高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品同步训练题

6.3.1 二项式定理

知识点1 二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．

(1)这个公式叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．

(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

注：①项数：展开式中总共有项。

②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。

③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等

于.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。

【即学即练1】下列不属于的展开式的项的是（    ）

A． B． C． D．

【即学即练2】求4的展开式．

【即学即练3】化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.

知识点2　二项展开式的通项

(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.

拓展：二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？一般不同．前者仅为C，而后者是字母前的系数，故可能不同．

【即学即练4】的展开式的第8项的系数是（       ）

A． B． C． D．

【即学即练5】的展开式中有理项有（    ）

A．项 B．项 C．项 D．项

考点一 二项式定理的正用、逆用

解题方略：

(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

【例1-1】利用二项式定理展开下列各式：

(1)；(2)．

变式1：若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.

【例1-2】化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．

变式1：1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于(　　)

A．1  B．－1  C．(－1)n  D．3n

变式2：已知，则（    ）

A．31 B．32 C．15 D．16

考点二 二项展开式的通项的应用

解题方略：

求二项展开式的特定项的常用方法

(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．

(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

【例2-1】【多选】对于二项式n(n∈N*)，下列判断正确的有(　　)

A．存在n∈N*，展开式中有常数项

B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项

C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项

D．存在n∈N*，展开式中有一次项

变式1：6的展开式中的常数项为(　　)

A．60  B．－60  C．250  D．－250

变式2：(x－y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)

A．840  B．－840  C．210  D．－210

变式3：展开式中，的系数为（       ）

A．20 B． C．160 D．

变式4：已知的展开式中含的项的系数为（    ）

A．30 B．-30 C．25 D．-25

变式5：在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(　　)

A．－5  B．5  C．－10  D．10

变式6：求下列各展开式中的指定项：

(1)展开式中的第4项；

(2)展开式中的第3项．

变式7：在6的展开式中，求：

(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项．

变式8：二项式的展开式的中间项为（       ）

A． B． C．和 D．和

变式9：在的展开式中，含的正整数次幂的项共有 （    ）

A．4项    B．3项    C．2项    D．1项

变式10：在二项式 的展开式中， 系数为有理数的项的个数是_____.

【例2-2】若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（       ）

A．14 B．16 C．18 D．20

变式1：若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)

变式2：如果n的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________，其x2项的系数为________．

变式3：已知在的展开式中，第项为常数项．

(1)求；

(2)求含项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

变式4：已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.

(1)求n的值；

(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．

【例2-3】求的展开式中含的项．

考点三 求两个多项式积的特定项

解题方略：

求多项式积的特定项的方法——“双通法”

所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．

【例3-1】在(＋1)5的展开式中常数项等于________．

变式1：(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为(　　)

A．10  B．－10  C．2  D．－2

变式2：(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答)

变式3：的展开式中的系数为（       ）

A．72 B．60 C．48 D．36

【例3-2】已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于(　　)

A．－4  B．－3  C．－2  D．－1

变式1：的展开式中的系数为，则该二项式展开式中的常数项为（       ）

A． B． C． D．

考点四 三项展开式的通项的应用

解题方略：

【例4-1】(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为________．

【例4-2】展开式中的常数项是___________.

变式1：在的展开式中常数项为（ ）

A． B． C． D．

变式2：求展开式中含项的系数．

变式3：的展开式中的系数为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【例4-3】若的展开式中的系数为，则实数的值为

A． B．2 C．3 D．4

考点五 二项式定理的应用

解题方略：

利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．

（一）求余问题

【例5-1】试求2 01910除以8的余数

变式1：求被100除所得的余数．

变式2：设，则当n=2021时，a除以15所得余数为（       ）

A．3 B．4 C．7 D．8

（二）整除问题

【例5-2】用二项式定理证明：能被100整除．

变式1：求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．

变式2：已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．

变式3：已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

变式4：设，且，若能被13整除，则（       ）

A．0 B．1 C．11 D．12

（三）近似值问题

【例5-3】求0.9986的近似值，使误差小于0.001.

变式1：1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)

题组A  基础过关练

1、化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

2、9的展开式中的第4项是(　　)

A．56x3  B．84x3  C．56x4  D．84x4

3、(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)

A．－3  B．－2  C．2  D．3

4、的展开式中，的系数（       ）

A． B．5 C．35 D．50

5、若的展开式中常数项为，则实数的值是________．

6、在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中x的一次项

7、在的二项展开式中含项的系数为______

题组B  能力提升练

8、的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，则常数项为__________.

9、已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：

(1)n的值为________；

(2)含x的整数次幂的项有________个．

10、若n展开式中前三项系数成等差数列，求：

(1)展开式中含x的一次项；

(2)展开式中所有的有理项．

11、在二项式的展开式中，

（1）求展开式中含项的系数：

（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.

12、记的展开式中第项的系数为．

（1）求的表达式；

（2）若，求展开式中的常数项；

（3）若，求的值．

题组C  培优拔尖练

13、已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．

14、在二项式的展开式中，______给出下列条件：

①若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为7：2；

②所有偶数项的二项式系数的和为256；

③若展开式前三项的二项式系数的和等于46．

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：

（1）求展开式的常数项；

（2）求展开式中系数绝对值最大的项．

15、已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．

(1)求和：a1C－a2C＋a3C，a1C－a2C＋a3C－a4C；

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．

16、已知，．

（1）记展开式中的常数项为m，当时，求m的值；

（2）证明：当时，在的展开式中，与的系数相同．