个锐角的和是（　　）度。
A．100 B．90 C．80
【分析】根据三角形内角和为180°，已知是直角三角形，用180°﹣90°＝90°就是另外两个锐角的度数和，解答即可。
【解答】解：一个直角三角形，另外两个锐角的和是90度。
故选：B。
【点评】本题考查了三角形的内角和是180°及直角三角形的性质。
二．填空题（共6小题）
7．一个直角三角形，其中锐角是40°，另一个锐角是 　50　°。
【分析】三角形的内角和等于180°，直角三角形有一个角等于90°，180°减去90°，再减去40°，即等于另一个锐角的度数。
【解答】解：180°﹣90°﹣40°
＝90°﹣40°
＝50°
答：另一个锐角是50°。
故答案为：50。
【点评】熟练掌握三角形内角和知识是解答本题的关键。
8．一个三角形中，两个角的度数分别为35°和65°，这个三角形是 　锐　角三角形。
【分析】用180°减两个已知角的度数，等于第三个角的度数，再根据三个角的度数判断是什么三角形，据此即可解答。
【解答】解：180°﹣35°﹣65°
＝145°﹣65°
＝80°
35°、65°、80°都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。
故答案为：锐。
【点评】本题主要考查学生对三角形的内角和及三角形的分类知识的掌握。
9．一个三角形的最大内角是75°，它是 　锐　角三角形。
【分析】根据题意可知，这个三角形最大内角是75°，则其余两个内角均比75°小，也就是这三个内角均是锐角。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此可知，这个三角形是锐角三角形。
【解答】解：一个三角形的最大内角是75°，它是锐角三角形。
故答案为：锐。
【点评】本题考查三角形的分类，关键是明确三个角都是锐角。
10．已知一个三角形的两条边长分别是7分米和12分米，若第三条边的长度恰好是整分米数，则这个三角形第三条边的长度最短是 　6　分米。
【分析】已知三角形的两边长分别为7分米和12分米，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围。
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得12﹣7＜x＜12+7，即5＜x＜19，因此，本题的第三边应满足5＜x＜19，所以，则这个三角形第三条边的长度最短是6分米。
故答案为：6。
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可。
11．一个三角形至少有 　2　个锐角，最多有 　1　个直角或钝角。三角形具有 　稳定　性，不容易变形。
【分析】三角形内角和是180°，因此一个三角形至少有2个锐角，最多有1个直角或钝角。三角形具有稳定性。
【解答】解：一个三角形至少有2个锐角，最多有1个直角或钝角。三角形具有稳定性，不容易变形。
故答案为：2，1，稳定。
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，要熟练掌握。
12．用三根小棒（长度取整厘米数）围成一个三角形，第一根小棒长8厘米，第二根小棒长11厘米，第三根小棒最长 　18　厘米，最短 　4　厘米。
【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。
【解答】解：8+11＝19（厘米）
最长：19﹣1＝18（厘米）
11﹣8＝3（厘米）
最短：3+1＝4（厘米）
答：第三根小棒最长18厘米，最短4厘米。
故答案为：18，4。
【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。
三．判断题（共5小题）
13．长为5cm、5cm、10cm的小棒能拼成一个等腰三角形。 　×　
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【解答】解：因为5+5＝10，不能满足三角形的特性：任意两边之和大于第三边，所以用5cm、5cm、10cm长的三根小棒，不能拼成一个等腰三角形。
故答案为：×。
【点评】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。
14．如图，房梁的设计应用了三角形的稳定性。 　√　

【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可。
【解答】解：房梁设计成三角形是利用了三角形的稳定的特性。
故答案为：√。
【点评】解答此题的关键：应明确三角形的稳定性，结合题意分析解答即可。
15．用分别长4cm、3cm、7cm的小棒可以围成一个三角形。 　×　
【分析】求出较短两条边的和，与第三条边比较，比第三条边长就可以，否则构不成三角形
【解答】解：3+3＝6（厘米）
6＜7，构不成三角形，故原题错误。
故答案为：×。×
【点评】本题根据三角形任意两边之和大于第三边进行判断。
16．三角形按角分类可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰三角形。 　×　
【分析】根据三角形的分类：按角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；进行判断即可。
