高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步达标检测题，共22页。试卷主要包含了分类加法计数原理与集合类比等内容，欢迎下载使用。

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通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义
[教材要点]
要点一 分类加法计数原理
完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有______________种不同的方法．
eq \a\vs4\al(状元随笔) 1.“完成一件事有n类不同方案”是指完成这件事的所有方法可分为n类，即用任何一类中的任何一种方法都可以做完这件事，而不需要再用其他方法；每一类没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．
2.分类加法计数原理与集合类比：S＝S1∪S2∪…∪Sn且Si∩Sj＝∅(i≠j，i，j ＝1，2，…，n)，如图所示．
集合S共有(m1＋m2＋…＋mn)个元素
完成事件S共有(m1＋m2＋…＋mn)种方法
要点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有________________种不同的方法．
eq \a\vs4\al(状元随笔) 分步乘法计数原理中“完成一件事需要n个步骤”是指完成这件事的任何一种方法都要分成n个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成所有这些步骤才能完成这件事，即步与步之间是连续的、缺一不可的，且不能重复、交叉．简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”．
要点三 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
eq \a\vs4\al(状元随笔) 解决计数问题的总体思路
一般地，完成一件事需先对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成该事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个计数原理解决问题了．此外，还要掌握一些其他的计数方法如下．
(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况．
(2)转换法：将问题转换成其他已知问题．
(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑采用“正难则反”的策略，先计算反面情形的方法数，再用总方法数将其减去即可．
[教材答疑]
1.[教材P3探究]
完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3种不同的方法．
如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2.[教材P5探究]
完成这件事共有N＝m1×m2×m3种不同的方法．
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
2.已知两条异面直线a、b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16 C．13 D．10
3.现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
4.已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数作为A，B的值，则Ax＋By＝0可表示________条不同的直线．
题型一 分类加法计数原理的应用——自主完成
1.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( )
A．20种 B．15种 C．10种 D．4种
2.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A．18 B．36 C．72 D．48
3.现有A，B两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙两种车床都会操作，丙只会操作A种车床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作这两台车床，则不同的选派方法有________种．
方法归纳
应用分类加法计数原理解题的策略和一般思路
1.应用分类加法计数原理解题的策略
(1)标准明确：明确分类标准，确定完成一件事的各类方案．
(2)不重不漏：完成这件事的各类方案必须满足既不重复，又不遗漏．
(3)方法独立：确定用每一类方案中的每一种方法都能独立地完成这件事．
2.应用分类加法计数原理解题的一般思路
题型二 分步乘法计数原理的应用
例1 (1)用数字1，2，3可以组成多少个三位数？
(2)用数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的三位数？
eq \a\vs4\al(状元随笔) 对于组数问题，一般需分步进行．利用分步乘法计数原理解题时，应注意以下两点：
(1)数字中是否含有特殊元素0，因为首位数字不能为0；
(2)组成的数是否允许数字重复出现，这会影响数字的选择．
例2 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
方法归纳
应用分步乘法计数原理解题的一般思路
应用分步乘法计数原理解题的注意点
应用分步乘法计数原理时，要确定好顺序，还要注意元素是否可以重复选取，如例2(1)中同学选择竞赛项目的时候，竞赛项目是可以被重复选择的．
跟踪训练1 (1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是( )
A．56 B．65
C．30 D．11
(2)将5种不同的农作物种植在如图所示的5块试验田里(5种农作物必须都种植)，每块试验田只能种植1种农作物，则不同的种植方法共有________种．
题型三 两个计数原理的综合应用——微点探究
微点1 “类中有步”计数问题
根据两个数同正同负讨论，先分类再分步．
例3 有3个不同的负数、5个不同的正数，从中依次取2个数，使它们的积为正数，问：共有多少种不同的取法？
方法归纳
解决“类中有步”计数问题要弄清完成怎样的一件事，弄清分步、分类的标准是什么，分清计数对象的本质特征和形成过程．
微点2 “步中有类”计数问题
例4 如图所示，从A地到B地有3条不同的道路，从B地到C地有4条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路．
(1)从A地到C地有多少种不同的走法？
(2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法？
(3)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种不同的走法？
(4)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少种不同的走法？
eq \a\vs4\al(状元随笔) 解决此题的关键有两点：(1)要理清完成一件事需要分几步，每一步又有几类方法；(2)要正确区别“不同”与“完全不同”的含义，前者的含义是回来时不能按原路返回，但允许有部分是原路，后者的含义是去时走过的路，回来时都不能走，前者包含后者．
方法归纳
对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或只用分步乘法计数原理解决时，可以综合运用两个计数原理．可以先分类，在某一类中再分步；也可先分步，在某一步中再分类．
1.“类中有步”计数问题．
用流程图描述计数问题，“类中有步”的情形如图(1)所示．
从A到B视为完成一件事，完成这件事有两类方案，在第1类方案中有3步，在第2类方案中有2步，完成每一步的方法数如图(1)所示，所以完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5.
2.“步中有类”计数问题
用流程图描述计数问题，“步中有类”的情形如图(2)所示．
从计数的角度看，由A到D视为完成一件事，可简单地记为A→D.
完成A→D这件事，需分三步，即A→B，B→C，C→D，其中B→C这一步又分为三类，完成每一步的方法数如图(2)所示，所以完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.
