高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念巩固练习

【名师】5.1.1 数列的概念优选练习

一．填空题

1．已知数列满足，则________.

2．设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是________.

3．下图中规律如图所示：

则第n个图案中有白色地砖_____块.

4．已知在数列中，，则等于________.

5．在数列中，，则______________.

6．已知数列满足，，则通项公式_______.

7．已知数列的通项公式为，那么满足的整数k的个数为______．

8．已知数列满足，，则______．

9．已知数列满足则__________

10．2，3，4，…，中，项的个数为______.

11．在数列中，已知，则的前6项分别为______.

12．已知：的极限为A，，则__________

13．若数列满足，则该数列的前2017项的乘积______.

14．已知数列的首项为，且满足，则下列命题：①是等差数列；②是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________

15．已知函数的对应关系如下表所示：

数列满足，则_____, _____.

参考答案与试题解析

1．【答案】-1.

【解析】根据递推公式，用累加法求出通项，即可求解.

【详解】

，

累加得，

所以，当时也符合，

.

故答案为:-1

【点睛】

本题考查由递推公式求通项，属于基础题.

2．【答案】-2

【解析】根据递推公式推导数列的前后项的关系,进而可判断

【详解】

由题意即可，

,

若,则且,即该数列单增，且,

此时若存在常数,使得恒成立，则必有.

若,则,该数列为常数列,即.

当时，显然有

综上所述,.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据递推公式分析数列前后项的关系,进而求得数列的通项范围,需要思考的大小从而分情况讨论,属于难题.

3．【答案】

【解析】归纳得到第n个图案中有白色地砖块数是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案.

详解：根据图像知：每一个图形都是在前一个图形的基础上多块白色地砖，

故第n个图案中有白色地砖块数是首项为，公差为的等差数列，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力和理解能力.

4．【答案】-57

【解析】依次代入即可得解.

【详解】

由，可得；

；

；

.

故答案为：-57

【点睛】

本题主要考查了由数列的递推关系求数列中的项，属于基础题.

5．【答案】

【解析】由，得，可证明为等差数列，进而可得本题答案.

【详解】

由，得，即，所以为等差数列，首项，公差，则，即，所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查用构造法求数列的通项公式.

6．【答案】

【解析】先取倒数可得,即,由等比数列的定义可得时,,即,再检验时是否符合即可

【详解】

由题,因为,所以,

所以,

当时,,所以,

所以当时,,则,即,

当时,,符合,

所以,

故答案为:

【点睛】

本题考查构造法求通项公式,注意检验时是否符合条件

7．【答案】2

【解析】根据数列的通项公式，去绝对值符号，对进行讨论，进而求得的表达式，解方程即可求得结果．

【详解】

∵，

∴若，则，

∴与矛盾，

∴，

∴

，

解得或，

∴满足的整数，5，即整数k的个数为2，

故答案为：2.

【点睛】

本题考查根据数列的通项公式求数列的和，体现了分类讨论的数学思想，去绝对值是解题的关键，考查运算能力，属中档题．

8．【答案】

【解析】由，把代入可确定数列的周期，，求出即可。

【详解】

由，可得，，，

所以数列为周期数列，周期，所以，

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的周期性，属于基础题。

9．【答案】

【解析】根据累加法求通项.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查利用累加法求通项，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．【答案】

【解析】由数列观察得通项公式进而可得项数.

详解：由2，3，4，…，可知，数列的通项公式为：，

由，所以一个有项.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了观察法求通项公式，属于基础题.

11．【答案】

【解析】根据题意分别代入计算即可.

详解：易得，，，，，.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据数列通项公式求某项．特殊角的余弦值等.属于基础题.

12．【答案】

【解析】求，即求时的极限，利用的极限为A求出即可.

【详解】

解：由已知,

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的极限，是基础题.

13．【答案】

【解析】先证明，即得是以4为周期的一个数列，再求出，即得解.

详解：由递推公式，

，

则是以4为周期的一个数列.

由计算，得，.

.

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查递推数列和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．【答案】②③

【解析】

【分析】

对于①，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于②，结合等比数列通项公式可求得，可验证出，知数列递增；对于③，结合指数函数单调性可确定单调性，利用零点存在定理可得到结论.

【详解】

对于①，由得：，

又，是首项为，公比为的等比数列，①错误；

对于②，由①知：，，

，

是递增数列，②正确；

对于③，由②知：，单调递减，

单调递增

，，

当时，，，即，由零点存在定理知③正确；

综上所述：正确的命题序号为②③.

故答案为：②③.

15．【答案】3    1 

【解析】根据函数的对应关系，求得数列的前项，找到规律，由此求得的值.

【详解】

依题意，，，，，…，以此类推，数列是周期为的周期数列，故.

故答案为：（1）；（2）.

【点睛】

本小题主要考查周期数列，考查函数的对应关系，属于基础题.