【解答】解：根据三角形的分类可知，三角形按角的大小分可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；所以说法错误。
故答案为：×。
【点评】掌握三角形的分类的特点是解题的关键。
17．一个三角形中可能有两个直角。 　×　
【分析】依据三角形的内角和是180度，利用假设法即可求解。
【解答】解：假设三角形有2个直角，则这个三角形内角和一定会大于180度，所以假设不成立，因此一个三角形可以有两个直角，是错误的。
故答案为：×。
【点评】解答此题的主要依据是：三角形的内角和是180度。
四．计算题（共1小题）
18．算一算下列各角的度数

【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
【解答】解：∠1＝180°﹣40°﹣30°＝110°
∠2＝180°﹣90°﹣55°＝35°
∠3＝（180°﹣40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
【点评】熟练掌握三角形的内角和定理，是解答此题的关键。
五．应用题（共4小题）
19．王明做了一个等腰三角形风筝，它的顶角是76°，它的一个底角是多少度？
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，和三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
【解答】解：（180﹣76）÷2
＝104÷2
＝52（度）
答：它的一个底角是52度。
【点评】熟练掌握三角形的内角和知识和等腰三角形的性质，是解答此题的关键。
20．有块直角三角形的菜地，已知一个锐角是另一个锐角的4倍，求这两个锐角的度数。
【分析】因为直角三角形中的两个锐角的度数之和是90度，如果一个锐角是另一个锐角的4倍，则把这个锐角看做1份，则另一个锐角就是4份，则它们的和就是1+4＝5份，据此求出一份是多少即可解答问题。
【解答】解：90°÷（1+4）
＝90°÷5
＝18°
18°×4＝72°
答：这两个锐角分别是18度和72度。
【点评】此题考查了和倍公式的灵活应用，关键是明确直角三角形的两个锐角的和是90度。
21．在一个直角三角形中，如果两个锐角相等，这两个锐角各是多少度？
【分析】在直角三角形中如两个锐角相等，两个锐角的和等于180°﹣90°，则这两个锐角的度数＝90°÷2，据此解答．
【解答】解：（180°﹣90°）÷2
＝90°÷2
＝45°
答：两个锐角都是45°．
【点评】本题主要考查了学生对直角三角形中的两个锐角的和是90度知识的掌握情况．
22．王老师准备了12厘米和6厘米的木棒各一根，现在他想拼成一个三角形，这个三角形第三边最长是多少厘米？最短是多少厘米？（取整厘米）
【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。
【解答】解：12+6＝18（厘米）
12﹣6＝6（厘米）
根据三角形的三边关系，因此三角形的第三边必须在6和118之间，因此最长是：18﹣1＝17（厘米），最短是6+1＝7（厘米）。
答：这个三角形第三边最长是17厘米，最短是7厘米。
【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。

一．选择题（共6小题）
1．一个三角形的两条边分别是40厘米和60厘米，第3条边可能是（　　）
A．20厘米 B．70厘米 C．100厘米
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可。
【解答】解：60﹣40＝20（厘米）
60+40＝100（厘米）
20厘米＜第三边＜100厘米
答：第3条边可能是70厘米。
故选：B。
【点评】熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。
2．下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】应用三角形的稳定性和四边形容易变形的特点即可选择正确答案．
【解答】解：A、B、C中为四边形，四边形有容易变形的特点，
D中图形是应用了三角形的稳定性，
所以最不容易变形的是D，
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形容易变形的应用．
3．李明准备把一根14厘米长的铁丝剪成三段，围成一个三角形。如果他第一次在6厘米处剪了一刀。那么第二次不能剪在（　　）处。

A．A B．B C．C D．D
【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。
【解答】解：14÷2＝7（厘米）
A.6+2＞6，A点可以；
B.6+3＞5，B点可以；
C.4+4＞6，C点可以；
D.1+6＝7，所以D点不可以。
第三边要大于1厘米小于7厘米，所以在D处剪不合适。
故选：D。
【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。
4．一个三角形最小的锐角是50度，这个三角形一定是（　　）三角形．
A．钝角 B．直角 C．锐角