“类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可．
跟踪训练2 用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的：
(1)三位数？
(2)无重复数字的三位数？
(3)小于500且没有重复数字的自然数？
易错辨析 分类标准不清致误
例5 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，问有多少种不同的冠军获得情况？
解析：可先举例说出其中的1种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．
第1步，产生数学学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；
第2步，产生物理学科冠军，因为夺得数学学科冠军的同学还可以去争夺物理学科冠军，所以物理学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；
第3步，产生化学学科冠军，同理，也有4种不同的获得情况．
由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4＝43＝64(种).
【易错警示】
易错原因
错解：分四步完成这件事．
第1步，甲同学去夺3门学科的冠军，有3种不同情况；同理，第2，3，4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有3种不同情况．
由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有3×3×3×3＝34＝81(种).
要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”．但错解一、二中都有可能出现某一学科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．
纠错心得
用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．
eq \x(温馨提示：请完成课时作业（一）)
6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
新知初探·课前预习
要点一
N＝m1＋m2＋…＋mn
要点二
N＝m1×m2×…×mn
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，一共可以确定8＋5＝13个不同的平面．故选C.
答案：C
3．解析：完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法．所以根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同的搭配法．故选B.
答案：B
4．解析：当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理，知共可表示1＋1＋20＝22条不同的直线．
答案：22
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有4＋4＋6＋1＝15(种).故选B.
答案：B
2．解析：方法一 按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
方法二 按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).
方法三 考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．
所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90－18＝72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36.故选B.
答案：B
3．解析：若选甲、乙两人，则甲操作A种车床，乙操作B种车床，或甲操作B种车床，乙操作A种车床，共有2种选派方法．若选甲、丙两人，则甲操作B种车床，丙操作A种车床，共有1种选派方法．若选乙、丙两人，则乙操作B种车床，丙操作A种车床，共有1种选派方法．故共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．
答案：4
题型二
例1 解析：(1)要完成“组成三位数”这件事，需分以下三步：
第1步，确定个位数字，1，2，3三个数字都可以选择，有3种选法；
第2步，确定十位数字，1，2，3三个数字都可以选择，有3种选法；
第3步，确定百位数字，1，2，3三个数字都可以选择，有3种选法．
根据分步乘法计数原理，可以组成的三位数有3×3×3＝27(个).
(2)要完成“组成没有重复数字的三位数”这件事，需分以下三步：
第1步，确定个位数字，1，2，3三个数字都可以选择，有3种选法：
第2步，确定十位数字，第1步选过的数字不能选择，因此有2种选法；
第3步，确定百位数字，只有1种选法，
根据分步乘法计数原理，可以组成的没有重复数字的三位数有3×2×1＝6(个).
例2 解析：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36＝729.
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，
因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120.
(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63＝216.
跟踪训练1 解析：(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．故选A.
解析：(2)对试验田从左至右依次编号为①②③④⑤，则完成种植农作物需分五步：
第1步，种植①号试验田，有5种不同的种植方法；
第2步，种植②号试验田，有4种不同的种植方法；
第3步，种植③号试验田，有3种不同的种植方法；
第4步，种植④号试验田，有2种不同的种植方法；
第5步，种植⑤号试验田，只有1种种植方法．
根据分步乘法计数原理，不同的种植方法共有5×4×3×2×1＝120(种).
答案：120
题型三
例3 解析：根据题意知，积为正数的情况分为两类：
第一类，取出的2个数都是负数，分两步，
第一步，先从3个负数中任取1个负数，有3种不同的取法；
第二步，从剩下的2个负数中任取1个负数，有2种不同的取法，故共有3×2＝6种不同的取法．
第二类，取出的2个数都是正数，也分两步，
第一步，先从5个正数中任取1个正数，有5种不同的取法；
第二步，从剩下的4个正数中任取1个正数，有4种不同的取法，故共有5×4＝20种不同的取法．
综上所述，不同取法的种数为6＋20＝26.
例4 解析：(1)从A地到C地的走法分为两类：第一类经过B地，第二类不经过B地．
在第一类中分两步完成：第一步，从A地到B地；第二步，从B地到C地．
故从A地到C地的不同走法总数是3×4＋2＝14.
(2)该事件发生的过程可以分为两步：第一步是去，第二步是回．
由(1)可知这两步的走法都是14种，
所以去后又回来的走法总数是14×14＝196.
(3)该事件发生的过程与(2)一样，可分为两步，但不同的是第二步(即回来时)的走法比去时少一种，
所以走法总数为14×13＝182.
(4)该事件同样分去与回两步，但需对去时的各类走法分别讨论．
若去时用第一类走法，则回来时用第二类走法或用第一类中的部分走法，即第一类中的两步各去掉1种走法后的走法，这样的走法总数为3×4×(2＋3×2)＝96.
若去时用第二类走法，则回来时可用第一类走法或用第二类中的另一种走法，这样的走法总数为2×(4×3＋1)＝26.
故走法总数为96＋26＝122.
跟踪训练2 解析：(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个).
(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648个无重复数字的三位数．
(3)满足条件的一位自然数有10个，二位自然数有9×9＝81(个)，三位自然数有4×9×8＝288(个).
因为10＋81＋288＝379(个)，所以共有379个小于500且无重复数字的自然数．
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
关键词
分类
分步
本质
每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
各类
(步)的
关系
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥”
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”