中考数学冲刺压轴题题组训练三含答案

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(时间：45分钟 满分：14分)
1．★(3分)图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1 cm/s的速度逆时针运动一周，图②是点P运动时，线段AP的长度y(cm)随运动时间x(s)变化的关系图象，则图②中P点的坐标是 ( C )
A．(13，4.5)
B．(13，4.8)
C．(13，5)
D．(13，5.5)
2．(3分)已知一列数m，n2，m＋n2，m＋2n2，2m＋3n2，3m＋5n2，…，按照这个规律写下去，第9个数是13m＋21n2.
3．(8分)旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
(1)尝试解决：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1 cm，CM＝2 cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝eq \f(\r(10),2)cm；
(2)类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P，Q分别是AB，AD上的点，且∠PCB＋∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长；(结果用a表示)
(3)拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2eq \r(2)，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
解：(2)如图②，延长AB到点E，使BE＝DQ，连接CE，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠CDQ＝90°，∴△CDQ≌△CBE(SAS)，
∴∠DCQ＝∠BCE，CQ＝CE，∵∠PCB＋∠QCD＝∠PCQ，
∴∠PCB＋∠BCE＝∠PCQ＝∠PCE，∴△QCP≌△ECP(SAS)，∴PQ＝PE，
∴△APQ的周长＝AQ＋PQ＋AP＝AQ＋PE＋AP＝AQ＋BE＋PB＋AP＝AQ＋DQ＋AB＝2AB＝2a.
(3)如图③，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△B′AD，连接BB′，作B′E⊥BA交BA的延长线于点E，由旋转得△BCD≌△B′AD，
∴BD＝B′D，∠BDB′＝60°，∠CBD＝∠AB′D，
∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A，△BDB′是等边三角形，
∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，
∴∠BAB′＝∠BDB′＋∠AB′D＋∠ABD＝135°，
∴∠B′AE＝45°，∵B′A＝BC＝2，∴B′E＝AE＝eq \r(2)，
∴BE＝AB＋AE＝2eq \r(2)＋eq \r(2)＝3eq \r(2)，
∴BB′＝eq \r(（\r(2)）2＋（3\r(2)）2)＝2eq \r(5)，
设等边三角形BDB′的高为h，由勾股定理，得
h＝eq \r(（2\r(5)）2－（\r(5)）2)＝eq \r(15)，
∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A＝S△BDB′－S△ABB′
＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \r(15)－eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(2)＝5eq \r(3)－2.