【分析】由三角形的内角和求出另外两个角的和，再根据最小的内角是50°来判断其它两个角的情况．
【解答】解：180°﹣50°＝130°；
另外两个角的和是130°，最小的内角是50°，
假设另外两个角中还有一个是50°，另一个就是：130°﹣50°＝80°；
最大的内角最大只能是80°，所以这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形．
故选：C．
【点评】解决本题首先要能根据三角形的内角和是180°，求出另外角的度数可能的情况，并由此求解．
5．在直角三角形中，若一个锐角是直角的0.2倍，则另一个锐角是（　　）
A．72° B．52° C．36° D．18°
【分析】直角等于90°，若一个锐角是直角的0.2倍，则这个锐角是90°的0.2倍，即的18°，因为直角三角形中的两个锐角和是90°，所以另一个锐角是90°减去18°。
【解答】解；90°×0.2＝18°
90°﹣18°＝72°
答：另一个锐角是72°。
故选：A。
【点评】本题考查了倍数的意义和直角三角形的特征、三角形的内角和。
6．下面说法正确的选项是（　　）
①有三个角的图形一定是三角形。
②斜着钉一根木条将摇晃的椅子固定，运用了三角形的稳定性。
③把三角形的三个内角剪下来，拼成了一个平角，平角等于180°，所以三角形的内角和是180°。
④一个三角形的三个内角分别是45°、35°、100°，这是一个锐角三角形。
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】①三角形是由三条线段围成的封闭图形，它有三个内角。
②三角形具有稳定性。
③利用转化的方法将三角形的三个内角拼成一个平角，得出三角形的内角和等于180°的结论。
④三个角中有一个100°的钝角，这个三角形是钝角三角形。
【解答】解：①三角形是由三条线段围成的封闭图形，它有三个内角。但是有三个角的图形不一定是三角形。原说法错误。
②三角形具有稳定性，斜着钉一根木条将摇晃的椅子固定，就是运用了三角形的稳定性。原说法正确。
③把三角形的三个内角剪下来，拼成了一个平角，平角等于180°，所以三角形的内角和是180°。原说法正确。
④一个三角形的三个内角分别是45°、35°、100°，这是一个钝角三角形。原说法错误。
故选：B。
【点评】本题考查了三角形内角的意义、三角形的内角和、稳三角形的定性及钝角三角形的意义，综合性较强，需灵活掌握。
二．填空题（共6小题）
7．风筝支架做成三角形，应用了三角形的 　稳定　性。
【分析】三角形具有稳定的特性，据此解答。
【解答】解：风筝支架做成三角形，应用了三角形的稳定性。
故答案为：稳定。
【点评】本题考查了三角形的稳定性的生活应用。
8．一个等腰三角形的底角是45度，它的顶角是 　90　度，这还是一个 　直　角三角形：根据三角形的内角和可以推算出梯形内角和是 　360　度。
【分析】根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180度，用三角形的内角和减去两个底角的度数就是顶角的度数。梯形可以分成两个三角形，所以梯形的内角和是360度。据此解答。
【解答】解：180°﹣45°﹣45°＝90°
180°×2＝360°
答：它的顶角是90°，还是一个直角三角形，梯形的内角和是360°。
故答案为：90，直，360。
【点评】此题考查的目的是理解等腰直角三角形的特征及应用，三角形的内角和及应用。
9．在数学学习的过程中，我们常常经历猜想、验证、得出结论的探究过程。
（1）仔细观察上面的验证过程，得到的数学结论是：　三角形的内角和是180°　
（2）应用上面的结论解决问题：编号为①②③的3个三角形，都有一个角为40°。如果它们另外有一个角分别为70°、100°、50°，那么编号为 　①②　的三角形是等腰三角形。（填写所有正确的编号）

【分析】利用三角形内角和定理解答即可。三角形的内角和是180°，用180°减去40°，再减去另外一个角的度数，再根据一个等腰三角形的两个底角相等，判断即可解答。
【解答】解：（1）仔细观察上面的验证过程，得到的数学结论是：三角形的内角和是180°。
（2）①180°﹣40°﹣70°＝70°，三个角分别是40°，70°和70°，是等腰三角形；
②180°﹣40°﹣100°＝40°，三个角分别是40°，40°和100°，是等腰三角形；
③180°﹣40°﹣50°＝90°，三个角分别是40°，50°和90°，不是等腰三角形；
所以应用上面的结论，编号为①②的三角形是等腰三角形。
故答案为：（1）三角形的内角和是180°；（2）①②。
【点评】此题主要考查三角形的内角和是180度和等腰三角形的性质的灵活运用。
10．已知一个三角形的一个锐角是50°，另一个锐角是70°，第三个角是 　60°　。这是一个 　锐角　三角形。
【分析】三角形的内角和是180度，用180度减去已知的两个角的和就是第三个角的度数，进而根据最大角的度数判断三角形的类别。
【解答】解：180°﹣（50°+70°）
＝180°﹣120°
＝60°
最大角是70°，是锐角，所以这是一个锐角三角形。
答：第三个角是60°，这是一个锐角三角形。
故答案为：60°，锐角。
【点评】此题主要考查三角形的内角和是180度的灵活运用以及三角形的分类。
11．现有两根分别长3厘米和5厘米的小棒，如果再添一根小棒围成一个三角形。那么这根小棒最短应该是 　3　厘米，最长是 　7　厘米。（取整厘米数）
【分析】三角形的三条边中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由此解答即可。
【解答】解：三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长3厘米和5厘米，因此它的第三边最长是3+5﹣1＝7（厘米），最短是5﹣3+1＝3（厘米）
答：小棒最短可能是3厘米，最长可能是7厘米。
故答案为：3；7。
【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。
12．用一根20厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，要求三条边的长度都是整厘米数。有 　4　种围法
【分析】要求一共有多少种不同围法，需先求符合条件的腰和底有多少，依据三角形的周长公式等腰三角形的“周长＝腰×2+底”以及“底和腰都是整厘米数”就可以进行计算。
【解答】解：20÷2＝10（厘米）
10÷2＝5（厘米）
根据三角形任意两边的和必须大于第三边，不能构成三角形，因此，腰必须是6厘米、7厘米、8厘米、9厘米（只取整数厘米，若取小数有无数个答案）。
底分别是20﹣6×2＝20﹣12＝8（厘米）、20﹣7×2＝20﹣14＝6（厘米）、20﹣8×2＝20﹣16＝4（厘米）、20﹣9×2＝20﹣18＝2（厘米）。
答：这个三角形的腰可能是6厘米或7厘米、8厘米、9厘米，底是8厘米或6厘米、4厘米、2厘米，一共有4种围法。
故答案为：4。
【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。
三．判断题（共5小题）
13．任何三角形都具有稳定性，不易变形的特点．　√　
【分析】根据三角形具有稳定性，据此进行判断．
【解答】解：三角形具有稳定性，所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查了三角形的稳定性．
14．一个三角形的三条边分别是3厘米、5厘米、9厘米．　×　
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【解答】解：因为3+5＝8＜9，所以三条分别是3厘米、5厘米、9厘米的边不能组成三角形；
原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．
15．三条线段分别长23cm、45cm、60cm，它们能围成一个三角形。 　√　
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，解答此题即可。
【解答】解：23+45＞60
所以三条线段分别长23cm、45cm、60cm，它们能围成一个三角形。
所以题干说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。
16．一个三角形中，如果有两个角是锐角，它不一定是锐角三角形。 　√　
【分析】三角形按角分可分为：锐角三角形，即三角形的三个角都是锐角的三角形；直角三角形，即有一个角是直角的三角形；钝角三角形，即有一个角是钝角的三角形．可见锐角三角形是由三个角决定的，直角三角形和钝角三角形是由一个直角或一个钝角决定的，因此两个锐角不能决定是什么三角形。
【解答】解：一个三角形如果有两个锐角，另一个角可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角，因此，这个三角形不一定是什么三角形。原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题是考查三角形的分类，注意：两个锐角不能决定是什么三角形。
17．用一个放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和会变大。 　×　
【分析】用放大镜放大一个三角形，三角形的边长变长了，但是每个角度的大小都没变，内角和也不会变，据此解答。
【解答】解：用放大镜看一个三角形，这个三角形三内角和仍是180度，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】放大镜能放大长度，但不能放大角度。
四．应用题（共5小题）
18．一个三角形中最小的角是44°，这个三角形可能是哪类三角形？请说明理由。
【分析】三角形的内角和是180°，因为三角形中最小的角是44°，假设第二小的角也是44°，所以最大的角最大为：180°﹣44°﹣44°＝92°；假设第二小的角也是46°，所以最大的角最大为：180°﹣44°﹣46°＝90°；假设第二小的角是89°，所以第三个角为：180°﹣44°﹣89°＝47°，进而判断即可。
【解答】解：假设第二小的角也是44°，所以最大的角最大为：180°﹣44°﹣44°＝92°；假设第二小的角也是46°，所以最大的角最大为：180°﹣44°﹣46°＝90°；假设第二小的角是89°，所以第三个角为：180°﹣44°﹣89°＝47°，所以这个三角形可能是钝角三角形，可能是直角三角形，也可能是锐角三角形。
【点评】解答此题的关键：先进行假设，进而根据三角形的内角和是180°，求出最大的角的度数，进而根据三角形的分类进行解答。
19．有一根30厘米长的细铁丝，若把它折成一个底边长是8厘米的等腰三角形铁框，它的一条腰长多少厘米？
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，解答此题即可。
【解答】解：（30﹣8）÷2
＝22÷2
＝11（厘米）
答：它的一条腰长11厘米。
【点评】熟练掌握等腰三角形的特征，是解答此题的关键。
20．一个等腰三角的一个顶角是64°，它的一个底角是多少度？如果它的底角是64°，那么它的顶角是多少度？
【分析】三角形内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等；180°减顶角的度数，再除以2等于一个底角的度数；180°减两个底角的度数，等于顶角的度数；据此即可解答。
【解答】解：（180°﹣64°）÷2
＝116°÷2
＝58°
180°﹣64°×2
＝180°﹣128°
＝52°
答：一个等腰三角的一个顶角是64°，它的一个底角是58°；一个等腰三角底角是64°，它的顶角是52°。
【点评】本题主要考查学生对三角形的内角和及等腰三角形的特征的掌握和灵活运用。
21．本学期老师带领我们探究出了三角形的内角和是180°．我们在探究三角形的内角和时，老师引领我们经历了怎样的过程？
【分析】在探究三角形的内角和时，我们通过折的方法把三角形的3个角折到一起拼成一个平角，根据平角的意义推导出三角形的内角和是180°。据此解答。
【解答】解：如图：

通过折的方法把三角形的3个角折到一起拼成一个平角，平角是180°，所以三角形的内角和是180°。
【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和的探究方法及应用。
22．已知摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根……按照这样的规律，摆15个三角形需要多少根小棒？用79根小棒可以摆多少个三角形？
【分析】根据题意得到摆1个三角形所需火柴棍的根数是3，2个三角形所需火柴棍的根数是5＝3+2×1，3个三角形所需火柴棍的根数是7＝3+2×2，…，于是得到摆15个三角形所需火柴棍的根数＝3+2×14＝31，进而可得摆n个三角形所需火柴棍的根数是3+2（n﹣1）＝2n+1，n为正整数，据此解答．
【解答】解：（1）3+2×14
＝3+28
＝31（根）；
（2）由分析可知：
摆n个三角形所需火柴棍的根数是（2n+1），n为正整数，
2n+1＝79
2n＝78
n＝39
答：摆15个三角形需要31根小棒；用79根小棒可以摆39个三角形．
【点评】本题考查了数与形结合的规律，解决本题先由已知条件找到一般规律，再根据规律求解．

一．选择题（共6小题）
1．（2022•邱县）下列线段中，不能围成三角形的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm B．3cm、4cm、5cm
C．6cm、5cm、5cm
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可。
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＝3，不能组成三角形，符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，不符合题意；
C、5+5＞6，能够组成三角形，不符合题意；
故选：A。
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数。
2．（2022•长寿区）一个三角形两边的长分别是2厘米和8厘米，第三边的长可能是（　　）厘米。
A．4 B．6 C．9
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，解答此题即可。
【解答】解：8﹣2＝6（厘米）
8+2＝10（厘米）
6厘米＜第三边＜10厘米
答：第三边的长可能是9厘米。
故选：C。
【点评】熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。
3．（2021秋•安溪县期末）下面的小朋友中搭得最不稳的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】贴近地面的面是平面的就稳定，据此解答即可。
【解答】解：搭得最不稳。
故选：A。
【点评】知道贴近地面的面是平面的就稳定，是解答此题的关键。
4．（2021秋•莱阳市期末）一个三角形，其中的两个锐角的度数的和小于第三个角的度数，这个三角形是个（　　）三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角
【分析】三角形内角和为180°，两个角的度数和小于第三个角的度数，说明第三个角的度数要大于90度，这个三角形可能是钝角三角形，由此可以判断。
【解答】解：一个三角形，其中的两个锐角的度数的和小于第三个角的度数，这个三角形是个钝角三角形。
故选：C。
【点评】本题考查了三角形内角和角的应用。
5．（2022春•播州区期末）一个等腰三角形的一个底角是50°，它的另外两个角分别是（　　）
A．50°和80° B．50°和50° C．80°和80° D．50°和100°
【分析】因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，从而可以分别求出另外两个内角的度数。
【解答】解：另一个底角是50°，
则顶角的度数：180°﹣50°×2
＝180°﹣100°
＝80°
故选：A。
【点评】此题主要考查三角形的内角和及等腰三角形的特点。
6．（2021秋•招远市期末）一个三角形的两个锐角的和是90°，这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【分析】因为三角形的内角度数和是180°，两个锐角的和是90°，则第三个角是180°﹣90°＝90°，根据三角形的分类判定类型即可。
【解答】解：因为三角形的内角度数和是180°，两个锐角的和是90°，则第三个角是：180°﹣90°＝90°。
由直角三角形定义：有一个角是直角的三角形，所以这个三角形一定是直角三角形。
故选：D。
【点评】解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型。
二．填空题（共6小题）
7．（2022春•禹州市期末）小磐陪父母散步时，看到新种植的树木用三角架支撑着（如图），这是运用了 　三角形的稳定性　原理，生活中的 　篱笆围成三角形格子　也是运用了这一特性。

【分析】三角形具有稳定性，据此解答即可。
【解答】解：这是运用了三角形的稳定性原理，生活中的篱笆围成三角形格子也是运用了这一特性。
故答案为：三角形的稳定性，篱笆围成三角形格子（答案不唯一）。
【点评】本题考查了三角形具有稳定性的特点。
8．（2021秋•桓台县期末）一个等腰三角形的一个底角是45度，这个三角形的顶角是 　90　度。这也是个 　直角　三角形。
【分析】因为等腰三角形的底角相等，再据三角形的内角和是180度，从而可以求出顶角的度数，再根据三个角的度数，即可判定这个三角形的类别。
【解答】解：180°﹣45°﹣45°
＝135°﹣45°
＝90°
答：这个三角形的顶角是90度。这也是个直角三角形。
故答案为：90；直角。
【点评】解答此题的关键是：先依据等腰三角形的特点以及三角形的内角和定理确定出三角形的顶角的度数，即可判定这个三角形的类别。
9．（2021秋•吉林期末）一个等腰三角形，一个底角是30°，那么顶角是 　120　°。
【分析】在等腰三角形中，两个底角是相等的，这里用180°减去2个30°就是等腰三角形的顶角的度数。
【解答】解：180°﹣30°×2
＝180°﹣60°
＝120°
答：它的顶角是120度。
故答案为：120。
【点评】本题考查了三角形的内角和是180°和等腰三角形两个底角是相等的，运用内角和解答即可。
10．（2022•彭水县）三角形按角分可以分为 　锐角　三角形、　直角　三角形和 　钝角　三角形。三角形中最大的角至少不小于 　60　°。
【分析】三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形，三角形的内角和是180度，所以三角形最大的角不能小于180°÷3＝60°，据此解答。
【解答】解：180°÷3＝60°
因此三角形按角分可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三角形中最大的角至少不小于60°。
故答案为：锐角，直角，钝角，60。
【点评】本题考查了三角形按角分类的方法。
11．（2021秋•新泰市期末）用小棒围成三角形，其中两根小棒分别长7厘米和5厘米，第三根小棒最长 　11　厘米，最短 　3　厘米，可以围成三角形。（填整厘米数）
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【解答】解：7+5＝12（厘米）
最长：12﹣1＝11（厘米）
7﹣5＝2（厘米）
最短：2+1＝3（厘米）
因此第三根小棒最长11厘米，最短3厘米。
故答案为：11，3。
【点评】此题关键是根据三角形的三边关系进行分析、解答。
12．（2021秋•桓台县期末）两根木条分别长6厘米和12厘米，再用一根 　12　厘米长的木条，就可以钉成一个等腰三角形。
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；等腰三角形有两条边相等，进而得出结论。
【解答】解：因为12﹣6＝6（厘米）
12+6＝18（厘米）
所以另一边在6厘米和18厘米之间，12厘米符合题意，是一个等腰三角形。
答：再用一根 12厘米长的木条，就可以钉成一个等腰三角形。
故答案为：12。
【点评】此题应根据三角形的特性和等腰三角形的特征进行分析、解答。
三．判断题（共5小题）
13．（2021秋•临淄区期末）一个三角形中有2个锐角，则这个三角形一定是锐角三角形。 　×　
【分析】直角三角形有一个直角和2个锐角；钝角三角形有一个钝角和2个锐角，锐角三角形必须有3个锐角，据此解答。
【解答】解：一个三角形中有2个锐角，则这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了三角形的分类。
14．（2022春•保山期末）自行车的支架做成了三角形，这是运用了三角形具有稳定性的特征。 　√　
【分析】三角形具有稳定性，生活中很多物品的设计都利用这一特性设计的。
【解答】解：自行车的支架做成了三角形，这是运用了三角形具有稳定性的特征。原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了三角形的稳定性的应用。
15．（2022秋•高青县期中）三角形有3个顶点有3条高；平行四边形有4个顶点有4条高。 　×　
【分析】根据三角形、平行四边形高的含义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高；平行四边形的高是指对边之间的距离，那么，两组对边之间都可以画无数条垂直线段，所以，有无数条高。
【解答】解：由分析知：三角形一共有3条高，平行四边形有无数条高；故题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查了三角形、平行四边形高的含义，要灵活运用。
16．（2022•崇左模拟）用3根长度分别是6cm，9cm，14cm的小棒能围成一个三角形。 　√　
【分析】根据三角形的特性：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【解答】解：因为6+9＞14，所以用6cm，9cm，14cm的小棒，能围成一个三角形。
故答案为：√。
【点评】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答。
17．（2022秋•荣成市期中）把一个三角形的59°的角剪下来，剩下的图形的内角和一定是121°。 　×　
【分析】一个三角形剪去一个59°的角，剩下的图形可能是三角形，也可能是四边形，根据三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，解答此题即可。
【解答】解：一个三角形剪去一个59°的角，剩下图形可能是三角形，三角形内角和是180度，剩下图形也可能是四边形，四边形内角和是360度。
所以原题的说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】本题考查图形的变化，可拿一张纸按题意剪一个三角形，用折线的方法得出答案。
四．计算题（共1小题）
18．（2022春•万柏林区期中）算出每个三角形中未知角的度数。

【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
【解答】解：180﹣90﹣35＝55（度）
180﹣42﹣28＝110（度）
180﹣65﹣40＝75（度）
【点评】熟练掌握三角形的内角和知识，是解答此题的关键。
五．应用题（共4小题）
19．（2022春•丹江口市期末）三角形ABC是等腰直角三角形，已知∠1＝60°。求∠2、∠3、∠4的度数。

【分析】根据三角形ABC是等腰直角三角形，则∠ABC＝90°、∠C＝∠A＝45°，∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°；利用三角形内角和定理，∠3＝180°﹣45°﹣30°＝105°；∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣105°＝75°，据此解答。
【解答】解：∠2＝90°﹣60°＝30°
∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°
∠4＝180°﹣45°﹣60°＝75°
故答案为：30°，105°，75°。
【点评】本题主要考查三角形内角和，关键利用三角形内角和定理解决问题。
20．（2022春•中山市期末）爸爸为小红制作一个等腰三角形的风筝。这个风筝的一个顶角是40°，它的底角是多少度？
【分析】因为三角形的内角和是180度，该三角形是等腰三角形，它的顶角是40度，先用“180°﹣40°＝140°”求出两个底角度数的和，因为等腰三角形两个底角相等，然后再除以2解答即可。
【解答】解：（180°﹣40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
答：它的一个底角是70度。
【点评】此题考查了三角形的内角和，用到的知识点：等腰三角形两底角相等。
21．（2021春•江苏期末）一个等腰三角形的一个底角是40°，按角分类它又是什么三角形？为什么？
【分析】依据等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和是180度即可作答。
【解答】解：等腰三角形的一个底角是40°，则另一个底角也是40°，所以第三个内角（顶角）就是180°﹣40°×2＝100°，则这个三角形是钝角三角形。
故答案为：钝角三角形，因为最大的角是钝角。
【点评】此题主要考查等腰三角形的特点以及三角形的内角和知识。
22．（2022秋•高青县期中）一个等腰三角形的一个底角是52°，这个等腰三角形的顶角是多少度？
【分析】由已知等腰三角形底角是52度，结合等腰三角形的两底角相等，根据三角形内角和定理用180度减去两个底角的度数即可得到顶角度数。
【解答】解：这个三角形顶角是：
180°﹣2×52°
＝180°﹣104°
＝76°
答：这个三角形的顶角是76°。
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；解决本题的关键是理解等腰三角形的性质：等边对等角。